理数九调考试答案与解析.pdf

第 1 页 （理科九调数学） 参考答案与试题解析 一、 选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 1. 已知集合  02A x x   ， 1 2 log 2B x x   ，则 AB（ ） A． R B． 02xx C． 0xx D． 1 24xx  解：∵ ， ∴A∪B＝{x|x＞0}． 故选：C． 2. 复数 5 iz i  的虚部为（ ） A． 5 26 B． 5 26 i C． 5 26 D． 5 26 i 解：∵ ＝ ， ∴复数 上的虚部为 ． 故选：A． 3. 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展 进行测量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图 为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.16x﹣30.75，以下结论 中不正确的为（ ） A．15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 第 2 页 B．15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 C．可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 解：对于 A，身高极差大约是 25，臂展极差大于等于 30，故 A 正确； 对于 B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些， 身高高一些， 展臂就会长一些，故 B 正确； 对于 C，身高为 190 厘米，代入回归方程可得展臂等于 189.65 厘米，但不 是准确值，故 C 正确； 对于 D，身高相差 10 厘米的两人展臂的估计值相差 11.6 厘米，但不是准 确值， 回归方程上的点并不都是准确的样本点，故 D 错误； 故选：D． 4. 函数   af x x x（ ）的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 解：f（x）＝ ，∴f′（x）＝ ． （1）当 a＝0 时，f（x）＝ ，图象为 A； （2）当 a＞0 时，1+ ＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， 令﹣1+ ＝0 得 x＝﹣ ，∴当 x＜﹣ 时，﹣1+ ＜0，当﹣ ＜x＜0 时， ﹣1+ ＞0， ∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）上单调递减，在（﹣ ，0）上单调递增，图象为 D； 第 3 页 （3）当 a＜0 时，﹣1+ ＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减， 令 1+ ＝0 得 x＝ ，∴当 x＞ 时，1+ ＞0，当 0＜x＜ 时，1+ ＜0， ∴f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，图象为 B； 故选：C． 5. 某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上 的对应点分别为 A，B，则在该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路 径的长度为（ ） A． B． C． D． 解：根据几何体的三视图知，该几何体是长方体，如图所示； 其展开图中，有三种情况， 从点 P（A）到 Q（B）的最短距离为 ＝2 ． 故选：C． 第 4 页 6. 设 m，n 为正数，且 m+n＝2，则 13 12 n mn  的最小值为（ ） A． B． C． D． 解：当 m+n＝2 时， ， 因为 ， 当且仅当 m+1＝n+2，即 ， 时取等号，则 ，即最小 值为 ． 故选：D． 7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表 示即为：在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则 的面积 S＝   22 2 2 21 42 a b cab  . 根据此公式，若 ，且 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 解：由 acosB+（b+3c）cosA＝0， 可得 sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA＝0， 即 sin（A+B）+3sinCcosA＝0， 即 sinC（1+3cosA）＝0， 因为 sinC≠0， 所以 cosA＝﹣ ， 由余弦定理可得 a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA＝ bc＝2， 所以 bc＝3， 由△ABC 的面积公式可得 S＝ ＝ ＝ ． 故选：A． 第 5 页 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值为（ ） A． B． C． D．2 解：当 i＝1 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝2； 当 i＝2 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣ ，i＝3； 当 i＝3 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝ ，i＝4； 当 i＝4 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝2，i＝5； 当 i＝5 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝6； a 的值是以 4 为周期的循环， 由 2020÷4＝505， 故当 i＝2021 时，满足退出循环的条件，故输出的 a 值为 2， 故选：D． 9. 若 ， ， ， ，则 x，y，z 大小关系正确的 是（ ） A． B． C． D． 解：∵0＜a＜b＜1； ∴ab＜aa＜ba＜b0＝1，logba＞logbb＝1； ∴x＜y＜z． 故选：A． 10. 已知双曲线 C： 1（a＞0，b＞0），点 P（x0，y0）是直线 bx﹣ay+4a ＝0 上任意一点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1 与双曲线 C 的右支没有公共点， 则双曲线的离心率取值范围是（ ） A．（ 1，2] B．（ 1，4] C．[2，+∞） D．[4，+∞） 第 6 页 【解答】解：双曲线 C： 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y x， 即 bx﹣ay＝0， ∵P（x0，y0）是直线 bx﹣ay+4a＝0 上任意一点， 则直线 bx﹣ay+4a＝0 与直线 bx﹣ay＝0 的距离 d ， ∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1 与双曲线 C 的右支没有公共点， ∴ ， ∴ 1， 即 e 4， 故 e 的取值范围为 ， 故选：B． 11. 直线 与函数 （ ）的图象的相邻两个交点的距 离为 ，若 在 （ ）上是增函数，则 的取值范围是（ ） A． 0, 4    B． 0, 2    C． 30, 4    D． 30, 2    解：直线 y＝a 与函数 f（x）＝tan（ ）图象的相邻两个交点的距离为 一个周期，则 T＝2π， 所以 ω＝ ＝ ， 所以 f（x）＝tan（ x+ ）， 由 kπ﹣ ＜ x+ ＜kπ+ ， 解得 2kπ﹣ ＜x＜2kπ+ ，（ k∈Z）； 所以函数 f（x）在（﹣ ， ）上是单调增函数； 又 f（x）在（﹣m，m）上是单调增函数， 即（﹣m，m）⊆（﹣ ， ）， 解得 0＜m≤ ； 所以 m 的取值范围是（0， ]． 第 7 页 故选：B． 12. 已知函数 ﹣ ，若方程 有 3 个不同的实根 x1，x2，x3 （x1＜x2＜x3），则 2 2 a x  的取值范围是（ ） A． 1 ,0e   B． 2 2 ,0 e  C． 2 2 2 ,2e e  D． 20, 2e 解：由 f（x）＝（x2﹣2x）ex， ∴f′（x）＝（x2﹣2）ex， 令 f′（x）＝0，解得 x＝± ， 当 x＞ 或 x＜﹣ ，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增， 当﹣ ＜x＜ ，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减， 由图象可得﹣ ＜x2＜0， 又 ＝ ＝x2 ， 设 g（x）＝xex，（﹣ ＜x＜0）， ∴g′（x）＝（x+1）ex， ∴g′（x）在（﹣ ，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数， 由 g（﹣1）＝﹣ ，g（﹣ ）＝﹣ ，g（0）＝0， 可得 的取值范围为[﹣ ，0）， 故选：A． 第 8 页 二、 填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.） 13. 71 7x x  的展开式的第 2 项为 ． 解：（x﹣ ）7 的展开式的第 2 项为 T2＝ • •x5＝﹣x5， 故答案为：﹣x5． 14. 已知 中， ， ， ，若点 满足 ，则 ________. 解： ＝ ，所以： ， 以及 AB＝3，AC＝5，BC＝7，cos∠BAC＝ ＝﹣ 可得 ＝ ＝ ， 所以 ＝（ ）•（ ﹣ ） ＝ ＝ ＝﹣12． 故答案为：﹣12． 15. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列   31 n na 的前 项和 ． 解：因为{an}是等数差数列，S17＝459⇒17a9＝459⇒a9＝27，而 a2+a4＝18， 所以 ，解得 d＝3，a1＝3， 则 an＝3+（n﹣1）×3 ＝3n，n∈N*； 数列{a3n}构成首项为 9，公差为 9 的等差数列； 若 n 为偶数，则 ， 若 n 为奇数， 则 Tn＝﹣9+18﹣27+36+…﹣9（n﹣2）+9（n﹣1）﹣9n＝﹣ ， 第 9 页 故 Tn＝ ； 故答案为： ． 16. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 O 的表面上， 平面 ， ， ， ， ，则球 的表面积为 ． 解：如图： 由 cos∠ACB＝ sin∠ACB，可得 ，则∠ACB＝30°． 在△ABC 中，∵AC＝ ，BC＝1，∠ACB＝30°， ∴AB＝ ． 则△ABC 为等腰三角形，设△ABC 的外心为 G，连接 BG 交 AC 于 E， 由正弦定理求得 BG＝1，求解三角形可得 BE＝ ，则 EG＝ ． 取 CD 中点 F，则 F 为三角形 ACD 的外心，过 F 作平面 ACD 的垂线， 过 G 作平面 ABC 的垂线，两垂线相交于 O， 则 O 为三棱锥 D﹣ABC 的外接球的球心，其半径 R＝ ＝ ． ∴球 O 的表面积为 ． 故答案为：8π． 第 10 页 三、 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤.） 17. 设 . （1）求 的单调区间； （2）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 若 ， ，求 面积的最大值． 解：(1)由题意知f(x)＝ － ＝ － ＝sin2x－ . 由－ ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z,可得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z； 由 ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z,可得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)； 单调递减区间是 (k∈Z)． (2)由 f ＝sinA－ ＝0，得 sinA＝ ，由题意知 A 为锐角，所以 cosA＝ . 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，可得 1＋ bc＝b2＋c2≥2bc， 即 bc≤2＋ ，且当 b＝c 时等号成立．因此 bcsinA≤ . 所以△ABC 面积的最大值为 . 18. 如图，在三棱锥 中，已知 ， ，顶点 在平 面 上的射影为 的外接圆圆心． （1）证明：平面 ⊥平面 ； （2）若点 M 在棱 PA 上， ，且二面角 的余弦值为 ，试 求 的值． 解：（1）证明：如图，设 AC 的中点为 O，连接 PO， 由题意，得 BC2+AB2＝AC2，则△ABC 为直角三角形， 第 11 页 点 O 为△ABC 的外接圆圆心． 又点 P 在平面 ABC 上的射影为△ABC 的外接圆圆心， 所以 PO⊥平面 ABC， 又 PO⊂平面 PAC，所以平面 PAC⊥平面 ABC． （2）解：由（1）可知 PO⊥平面 ABC， 所以 PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC， 以 OC，OB，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 则 O（0，0，0）， C（1，0，0）， B（0，1，0）， A（﹣1，0，0）， P（0，0， 1）， 设 ＝ ，λ∈[0，1]， ＝（1，0，1）， M（λ﹣1，0，λ）， ＝（1，﹣1，0）， ＝（1，0，﹣1）， ＝（2﹣λ，0，﹣λ）， 设平面 MBC 的法向量为 ＝（x，y，z）， 则 ，令 x＝1，得 ＝（1，1， ）， 设平面 PBC 的法向量为 ＝（x，y，z）， 由 ，令 x＝1，得 ＝（1，1，1）， ∵二面角 P﹣BC﹣M 的余弦值为 ， ∴cos＜ ＞＝ ＝ ＝ ， 解得 ，即 M 为 PA 的中点． 第 12 页 19. 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案① 规定每日底薪 50 元，快递业务每完成一单提成 3 元；方案②规定每日底薪 100 元，快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元，该快 餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 100 天的数据，将样本数据 分为[25，35）， [35，45）， [45，55）， [55，65）， [65，75）， [75，85）， [85，95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单的概率； （2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案①的概率为 1 3 ，选择方案 ②的概率为 2 3 ．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日 工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案①的概率； （3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手 做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值 代替） （共 13 分） 解：（1） 设事件 A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递 业务量不少于 65 单” 依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于 65 单的频率分别为：0.2，0.15， 0.05 因为 0.2+0.15+0.05＝0.4 所以 P（A）估计为 0.4． （2） 设事件 B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）” 设事件∁i 为“甲乙丙三名骑手中恰有 i（i＝0，1，2，3）人选择方案（1）”， 第 13 页 则 P（B）＝P（C2）+P（C3）＝ 所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为 （3）方法 1： 设骑手每日完成快递业务量为 X 件 方案（1）的日工资 ， 方案（2）的日工资 所以随机变量 Y1 的分布列为 Y1 14 0 17 0 20 0 23 0 26 0 29 0 32 0 P 0.0 5 0.0 5 0.2 0.3 0.2 0.1 5 0.0 5 所以 EY1＝140×0.05+170×0.05+200×0.2+230×0.3+260×0.2+290×0.15+320×0.05 ＝236 同理随机变量 Y2 的分布列为 Y1 10 0 13 0 18 0 23 0 28 0 33 0 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 5 0.0 5 EY2＝100×0.1+130×0.2+180×0.3+230×0.2+280×0.15+330×0.05＝194.5 因为 EY1＞EY2，所以建议骑手应选择方案（1） 方法 2： 快 餐 店 人 均 日 快 递 量 的 期 望 是 ： 30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05＝62 因此，方案（1）日工资约为 50+62×3＝236 方案 2 日工资约为 100+（62﹣44）×5 ＝190＜236 故骑手应选择方案（1）． 第 14 页 20. 如图，椭圆 1C ： 22 221( 0)xy abab    的左右焦点分别为 12,FF，离心率为 3 2 ， 过抛物线 2C ： 2 4x by 焦点 F 的直线交抛物线于 ,MN两点，当 7||4MF  时，M 点在 x 轴上的射影为 1F 。连接 ,NO MO 并延长分别交 1C 于 ,AB两点，连接 AB ， OMN 与 OAB 的面积分别记为 OMNS 和 OABS ，设  OMN OAB S S   . （1）求椭圆 1C 和抛物线 2C 的方程； （2）求 的取值范围. 解：（1）由抛物线定义可得 )4 7,( bcM  ，∴点 M 在抛物线 by42  上， ∴ )4 7(42 bbc  ，即 22 47 bbc  ① 又由 2 3a c ，得 22 3bc  ，将上式代入①，得 bb 77 2  ，解得 1b ，∴ 3c ， ∴ 2a ， 所以曲线 1C 的方程为 14 2 2  yx ，曲线 2C 的方程为 yx 42  . （2）设直线 MN 的方程为 1 kxy ，由      yx kxy 4 1 2 消去 y 整理得 0442  kxx ， 设 ),(),,( 2211 yxNyxM ，则 421 xx ， 设 ', mkmk OMON  ，则 4 1 16 1' 21 1 1 2 2  xxx y x ymm ，所以 mm 4 1'  ，② 设直线ON 的方程为 mxy  （ 0m ）， 由      yx mxy 42 ，解得 0x m4 ，所以 22 14||1|| mmxmON N  ， 由②可知，用 m4 1 代替 m ，可得 2 2 16 111||)4 1(11|| mmxmmOM M  ， 第 15 页 由      14 2 2 yx mxy ，解得 14 2 2   m xA ，所以 14 12||1|| 2 2 2   m mxmOA A ， 用 m4 1 代替 m ，可得 14 1 16 112 ||16 11|| 2 2 2    m mxmOB B ， 所以    |||| |||| OBOA OMON S S OAB OMN 14 1 16 112 14 12 16 11114 2 2 2 2 2 2       m m m m mmmm 14 114 2 2  mm 22 124 124 2 2  mmmm ，当且仅当 1m 时等号成立. 所以  的取值范围为 ),2[  . 21. 已知函数 ． （1）若 有两个不同的极值点 ， ，求实数 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 124xxee a. 解：（1）函数 f（x）＝x2﹣aex﹣1， ∴f′（x）＝2x﹣aex， ∵f（x）有两个不同的极值点 x1，x2， ∴f′（x）＝2x﹣aex＝0 有两个根， 即 a＝ ， 即 y＝a 与 y＝g（x）＝ 有两个交点， ∴g′（x）＝ ， 当 x＜1 时，g′（x）＞0，函数 g（x）单调递增， 当 x＞1 时，g′（x）＜0，函数 g（x）单调递减， ∴g（x）max＝g（1）＝ ， 当 x→﹣∞时，g（x）→+∞，当 x→+∞时，g（x）→0， 第 16 页 ∴当 a∈（0， ）时，y＝a 与 y＝g（x）＝ 有两个交点， ∴实数 a 的取值范围（0， ）． （2）证明：由 f′（x1）＝2x1﹣ae ＝0，f′（x2）＝2x2﹣ae ＝0， 有 即 ； 由不等式 ，设 lnx1＝t1，lnx2＝t2，则 ， 所以上述不等式变为 ； 所以 ＜ ； 故 + ＞ 成立． 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为 2 2cos 2sin x y      （ 为参数），直线 l 的参数方程为 2 2 21 2 xt yt     （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 以及直线l 的极坐标方程； （2）若  0,1A ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点 M ， N ，求 11 AM AN 的 值． 解：（Ⅰ）依题意，曲线 C：（ x﹣2）2+y2＝4，故 x2+y2﹣4x＝0， 即 ρ2﹣4ρcosθ＝0，即 ρ＝4cosθ； 直线 l：y＝1﹣x，即 x+y﹣1＝0，即 ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0， 故 ； 第 17 页 （Ⅱ）将直线 l 的参数方程 （t 为参数）代入 x2+y2﹣4x＝0 中， 化简可得 ， 设 M，N 所对应的参数分别为 t1，t2， 则 ，t1t2＝1， 故 ． 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）已知 ， ，且 ，求证： ． 解：（Ⅰ）由 f（x）＞3﹣|x+2|，可得|x+2|+|x+1|＞3， 则 或 或 ， 解得 x＜﹣3 或∅或 x＞0， 故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）， 证明（Ⅱ）f（x）﹣|x|＝|x+1|﹣|x|≤|x+1﹣x|＝1， ∵a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab≥2﹣2×（ ）2＝1，当且仅当 a＝2b 时，即 a ＝ ，b＝ 时取等号， ∴ ≥1， ∴ ．