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理科数学参考答案和评分标准 　 第 １　　　　 页(共 ９ 页) 华大新高考联盟 ２０２０ 届高三 ４ 月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准 一、选择题 １．【答案】D 【命题意图】主要考查复数的概念及相关运算,考查考生的运算求解能力． 【解析】因为z ＝１＋１ i ＝１－i ,୵z ＝１＋i ,所以z Ű୵z ＝(１－i)( １＋i)＝２．故选 D ． ２．【答案】A 【命题意图】主要考查指数函数和对数函数的单调性、集合子集的概念、充要条件,考查考生的逻辑推理能力． 【解析】A ＝{x |x ＞３}, B ＝{x |x ＞a ＋１}．当a ＝３ 时,B ＝{x |x ＞４}．所以B ⊆A ． 当B ⊆A 时,即a ≥２,并不能得到a ＝３．故选 A ． ３．【答案】C 【命题意图】主要考查等差数列通项公式及前n 项和的应用,考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力． 【解析】因为a ７＋a ９＝２a ８＝３０,所以a ８＝１５．又a ３＝５,所以a １＋a １０＝a ３＋a ８＝２０． S １０＝ １０(a １＋a １０) ２ ＝２００ ２ ＝１００．故选 C ． ４．【答案】D 【命题意图】主要考查以数学文化为背景的概率问题,考查考生的化归转化能力、数学建模能力和逻辑推理 能力． 【解析】因为 １ ２ R ２ Űsin ３６０° １２ æ è ç ö ø ÷ Ű１２ πR ２ ≈９６ １００ ,所以 π≈２５ ８ ．故选 D ． ５．【答案】C 【命题意图】主要考查对数函数的性质,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力． 【解析】因为x ＝lg２＜１,y ＝ln３＞１ ,z ＝lo g ２３＞１,所以x 最小． 又因为y ＝lg３ lg e ,z ＝lg３ lg２ ,所以y ＜z ,所以x ＜y ＜z ．故选 C ． ６．【答案】C 【命题意图】主要考查程序框图有关知识、二次函数单调性以及古典概型,考查考生的逻辑推理能力和数形 结合能力． 【解析】当x ＝－２⇒y ＝０;x ＝－２＋１＝－１⇒y ＝－１;x ＝－１＋１＝０⇒y ＝０;x ＝０＋１＝１⇒y ＝３;x ＝１＋１ ＝２⇒y ＝８;x ＝２＋１＝３,退出循环, 所以 A ＝{０,－１,３,８}, 又函数f (x )＝x ２ ＋mx 在[０,＋∞)上是增函数,所以 － m ２≤０⇒m ≥０． 函数f (x )＝x ２ ＋mx 在[０,＋∞)上是增函数的概率为３ ４ ,故选 C ． ７．【答案】A 【命题意图】主要考查函数的性质与图象,考查考生的化归转化能力和数形结合能力,以及逻辑推理、直观 想象和数学运算． 【解析】因为f (x )＋g (x )＝２e x cos x ,所以f (－x )＋g (－x )＝２e －x cos (－x ),理科数学参考答案和评分标准 　 第 ２　　　　 页(共 ９ 页) 即 －f (x )＋g (x )＝２e －x cos (x ), 所以f (x )－g (x )＝－２cos x e x ． 因为y ＝－２cos x e x ,当x ＝０．０１ 时,y ＜０,所以 C ,D 错误． 又y′＝２(sin x ＋cos x ) e x ＝ ２ ２sin x ＋π ４ æ è ç ö ø ÷ e x ,所以x ＝－π ４ 为极值点,即 B 错误．故选 A ． ８．【答案】C 【命题意图】主要考查等比数列有关知识,考查考生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力． 【解析】设每个实验室的装修费用为x 万元,设备费为a n 万元(n ＝１,２,３,ƺ, １０)． 则 a ５－a ２＝４２, a ７－a ４＝１６８, { 所以 a １q ４ －a １q ＝４２, a １q ６ －a １q ３ ＝１６８, { 解得 a １＝３, q ＝２．{ 故a １０＝a １q ９ ＝１５３６． 依题意x ＋１５３６＜１７００,即x ＜１６４． 所以总费用为 １０x ＋a １＋a ２＋ƺ＋a １０＝１０x ＋３(１－２ １０ ) １－２ ＝１０x ＋３０６９≤４７０９．故选 C ． ９．【答案】B 【命题意图】主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线方程等知识,考查考生的化归转化思想、数形 结合思想以及数学运算能力． 【解析】如图所示,设B 点的坐标为(x ０,y ０), 则 |BF |＝ x ０＋４＝５, 所以x ０＝１,B 点的坐标为(１,４)． 所以线段BF 的中点D 的坐标为 ５ ２ ,２ æ è ç ö ø ÷ ． 设 A (x １,y １), C (x ２,y ２)．有y ２ １＝１６x １,y ２ ２＝１６x ２,且y １＋y ２ ２ ＝２． 所以y ２ １－y ２ ２＝１６(x １－x ２), 所以y １－y ２ x １－x ２＝ １６y １＋y ２＝４,所以k AC ＝４． 对角线 AC 所在的直线方程为AC :y －２＝４x －５ ２ æ è ç ö ø ÷ ,即 ４x －y －８＝０．故选 B ． １０．【答案】C 【命题意图】主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的化归与转化能力、数形结合能力,考查逻辑推理 与直观想象． 【解析】f (２)＞０⇔３sin２＞－２cos２⇔tan２＞－ ２ ３ ． 因为π ２＜２＜３π ４ ,所以 tan２＜tan ３π ４ ＝－１,所以 tan２＜－ ２ ３． 故 ① 正确． 设y ＝２|sin x |＋sin x ＝ ３sin x ,　２k π≤x ≤２k π＋π, －sin x , ２k π＋π＜x ＜２k π＋２π, { k ∈Z ． 显然f (x )是以 ２π 为周期的周期函数．作y ＝２|sin x |＋sin x ,x ∈[０,２π]的图象如图所示． 由图可知f (x )的值域为[２cos２ ,３＋２cos２ ], 即 ③ 错误． 由f (x )的函数图象可知,f (x )在 π,３π ２ æ è ç ö ø ÷ 上单调递增．又因为f (x )是周 期为 ２π 的函数,所以f (x )在 －３π,－５π ２ æ è ç ö ø ÷ 上单调递增,即 ② 正确． 又因为π ２＜２＜２π ３ ,所以 －１ ２＜cos２＜０ ,所以 ０＜－２cos２＜１ ．理科数学参考答案和评分标准 　 第 ３　　　　 页(共 ９ 页) f (x )＝０⇔２|sin x |＋sin x ＝－２cos２ ．由图象可知f (x )在[２,２π]内有四个零点． 且x １＋x ２ ２ ＝π ２ , x ３＋x ４ ２ ＝３π ２ ,所以x １＋x ２＋x ３＋x ４＝４π,所以 ④ 正确．故选 C ． １１．【答案】D 【命题意图】主要考查双曲线的定义及几何性质、平面向量的运算,考查考生的运算求解能力、化归转化能 力和数形结合能力． 【解析】因为F １ B→＝６F １ A→,所以点F １,A ,B 共线,且 |AB→|＝５| AF １→| ． 因为AF ２→２ ＝AB→ŰAF ２→＝(AF ２→＋F ２ B→)Ű AF ２→＝AF ２→２ ＋F ２ B→ŰAF ２→,所 以F ２ B→ŰAF ２→＝０,所 以F ２ B→⊥ AF ２→． 设 |AF １→|＝ m ,则 |AB→|＝５m ,由双曲线定义得 |AF ２→|－ m ＝２a , ６m －|BF ２→|＝２a , |AF ２→| ２ ＋|BF ２→| ２ ＝２５m ２ , ì î í ïï ïï 所以(m ＋２a )２ ＋(６m －２a )２ ＝２５m ２ ⇒３m ２ －５ma ＋２a ２ ＝０⇒(m －a )( ３m －２a )＝ ０, 解得 m ＝a 或m ＝２ ３ a ． 若 m ＝a 时,|AF ２→|＝３a ,|BF ２→|＝４a ,因为 |AF ２→|＜| BF ２→| ,故舍去． 若 m ＝２ ３ a 时,|AF ２→|＝ ８ ３ a ,|BF ２→|＝２a ,|BF １→|＝４a ,|AB→|＝ １０ ３ a ,cos∠ ABF ２＝ ２a １０ ３ a ＝３ ５ ． 在 △F １ BF ２ 中,４c ２ ＝４a ２ ＋１６a ２ －２×２a ×４a ×３ ５⇒ c ２ a ２＝１３ ５⇒e ＝ ６５ ５ ,故选 D ． １２．【答案】A 【命题意图】考查空间线线、线面、面面的平行与垂直关系,考查考生的空间想象能力、化归转化能力和直 观想象能力． 【解析】如图,补正方体 ABJKＧA １ B １ IH ,作平面 MNP 与正方体ABCDＧA １ B １ C １ D １ 的截面,设 AB ＝３, 易知 AE ＝AF ＝２． 易证BC １⊥BI ,BC １⊥AB ,BI ∩AB ＝B , 所以BC １⊥ 平面 ABIH , 即平面 ABIH 为平面α, 所以直线GF 为n ,直线 HI 为m ,又 HI ∥AB ,∠AFG 为直线m 与直线n 所成的角． 设 AG ＝x ,GH ＝y ,而 △AEG ∽△HNG ,所以 x ＋y ＝３２, x y ＝２ ５ , ì î í ïï ïï 解得x ＝６ ２ ７ ．理科数学参考答案和评分标准 　 第 ４　　　　 页(共 ９ 页) 在 Rt△ AGF 中,tan∠ AFG ＝ AG AF ＝ ６ ２ ７ ２ ＝３ ２ ７ ,故选 A ． 二、填空题 １３．【答案】１５ ４ ． 【命题意图】主要考查二项式定理有关知识,考查考生的运算求解能力． 【解析】因为T r ＋１＝C r ６Űx ６－r － １ ２x ２ æ è ç ö ø ÷ r ＝ －１ ２ æ è ç ö ø ÷ r ŰC r ６Űx ６－３r , 令 ６－３r ＝０,所以r ＝２,T ３＝１５ ４ ． １４．【答案】１４π ３ ． 【命题意图】主要考查平面图形折叠中的线面关系以及球的表面积,考查考生的空间想象能力和转化与划 化归能力． 【解析】沿 AD 折叠后二面角BＧADＧC 为 ６０°,即折叠后 ∠BDC ＝６０°,所以 △DBC 为等边三角形． 又因为 AB ＝２,所以折叠后 AD ＝DB ＝BC ＝CD ＝ ２． 设点O 为三棱锥AＧBCD 外接球的球心,O １ 为 △BDC 的外心． 所以 ２ sin６０° ＝２DO １,所以 DO １＝ ６ ３ ． 又OO １＝１ ２ AD ＝ ２ ２ ,所以球心半径R ２ ＝DO ２ １＋OO ２ １＝ ６ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝７ ６ ． 所以S 球 ＝４πR ２ ＝１４ ３π． １５．【答案】１３＋５５ ２ ． 【命题意图】主要考查平面向量加、减、数量积的运算,以及三角形内切圆和外接圆有关问题,考查考生的 化归与转化能力,逻辑推理和运算求解能力． 【解析】因为 △ABC 为直角三角形, 所以内切圆 ☉O １ 的半径r １＝３＋４－５ ２ ＝１, 外接圆 ☉O ２ 的半径r ２＝１ ２ AB ＝５ ２ , PM→ŰPN→＝(PO １→＋O １ M→)Ű( PO １→＋O １ N→) ＝PO １→２ ＋PO １→Ű(O １ M→＋O １ N→)＋O １ M→ŰO １ N→＝|PO １→| ２ －１． 又 |O １ O ２→|＝ ３ ２－１ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋(２－１)２ ＝ ５ ２ ,理科数学参考答案和评分标准 　 第 ５　　　　 页(共 ９ 页) 所以 |PO １→| 的最大值为 ５ ２ ＋５ ２ ,所以PM→ŰPN→的最大值为１３＋５５ ２ ． １６．【答案】 －ln２ ,－２ ９ln６ é ë êê ö ø ÷ ． 【命题意图】主要考查函数零点,利用导数分析函数的图象及性质,考查考生化归转化能力、推理运算能力 和数形结合能力． 【解析】因为f (x )＝ax ２ －ax ２ ln２ x ＋２ln２ x －２ln ２ ２x ＝ax ２ (１－ln２ x )＋２ln２ x (１－ln２ x )＝(１－ln２ x ) (ax ２ ＋２ln２ x )＝０,x ＞０, 所以 １－ln２ x ＝０　① 或ax ２ ＋２ln２ x ＝０　②． 由 ① 得x ＝e ２ ,由 ② 得 －a ＝２ln２ x x ２ ． 令g (x )＝２ln２ x x ２ ,则g′(x )＝２(１－２ln２ x ) x ３ ＝０,所以x ＝ e ２ ． 当x ∈ ０, e ２ æ è ç ö ø ÷ 时,g′(x )＞０,g (x )单调递增, x ∈ e ２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ 时,g′(x )＜０,g (x )单调递减． 事实上,当 ０＜x ＜１ ２ 时,g (x )＜０,当x ＞１ 时,g (x )＞０． 由图显然x １∈(０,１), x ２＝e ２∈(１,２), 所以[x １]＝０,[ x ２]＝１, 而[x １]＋[x ２]＋[x ３]＝３,所以[x ３]＝２,即x ３∈[２,３)． 所以 －a ≤g (２), －a ＞g (３), { 即 －a ≤２ln４ ４ , －a ＞２ln６ ９ , ì î í ï ï ïï 解得 －ln２≤ a ＜－２ln６ ９ ． 三、解答题 １７．【命题意图】主要考查解三角形、三角恒等变换、等比中项以及均值不等式的应用,考查考生的转化与化归 能力和运算求解能力． 【解析】(１)因为b ２ ＋２３ac sin B ＝a ２ ＋c ２ ＋２ac , 所以a ２ ＋c ２ －２ac cos B ＋２３ac sin B ＝a ２ ＋c ２ ＋２ac , ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 ３sin B －cos B ＝１, 即 sin B －π ６ æ è ç ö ø ÷ ＝１ ２ ． ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 因为 －π ６＜B －π ６＜５π ６ , 所以B －π ６＝π ６ , ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以B ＝π ３ ． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)△ABC 的面积为 ２ ３,所以１ ２ ac sin６０°＝２３ ,即１ ２ ac sin６０°＝２３ ,所以ac ＝８． ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺ 因为λ,b ,|a －c| 成等比数列,所以b ２ ＝|a －c|λ,由于a －c ≠０,所以λ＝ b ２ |a －c| ． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺ 又b ２ ＝a ２ ＋c ２ －２ac cos６０°＝ (a －c )２ ＋ac ＝(a －c )２ ＋８． ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以λ＝ b ２ |a －c| ＝ (a －c )２ ＋８ |a －c| ＝|a －c|＋ ８ |a －c| ≥２８＝４２． １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当且仅当 |a －c|＝２２ 时,取“＝”．理科数学参考答案和评分标准 　 第 ６　　　　 页(共 ９ 页) 所以λ 的最小值为 ４ ２． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １８．【命题意图】主要考查空间面面垂直关系,直线与平面所成角的求法,考查考生的空间想象能力、推理论证 能力和运算求解能力． 【解析】(１)连接 A １ C ,A １ N ,因为四边形 ACC １ A １ 为菱形,∠A １ AC ＝６０°,所以 △A １ AC 为等边三角形． 而点 N 为AC 中点,所以 A １ N ⊥AC ． 又平面 ACC １ A １⊥ 平面 ABC , ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 A １ N ⊥ 平面 ABC ,所以 A １ N ⊥BC ． ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 而四边形CBB １ C １ 为正方形,所以BC ⊥CC １ ．而CC １∥A １ A ,所以BC ⊥A １ A ． ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又因为 AA １∩A １ N ＝A １,所以BC ⊥ 平面 AA １ C １ C ． ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又因为BC ⊂ 平面BCC １ B １,所以平面BB １ C １ C ⊥ 平面 ACC １ A １ ． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)设 A １ C １ 的中点为点P ,以C 点为坐标原点,分别以向量CA→,CB→,CP→为x 轴, y 轴,z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系, 则有 A (２,０,０), B (０,２,０), A １(１,０, ３), N (１,０,０)． ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ AB→＝(－２,２,０), AM→＝２ ３ AB→＝ －４ ３ ,４ ３ ,０ æ è ç ö ø ÷ , NA→＝(１,０,０), 所以NM→＝NA→＋AM→＝ －１ ３ ,４ ３ ,０ æ è ç ö ø ÷ ． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又NA １→＝(０,０, ３), A １ B １→＝AB→＝(－２,２,０), 所以NB １→＝NA １→＋A １ B １→＝(－２,２, ３)． ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设平面B １ MN 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则 n ŰNM→＝０, n ŰNB １→＝０, { 所以 －１ ３ x ＋４ ３ y ＝０, －２x ＋２y ＋ ３z ＝０． ì î í ïï ïï 取y ＝１,则n ＝(４,１,２ ３), １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ BB １→＝AA １→＝(－１,０, ３)． １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设α 为直线BB １ 与平面B １ MN 所成的角, 所以 sin α＝ BB １→Űn |BB １→|| n | ＝ (－１,０, ３)Ű( ４,１,２ ３) １６＋１＋１２Ű １＋３ ＝ ２９ ２９ , 所以直线BB １ 与平面B １ MN 所成角的正弦值为 ２９ ２９ ． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １９．【命题意图】主要考查椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的位置关系,正弦定理等知识,考查考生的 逻辑推理能力和运算求解能力以及数形结合思想和化归与转化思想等． 【解析】(１)依题意: c a ＝１ ２ , １ ２ Ű２a Űb ＝２３, a ２ ＝b ２ ＋c ２ , ì î í ï ï ï ï ïï １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 a ＝２, b ＝ ３．{ ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 椭圆Γ 的方程为x ２ ４＋ y ２ ３ ＝１． ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)设C (x ０,y ０)( y ０≠０), 则x ２ ０ ４ ＋ y ２ ０ ３ ＝１, A (－２,０), B (２,０)．理科数学参考答案和评分标准 　 第 ７　　　　 页(共 ９ 页) 直线 AC : y y ０＝ x ＋２x ０＋２ 与直线l :x ＝４ 联立得 M ４, ６y ０ x ０＋２ æ è ç ö ø ÷ ． 直线BC : y y ０＝ x －２x ０－２ 与直线l :x ＝４ 联立得 N ４, ２y ０ x ０－２ æ è ç ö ø ÷ ． | MN |＝ ６y ０ x ０＋２－ ２y ０ x ０－２ ＝ ４|y ０| Ű|x ０－４| |x ２ ０－４| ． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设 ∠ACB ＝α,r １,r ２ 分别为 △ABC 和 △CMN 外接圆的半径,在 △ABC 中|AB | sin α ＝２r １, 所以r １＝|AB | ２sin α． 在 △CMN 中 | MN | sin (π－α)＝２r ２,所以r ２＝| MN | ２sin α , ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ S ２ S １＝ πr ２ ２ πr ２ １ ＝| MN | ２ |AB | ２ ＝ １６y ２ ０Ű(x ０－４)２ (x ２ ０－４)２ １６ ＝ y ２ ０(x ０－４)２ (x ２ ０－４)２ ． 又y ２ ０＝３ ４ (４－x ２ ０), 所以S ２ S １＝ ３ ４ (４－x ２ ０)( x ０－４)２ (x ２ ０－４)２ ＝３ ４ Ű (４－x ０)２ ４－x ２ ０ ． ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 令t ＝４－x ０,而 －２＜x ０＜２,所以 ２＜t ＜６． S ２ S １＝３ ４ Ű t ２ ４－(t －４)２＝３ ４ Ű t ２ －t ２ ＋８t －１２＝３ ４ Ű １ －１２ １t æ è ç ö ø ÷ ２ ＋８ １t æ è ç ö ø ÷ －１ ＝３ ４ Ű １ －１２ １t －１ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１ ３ ． １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以t ＝３,即x ０＝１ 时, S ２ S １ 取得最小值,最小值为９ ４ ． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２０．【命题意图】主要考查频率分布直方图、古典概型、离散型随机变量分布列、超几何分布等知识,考查考生 的数据处理能力、数学建模能力和数学运算能力． 【解析】(１)A 类学生有:( ０．００１２５×８０＋０．００２５×４０)×１００＝２０ 人, １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ B 类学生有:０．００６２５×８０×１００＝５０ 人, ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ C 类学生有:( ０．００５×４０＋０．００２５×４０)×１００＝３０ 人． ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)A ∶B ∶C ＝２０∶５０∶３０＝２∶５∶３, 故从 A 类中抽 ２ 人,B 类中抽 ５ 人,C 类中抽 ３ 人． ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设邀请的三人中是C 类的学生人数为X ,则 X 可取 ０,１,２,３． P (X ＝０)＝ C ３ ７ C ３ １０ ＝７ ２４ ,P (X ＝１)＝ C １ ３C ２ ７ C ３ １０ ＝２１ ４０ ,P (X ＝２)＝ C ２ ３C １ ７ C ３ １０ ＝７ ４０ ,P (X ＝３)＝ C ３ ３ C ３ １０ ＝ １ １２０ ． ６ 分ƺƺƺ 所以 X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ P ７ ２４ ２１ ４０ ７ ４０ １ １２０ ,所以E (X )＝０×７ ２４＋１×２１ ４０＋２×７ ４０＋３× １ １２０＝９ １０ ． ７ 分ƺƺ (３)学生随 机 独 立 参 加 语 文 或 数 学 在 线 辅 导 所 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 (C ３０ ５０)２ , ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当ξ＝k 时,由韦恩图可知,只参加语文辅导的人数为k －３０, 只参加数学辅导的人数为k －３０, 语文和数学都参加辅导的人数为 ６０－k ． ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 事件{ξ＝k }所包含的基本事件的总数为 C ３０ ５０C k －３０ ３０ C k －３０ ２０ ,理科数学参考答案和评分标准 　 第 ８　　　　 页(共 ９ 页) 所以P (ξ＝k )＝ C ３０ ５０C k －３０ ３０ C k －３０ ２０ (C ３０ ５０)２ ＝ C k －３０ ３０ C k －３０ ２０ C ３０ ５０ 最大． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 则 P (ξ＝k )≥P (ξ＝k ＋１), P (ξ＝k )≥P (ξ＝k －１), { 所以 C k －３０ ３０ C k －３０ ２０ ≥C k －２９ ３０ C k －２９ ２０ , C k －３０ ３０ C k －３０ ２０ ≥C k －３１ ３０ C k －３１ ２０ { ⇒ (k －２９)２ ≥(６０－k )( ５０－k ), (６１－k )( ５１－k )≥(k －３０)２{ ⇒４１２７ ５２≤k ≤４２２７ ５２ ． １１ 分ƺƺƺƺƺƺ 又因为k ∈N ∗ ,所以k ＝４２． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２１．【命题意图】主要考查函数的单调性和极值,函数导数的综合应用,考查考生的推理论证能力、运算求解能 力、抽象概括能力,考查化归与转化思想和分类讨论思想． 【解析】(１)a ＝１ ４ ,f (x )＝x －sin x ＋１ ２ x cos x ,x ∈(０,π), f′(x )＝１－１ ２cos x －１ ２ x sin x ． １ 分ƺƺƺƺ 令T (x )＝１－１ ２cos x －１ ２ x sin x ,T′ (x )＝－１ ２ x cos x ． ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当x ∈ ０,π ２ æ è ç ö ø ÷ 时,T′ (x )＜０,T (x )单调递减, 当x ∈ π ２ ,π æ è ç ö ø ÷ 时,T′ (x )＞０,T (x )单调递增, T (x )的最小值为T π ２ æ è ç ö ø ÷ ＝１－π ４＞０,所以T (x )≥T π ２ æ è ç ö ø ÷ ＞０,即f′(x )＞０, ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以f (x )在(０,π)上单调递增,所以f (x )＜f (π)＝π－０－π ２＝π ２ ,故f (x )＜π ２ ． ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺ (２)f (x )≥０⇔２ax (２＋cos x )－sin x ≥０⇔２ax － sin x ２＋cos x ≥０． 令g (x )＝２ax － sin x ２＋cos x ,x ≥０, ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ g′(x )＝２a － ２cos x ＋１ (２＋cos x )２ ． ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 令t ＝cos x ,h (t )＝ ２t ＋１ (２＋t )２,t ∈[－１,１], h′ (t )＝２(１－t ) (２＋t )３ ≥０,所以h (t )在[－１,１]上单调递增, 所以h (－１)≤h (t )≤h (１), 即 －１≤h (t )≤１ ３ ． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ① 当 ２a ≥１ ３ ,即a ≥１ ６ 时,g′(x )≥０,g (x )在[０,＋∞)上单调递增,所以g (x )≥g (０)＝０ 满足条件． ９ 分ƺ ② 当 ２a ≤０,即a ≤０ 时,g π ２ æ è ç ö ø ÷ ＝πa －１ ２＜０,显然不满足条件． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ③ 当 ０＜２a ＜１ ３ ,即 ０＜a ＜１ ６ 时,若x ∈ ０,π ２ æ è ç ö ø ÷ ,g (x )＜２ax －sin x ３ , 令φ(x )＝２ax －１ ３sin x ,x ∈ ０,π ２ æ è ç ö ø ÷ ,φ′(x )＝２a －１ ３cos x ＝１ ３ (６a －cos x ), ６a ∈(０,１), 故存在x ０,使x ∈(０,x ０)时,φ′(x )＜０,即φ(x )在(０,x ０)上单调递减,所以φ(x )＜φ(０)＝０, 即x ∈(０,x ０), g (x )＜φ(x )＜０,故不满足条件． １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 综上,a 的取值范围是 １ ６ ,＋∞ é ë êê ö ø ÷ ． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２２．【命题意图】主要考查圆与椭圆的参数方程和椭圆的极坐标方程,考查考生的数形结合能力、化归转化能 力和运算求解能力．理科数学参考答案和评分标准 　 第 ９　　　　 页(共 ９ 页) 【解析】(１)曲线C １:x ２ ＋(y －２)２ ＝２１ ９cos ２θ＋２１ ９sin ２θ,即x ２ ＋(y －２)２ ＝７ ３ ． ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 曲线C ２:５ρ２ －３ρ２ cos２ α＝８,即 ５ρ２ －３ρ２ (cos ２α－sin ２α)＝８, 所以 ５(x ２ ＋y ２ )－３(x ２ －y ２ )＝８,即x ２ ４ ＋y ２ ＝１． ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)设Q (２cos α,sin α), C １(０,２)． |C １ Q | ２ ＝(２cos α－０)２ ＋(sin α－２)２ ＝４－４sin ２α＋sin ２α－４sin α＋４ ＝－３sin ２α－４sin α＋８＝－３sin α＋２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋２８ ３ ． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当 sin α＝－２ ３ 时,|C １ Q | max ＝ ２８ ３ ＝２ ２１ ３ , ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 |PQ | max ＝２ ２１ ３ ＋ ２１ ３ ＝ ２１．即 |PQ | 的最大值为 ２１． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２３．【命题意图】主要考查利用综合法和基本不等式求最值以及证明不等式,考查考生的推理论证能力和运算 求解能力． 【解析】(１)因为a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝１, 所以 １a ＋b ＋１c ＝ a ＋b ＋c a ＋b ＋ a ＋b ＋c c ＝１＋ c a ＋b ＋ a ＋b c ＋１≥２＋２ c a ＋b Ű a ＋b c ＝４． 当且仅当a ＋b ＝c 时取“＝”,所以 １a ＋b ＋１c 的最小值为 ４． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)a ４ ＋b ４ ＋c ４ ＝１ ２ (a ４ ＋b ４ ＋b ４ ＋c ４ ＋a ４ ＋c ４ )≥１ ２ (２a ２b ２ ＋２b ２c ２ ＋２a ２c ２ )． 当且仅当a ＝b ＝c ＝１ ３ 时等号成立． ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １ ２ (２a ２b ２ ＋２b ２c ２ ＋２a ２c ２ )＝１ ２ (a ２b ２ ＋b ２c ２ ＋a ２b ２ ＋a ２c ２ ＋b ２c ２ ＋a ２c ２ ) ≥１ ２ (２ab ２c ＋２a ２bc ＋２abc ２ )＝abc (b ＋a ＋c )＝abc ． 当且仅当a ＝b ＝c ＝１ ３ 时等号成立． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以a ４ ＋b ４ ＋c ４ ≥abc ．当且仅当a ＝b ＝c ＝１ ３ 时等号成立． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ