2019-2020 学年度高一上学期期中(数学)考卷
一、单选题（每题 5 分，共 60 分)
1.设集合 ， ，则
A. {1,3} B. {3,5} C. {5,7} D. {1,7}
【答案】B
【解析】
试题分析：集合 与集合 的公共元素有 3，5，故 ，故选 B.
【考点】集合的交集运算
【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题
一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及
值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.
2.设集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知求得集合 S，再求出 ，从而求出 ，得选项.
【 详 解 】 由 得 或 ， 所 以 ， 所 以
，
又 ，所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题.
3.函数 的定义域是（ ）
{ }1,3,5,7A = { | 2 5}B x x= ≤ ≤ A B∩ =
{ | ( 2)( 3) 0}S x x x= − − { | 0}T x x= > ( )RC S T =
[ ]2,3 ( ) [ ), 2 3,−∞ − +∞
( )2,3 ( )0, ∞+
RC S ( )RC S T∩
( 2)( 3) 0x x− − 2x ≤ 3x ≥ ( ] [ ],2 3,S = −∞ ∪ +∞
( )2,3RC S =
{ | 0}T x x= > ( )RC S T = ( )2,3
0
0.5( ) ( 3) log ( 2)f x x x= − + −A. (2, ) B. (-∞,2)∪(2,3） C. (2,3）∪(3,+∞) D. (3,+∞)
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出每个式子满足的限定条件，再求交集即可
【详解】由题知 ，解得 的定义域是(2,3）∪(3,+∞)
故答案选：C
【点睛】本题考查具体函数定义域的求法，是基础题
4.函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
函 数 的 对 称 轴 为 ， 最 大 值 为 ， 最 小 值 为
， 值 域 ， 函 数 的 值 域 ， 故 函 数
的值域是 ，故选 C.
5.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
试题分析：因 的定义域相同,且解析式也相同,故应选 A．
考点：函数相等的定义．
+∞
3 0
2 0
x
x
− ≠
− >
0
0.5( ) ( 3) log ( 2)f x x x= − + −
2
2
2 (0 3)( )
6 ( 2 0)
x x xf x
x x x
− ≤ ≤= + − ≤ b a c> > c b a> >
1
43a
−= ( )01∈ ， 1
2
1log 3b =
2log 3 1> 3
1log 5c =
1
43a
−= ( )01∈ ， 1
2
1log 3b =
2log 3 1> 3
1log 5c = b a c> >先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和 0，
1，-1 比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。
8.若函数 满足 ，则 的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
变形 ，即可直接求出函数的关系式．
【详解】解：函数 满足 ，
则 ，且
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：利用恒等变换求函数的解析式．
9.函数 的图象大致是（ ）
A. B.
( )f x 1xf xx
+ =
( )f x
( ) ( )1 11f x xx
= ≠− ( ) ( )1 11f x xx
= ≠ −+
( ) ( )11
xf x xx
= ≠− ( ) ( )11
xf x xx
= ≠ −−
1 1
1 1
xf xx
x
+ = + −
( )f x 1xf xx
+ =
1 1
1 1
xf xx
x
+ = + −
1 11 1x
x x
+ = + ≠
1( ) ( 1)1f x xx
∴ = ≠−
( ) 1lnf x x x
= − C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过函数在 处函数有意义，在 处函数无意义，可排除 A、D；通过判断当 时，
函数的单调性可排除 C，即可得结果.
【详解】当 时， ，函数有意义，可排除 A；
当 时， ，函数无意义，可排除 D；
又∵当 时，函数 单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数 单调递增，可排除 C；
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与
分类讨论的思维能力，属于中档题.
10.若幂函数 f（x）=（m2–3m–3）xm 在（0，+∞）上为增函数，则实数 m=
A. 4 B. –1
C. 2 D. –1 或 4
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式 m2–3m–3=1 且 m>0 即得 m 的值.
【详解】幂函数 f（x）=（m2–3m–3）xm 在（0，+∞）上为增函数，所以 m2–3m–3=1，并且
m>0，解得 m=4.
【点睛】(1)本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.(2)解答本题不要漏掉了 m＞0.(3) 幂函数在 是增函数，
.
2x = 2x = − 1x >
2x = 1 1 0x x
− = >
2x = − 1 3 02x x
− = − <
1x > 1y x x
= −
( ) 1lnf x x x
= −
0,a > (0, )+∞，幂函数在 是减函数，且以两条坐标轴为渐近线.
11.若函数 在定义域上是单调递增函数，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
函数 在定义域上是单调递增函数，则有： ，解得
.
故选 D.
点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段
是一次函数，第二段是指数函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函
数，要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边不
大于右边，这样才能满足在 身上单调递增.
12.设奇函数 在 上是增函数，且 ，若对所有的 及任意的
都满足 ，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得 ，又因为 在 上是增函数，所以当 ，任意的
时，转化为 在 时恒成立，即 在
时恒成立，即可求解.
0a < (0, )+∞
,( 1)
(4 ) ,( 1)
xa xy
a x a x
≥= − −
− − ≤
4 33 a≤ <
R
( )f x [ ]1,1− ( )1 1f − = − [ ]1,1x∈ −
[ ]1,1m∈ − 2( ) 2 1f x t mt≤ − + t
[ ]2 2− , 1 1,2 2
−
{ }1 1, , 02 2
−∞ − ∪ +∞ ∪
( ] [ ) { }, 2 2, 0−∞ − +∞
( )1 1f − = − ( )f x [ ]1,1− [ ]1,1x∈ −
[ ]1,1m∈ − 2 2 1 1t mt− + ≥ [ ]1,1m∈ − 2 2 0t mt− ≥ [ ]1,1m∈ −【详解】由题意，得 ，
又因为 在 上是增函数，所以当 时，有 ，
所以 在 时恒成立，即 在 时恒成立，
转化为 在 时恒成立，
所以 ，解得 或 或 ，
即实数 的取值范围是 ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据函数的性质，把不等式
的恒成立问题转化为当 ，任意的 时，转化为 在
时恒成立是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题（每题 5 分，共 20 分)
13.已知函数 （ 且 ），则 的图象恒过的定点的坐标为
______.
【答案】
【解析】
【分析】
由指数函数恒过定点的坐标，即可得出结果.
【详解】因为指数函数 恒过定点 ，
所以 恒过定点 .
故答案为
【点睛】本题主要考查函数恒过定点的问题，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.
14.函数 的单调递增区间是_________。
【答案】
【解析】
设 ， 或
( ) ( )1 1 1f f= − − =
( )f x [ ]1,1− [ ]1,1x∈ − ( ) ( )1 1f x f≤ =
2 2 1 1t mt− + ≥ [ ]1,1m∈ − 2 2 0t mt− ≥ [ ]1,1m∈ −
( ) 2 2 0g m t mt= − ≥ [ ]1,1m∈ −
( ) ( )1 0, 1 0g g− ≥ ≥ 2t ≥ 2t ≤ − 0t =
t ] [( ) { }, 2 2, 0−∞ − ∪ +∞ ∪
[ ]1,1x∈ − [ ]1,1m∈ − 2 2 0t mt− ≥ [ ]1,1m∈ −
( ) 2xf x a= − 0a > 1a ≠ ( )y f x=
( )0, 1−
xy a= (0,1)
( ) 2xf x a= − (0, 1)−
( )0, 1−
2( ) ln( 2 8)f x x x= − −
( )4,+∞
2ln , 2 8 0y u u x x= = − − > 2x < − 4x > 为增函数， 在 为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”
可知：函数 的单调递增区间是 .
15.若方程 有四个互不相等的实数根，则 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出 的函数图象，根据图象得出 的范围．
【详解】作出 的函数图象如图所示：
∵程 有四个互不相等的实数根，
∴直线 与 的函数图象有 4 个交点，
当 时， ； 时， ，
∴ ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了方程解的个数与函数图象的关系，利用数形结合思想是解题的关键，
属于中档题．
16.函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
lny u= 2 8u x x= − − (4, )+∞
( ) ( )2ln 2 8f x x x= − − (4, )+∞
2 4 3x x m− + = m
( )1,3−
2 4 3y x x= − + m
2
2
2
4 3, 04 3
4 3, 0
x x xy x x
x x x
− + >= − + = + + ≤
2 4 3x x m− + =
y m= 2 4 3y x x= − +
2x = 1y = − 0x = 3y =
1 3m− < <
( )1,3−
2 2 , 1( )
2 , 1x
x x a xf x
x
− + − ∴ ≥ < ≤ − − ≥ + ≤
或 或
1 2.2a a≤ − ≥或注意 得特殊性，在利用 解题时，应对 A 是否是 进行讨论.
18.计算：（1） ．
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）3；（2）1.
【解析】
【分析】
(1)根据指数与对数的运算法则化简即可得结果.(2)要求 的值需求出 a，b 的值故可根据
条件 2a=5b=10 结合指数式与对数式的转化公式：ab=N＜=＞b=logaN 求出 a，b 然后代入再结合
换底公式化简即可得解．
【详解】(1) =lg5+ + +lg2 =
+ + =1+2=3
(2)∵2a=5b=10
∴a=log210，b=log510
∴ =log102+log105=log1010=1
【点睛】本题主要考查指数式与对数式的运算法则．解题的关键是熟练应用指数式与对数
式的公式,属于基础题.
19.函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
（1）计算 ， ；
（2）当 时，求 的解析式．
【答案】(1)f(0)=0,f(-1)=-1；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，得到 f(-x)=-f(x),进而得到 f(0)，同时利用对称性得到 f(-1)的值。
A B∩ = ∅
( )2 21 log 3lg5 ln e 2 lg2 lg5 lg2− ++ + + + ⋅
2 5 10a b= = 1 1
a b
+
1 1
a b
+
( )2 21 log 3lg5 ln e 2 lg2 lg5 lg2− ++ + + + ⋅ 1
2
3
2log12 2− × (lg 2 lg5)× +
lg5 lg 2+ 1
2
1
2 3×
1010
52
1 1 1 1+ = loga b log
+
( )f x R 0x > 2( ) 1f x x x= − +
( )0f ( )1f −
0x < ( )f x
2( ) 1f x x x= − − −（2）令 则 则 ，结合性质得到结论。
【详解】（1） ，
（2）令 则 则 ，又函数 f(x)是奇函数
所以
【点睛】本题主要是考查函数奇偶性和函数的解析式的运用。解决该试题的关键是利用奇函
数的对称性得到 x 2( ) 1f x x x− = + +
( ) ( ) ( )0 0 0 0f f f= − ⇒ = ( ) 21 (1) (1 1 1) 1f f− = − = − − + = −
0x < 0,x− > 2( ) 1f x x x− = + +
( ) ( )f x f x− = − ( ) 2 1f x x x= − − −
( )f x (0) 2, ( 1) ( ) 2 3f f x f x x= + − = +
( )f x
( ) ( ) 2h x f x tx= − [1, )x∈ +∞ ( )h x
2( ) 2 2f x x x= + + ( ) 2min
5 2 ,( 2)
2 1,( 2)
t th x t t t
− ≤= − + + ＞
2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ( )0 2f = c
( 1) ( ) 2 3f x f x x+ − = + ,a b ( )f x
2( ) 2(1 ) 2h x x t x= + − + 2t ≤ 2t >
2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ (0) 2, ( 1) ( ) 2 3f f x f x x= + − = +
( ) ( )2 2
2
1 1 2 3
c
a x b x c ax bx c x
= + + + + − + + = +
2
2 2 3
c
ax a b x
=
+ + = +
2
2 2
3
c
a
a b
=
=
+ =
2
1
2
c
a
b
=
=
=
2( ) 2 2f x x x= + +
2( ) 2(1 ) 2h x x t x= + − + 1x t= −①当 即 时，函数 单调递增 ；
②当 即 时，函数在 单调递减，在 单调递增，
，
综上：
【点睛】求二次函数的解析式，应根据题设条件设出合理的解析式的形式（如一般式、双根
式、顶点式），二次函数在给定范围的最值问题，应该根据开口方向和最值的类型选择合理的
分类方法.
21.设函数 在[0,1]上是减函数,
（1）求实数 范围；
（2）求 = 的单调递增区间和值域.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据复合函数的单调性的判定方法，即可求解实数 的取值范围；
（2）令 ，可得在 上单调递增，在 单调递减，根据复合函数的单
调性，可得函数 单调递增区间和函数的值域.
【详解】（1）显然 a>0,u=3-ax 在[0,1]上是减函数，要 f(x)在[0,1]上是减函数,
必须且只需 y=logu 是增函数，∴a>1,
又由由 u>0 得 a
( ) log (3 )af x ax= −
a
( )g x 2 2x xa− +
(1,3)
a
2 2u x x= − + ( ,1]−∞ [1, )+∞
( )g x
( ) 2 2x xg x a− += 2 2u x x= − + ( ,1]−∞ [1, )+∞
1a > ( )g x
( )1g a= ( )g x (0, ]a中档试题.
22.定义在 上的函数 对任意的 ，满足条件： ，
且当 时， .
（1）求 的值；
（2）证明：函数 是 上的单调增函数；
（3）解关于 的不等式 .
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（1）因为定义在 R 上的函数，令令 ,可得 .(2)抽象函数的单调
性 一 般 用 定 义 证 明 ，
，
只需判断 与 1 的大小比较。（3）由（1）可知 ,所以不等式变形为
f(0),又由（2）知 是 上的单调增函数，所以 。
试题解析：（Ⅰ）由题意：定义在 R 上的函数 对任意的 ，
满足条件： ,
令 ，由 ，解得 .
（Ⅱ）证明：设 ， ，则 ，
由题意知， ，
所以
，
即 ，
所以函数 是 R 上的单调增函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）（Ⅱ）可知函数 是 R 上的单调增函数，且 ，
.
R ( )y f x= ,x y R∈ ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + −
0x > ( ) 1f x >
(0)f
( )f x R
t 2(2 ) 1f t t− <
(0) 1f = 1(0, )2
0x y= = ( )0 1f =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 11 1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x− = − + − = − + − − = − −
( )2 1f x x− ( )0 1f =
( )2f 2t t− < ( )f x R 22 0t t− <
( )y f x= , Rx y∈
( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + −
0x y= = ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − ( )0 1f =
1 2x x< 1 2, Rx x ∈ 2 1 0x x− >
( )2 1 1f x x− >
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 2 1 1 11f x f x f x x x f x f x x f x f x− = − + − = − + − −
( )2 1 1 0f x x= − − >
( ) ( )2 1f x f x>
( )f x
( )f x ( )0 1f =不等式 ，即 ， 源:]
故 ，解得 .
所以不等式的解集为 .
( )22 1f t t− < ( ) ( )22 0f t t f− <
22 0t t− < 10 2t< <
10, 2
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