广东省高三数学（理）试卷（2020.4）（含解析）

高三数学（理） 第 1 页，共 2 页 高三数学（理）试卷 本试卷分必做题和选做题两部分．满分 分，考试时间 分钟． 注意事项： 1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作 答．若在试题卷上作答，答题无效． 2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设全集 ，集合 , , 则 （ ） A. B. C. D. 2.设 是平面， 是空间两条不重合的直线，且 则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验， 根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有 效果的图形是（ ） 4．欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非 常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”， 表示的复数位于复平面内（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限5.平面向量 与 的夹角为 60°，且 ， 为单位向量，则 （ ） A. B. C. 19 D. 6.已知圆 C：x2＋y2－10y＋21＝0 与双曲线 的渐近线相切，则该双曲 线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7.函数 的图像大致是( ) 8．已知 ， 满足 且目标函数 的最大值为 7，最小值为 ，则 　（　　） A. B. C. D. 9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间 艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图如右图, 其中的 4 个小圆均过正方形的中心, 且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取 一点, 则该点取自黑色部分的概率为( ) A. B. C. D. 10. 已知函数 , 且函数 在 上单调递增, 则正数 的最大值为( ) A. B. C. D. 11.已知点 ，动点 满足： ，直线 与点 的轨迹交于 两点，则直线 的斜率之积 （ ） A. B. C. D. 不确定 12．已知正四面体 的棱长为 ， 分别是 上的点，过 作平面 ，使得 均与 平行，且 到 的距离分别为 ，则正四面体 的 外接球被 所截得的圆的面积为（ ）    ≤ >−= 1, 1),1ln()( cos xe xxxxf xπ 150 120 0.5 { }8U x x∗= ∈N ≤ { }1,3,7A = { }2,3,8B = ( )U A B = { }3 { }1,7 { }2,8 { }2,3,4,5,6,8 α ,m l l α⊥ m l⊥ / /m a xixeix sincos += i i e i 4 π a b 3a = b 2a b+ =  3 19 2 3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 5 3 5 2 5 x y    ≤++ ≤+ ≥ 0 4 1 cbyax yx x yxz += 2 1 =++ a cba 2 2− 1 1− 3 32 π (3 2 2) 2 π− (2 2) 4 π− 8 π xxxxf 2cos3cossin)( += ( )y f xω= ,4 12 π π −   ω 1 2 2 3 3 2 1 ( 1,0), (1,0)M N− ( , )P x y 4 1 cosPM PN MPN ⋅ = + ∠ kxy = P BA, PBPA, =⋅ PBPA kk 2 3 − 3 2 − 2 3 A BCD− 6 2 ,M N ,AC AD MN α ,AB CD α ,AB CD α 2,4 A BCD− α 高三数学（理） 第 2 页，共 2 页 A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知一组鞋码与身高的数据（ 表示鞋码， 表示身高），其中 . 若用此数据计算得到回归直线 ，则由此估计当鞋码为 时身高约为 __________ . 14.已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为 . 15． 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ， ， ，则 16.若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分 12 分)已知递增等差数列{ }满足 ，数列{ }满足 .（Ⅰ）求{ }的前 项和 ；（Ⅱ）若 ， 求数列{ }的通项公式. 18.(本小题满分 12 分)如图 1，在直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点， 是 与 的交点，将 沿 折起到图 2 中 的位置，使得 ，得 到四棱锥 .（Ⅰ）证明：平面 平面 ；（Ⅱ）若直线 与平面 所成角为 .求 . 19.(本小题满分 12 分)已知动圆 与定圆 相外切，又与定直线 相切,（Ⅰ）求动圆的圆心 的轨迹 的方程，（Ⅱ）过点 的直线 交曲线 于 两点，直线 分别交直线 于点 和点 ．求证:以 为直径的圆经过 轴上 的两个定点. 20.（本小题满分 12 分） 依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频 率分布直方图如图(甲) 所示; 依据当地的地质 构造, 得到水位与灾害等级的频率分布条形图 如图(乙) 所示.（Ⅰ）以此频率作为概率, 试估 计该河流在 8 月份发生 1 级灾害的概率;（Ⅱ） 该河流域某企业, 在 8 月份, 若没受 1、2 级灾 害影响, 利润为 500 万元; 若受 1 级灾害影响, 则亏损 100 万元; 若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元. 现此企业有如下三种应对方案: (如右表) 。试问, 如仅从利润考虑, 该企业应选择 这三种方案中的哪种方案？说明理由. 21．（本小题满分 12 分）已知函数 有两个不同的极 值点 .（Ⅰ）求实数 的取值范围；（Ⅱ）设 ，求证： 请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分 10 分）选修 4—4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线 交于 ， 两点.(Ⅰ)求 的长；(Ⅱ)在以 为极点， 轴正半轴为极 轴的极坐标系中，设点 的极坐标为 ，求点 到线段 中点 的距离。 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 的最大值为 ，(Ⅰ)求 的值 ，(Ⅱ)已知 为正数,且 ABCD E AD O BE ABE∆ BE 1A BE∆ 1A BCDE− 1A BE ⊥ BCDE 方案 防控等级 费用(单位: 万元) 方案一 无措施 0 方案二 防控 1 级灾害 40 方案三 防控 2 级灾害 100 11π 18π 26π 27π x ( )y cm 360m n+ = x 40 41 42 43 44 y 172 175 m n 183  2.25y x a= + 40 cm 0 3 sinm xdx π= ∫ ( 2 3 )ma b c+ − 2 3mab c − ABC∆ , ,A B C , ,a b c AA cos3sin2 2 = 3=a 2=b _______.B = 2( ) ln 1xx e a x x− ≥ + + a na 21,10 4251 =⋅=+ aaaa nb ∗∈−= Nnab nn ,1log2 2 nb n nS nn bbnnbT ++−+= ...)1( 21 nT 2,// π=∠BADBCAD 1== BCAB 2=AD AC 11 =CA DA1 BCA1 θ θsin M 1)2(: 22 1 =+− yxC 1:1 −=xl M 2C )0,2(1C l 2C BA, 2:2 =xl OBOA, E F EF x π( ) e (sin cos ) ( π)2 xf x x x ax x= − − ≤ ≤ 1 2,x x a ( ) ( )g x f x′= 1 20 ( ) .2 x xg a +′< < xoy l 2 2 3 x t y t = − − = − t l 2 2: 2) 1C y x− − =（ A B AB O x P 3(2 2, )4 π P AB M ( ) 1 1f x x x= + - - M M cba ,, 高三数学（理） 第 3 页，共 2 页 ,证明: . 高三数学（理）试卷答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.设全集 ，集合 , , 则 （C. ） A. B. C. D. 2.设 是平面， 是空间两条不重合的直线，且 则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.【答案】B.【解析】 . 3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根 据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的 图形是（ ） 3.【答案】D【解析】从图知，不服药患病的概率高，服药患病的概率低，故选 D. 4．欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函 数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的 地位，被誉为“数学中的天桥”， 表示的复数位于复平面内（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 4.【答案】A．【解析】 5.平面向量 与 的夹角为 60°，且 ， 为单位向量，则 （ B ） A. B. C. 19 D. 6.已知圆 C：x2＋y2－10y＋21＝0 与双曲线 的渐近线相切，则该双曲线 的离心率是（ C ） A. B. C. D. 7.函数 的图像大致是( ) 7.【答案】 【解析】当 时， 单调递增排除，当 时 单调递减. 8．已知 ， 满足 且目标函数 的最大值为 7，最 小值为 ，则 　（　　） A. B. C. D. 8.【答案】B. 9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图如右图, 其中的 4 个小圆均过正方形的中心, 且内切于正方形的两邻边.若在正方形内 随机取一点, 则该点取自黑色部分的概率为( ) A. B. C. D. 9．【答案】B.【详解】如图所示，设正方形的边长为 1，其中的 4 个    ≤ >−= 1, 1),1ln()( cos xe xxxxf xπ a b c M+ + = 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥ { }8U x x∗= ∈N ≤ { }1,3,7A = { }2,3,8B = ( )U A B = { }3 { }1,7 { }2,8 { }2,3,4,5,6,8 α ,m l l ，a^ m l^ / /m a / /m l m m或a a^ Þ Ì xixeix sincos += i i e i 4 π iii i i e i i 2 2 2 2)4sin4(cos 4sin4cos4 +=−= + = ππ πππ a b 3a = b 2a b+ =  3 19 2 3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 5 3 5 2 5 C 1>x )(xf )1,0(∈x )(xf x y    ≤++ ≤+ ≥ 0 4 1 cbyax yx x yxz += 2 1 =++ a cba 2 2− 1 1− 3 32 π (3 2 2) 2 π− (2 2) 4 π− 8 π 高三数学（理） 第 4 页，共 2 页 圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为 r，故 ∴黑色部分面积 ，正方形的面积为 1， ∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为 ，故选：B． 10. 已知函数 , 且函数 在 上单调递增, 则正 数 的最大值为( ) A. B. C. D. 10. 【答案】D.【详解】依题意， 又函数 在 上单调递 增， ， ， ， 即 ， ，得 11.已知点 ，动点 满足： ，直线 与 点 的轨迹交于 两点，则直线 的斜率之积 （ ） A. B. C. D. 不确定 12.【答案】 A.【解析】点 的轨迹方程为 12．已知正四面体 的棱长为 ， 分别是 上的点，过 作平面 ， 使得 均与 平行，且 到 的距离分别为 ，则正四面体 的外接球 被 所截得的圆的面积为（ ） B. B. C. D. 12. C【解析】将正四面体 补形成棱长为 6 的正方体 ，则 的 外接球球心 即为正方体的中心，故球 的半径 ,且 与面 平行， 到面 的距离分别为 和 ，此时 到 的距离为 ，故 被球 所截圆半径 ，从而截面圆的面积为 . 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸 上） 13．已知一组鞋码与身高的数据（ 表示鞋码， 表示身高），其中 . 若用此数据计算得到回归直线 ，则由此估计当鞋码为 时身高约为__________ . 13. 【解析】 ，将 代入回归直线可得 ，故当鞋码为 时 身高约为 . 14.已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为 . 14.【答案】 .【解析】 ∴二项式 的展开式中 的系数为 . 15． 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ， ， ，则 15. .【解析】， ， ， ， . 16.若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 . 16.【答案】 【解析】 .2 2 2 1OOBO2rOOEOBE 22222 ===+==== BDBOrBO ，， 2 22,2 22 −==+∴ rrr ππ 2 223)2 22 2 −=−= （S π 2 223− xxxxf 2cos3cossin)( += ( )y f xω= ,4 12 π π −   ω 1 2 2 3 3 2 1 2 3)32sin()( ++= π xxf ( 1,0), (1,0)M N− ( , )P x y 4 1 cosPM PN MPN ⋅ = + ∠ kxy = P BA, PBPA, =⋅ PBPA kk 2 3 − 3 2 − 2 3 P 2 2 1.3 2 x y+ = A BCD− 6 2 ,M N ,AC AD MN α ,AB CD α ,AB CD α 2,4 A BCD− α 11π 18π 26π 27π A BCD− APBQ ECFD− A BCD− O O 6 3 3 32R = = α ,APBQ ECFD α ,APBQ ECFD 2 4 O α 1 α O 2 21 26r R= − = 26π x ( )y cm 360m n+ = x 40 41 42 43 44 y 172 175 m n 183  2.25y x a= + 40 cm 5.173 42, 178x y= = ( , )x y 83.5a = 40 )(5.1735.834025.2 cm=+× 0 3 sinm xdx π= ∫ ( 2 3 )ma b c+ − 2 3mab c − 6480− 00 3 sin 3cos 3[ 1 1] 6m xdx x π π= = − = − − − =∫ 6( 2 3 )a b c+ − 2 3ab c 1 2 2 3 6 52 ( 3) 6480C C× × − = − ABC∆ , ,A B C , ,a b c AA cos3sin2 2 = 3=a 2=b _______.B = π 4A = 02cos3cos2cos3sin2 22 =−+⇒= AAAA 0)2)(cos1cos2( =+− AA 3,2 1cos π== AA 4,,2 2sinsin π=dd（    =++ =+ 21)3)(( 1042 11 1 dada da 舍去）或 (2 9 2 1 11    −= =    = = d a d a 2 1na n= − ， .2,1log 1 2 −=−= n nn bnb .1212 12 −=− −= n n nS nn bbnnbT ++−+= ...)1( 21 1 1 2 1 2 3 1 2( ) ( ) ( )n nT b b b b b b b b b= + + + + + + + + + +  2 1 2 (2 1) (2 1) + 2 1)n nS S S= + + + = − + − + −  （ 2 12(2 1)(2 2 +2 2 22 1 n n nn n n+−= + + − = − = − −− ） 2,// π=∠BADBCAD 1== BCAB 2=AD AC 11 =CA DA1 BCA1 θ θsin ABCE ,ACBE ⊥ BE OCBE ⊥ OCA1∠ BEA1 22 1 2 1 OCOACA += 21 π=∠ OCA O 1 2 2 2 2( ,0,0),E( ,0,0),A (0,0, ),C(0, ,0),2 2 2 2B - BECD = )0,2 2,2(−D 2 2BC=( , ,0),2 2  - 1 2 2A C=(0, , )2 2  - 1BCA 1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 1 0 0 n BC n AC  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 0 0 x y y z − + =  − = 1 (1,1,1)n = )2 2,2 2,2(1 −−=DA 1 1 1 2sin | cos , | | | 3| |,| | n A Dn A D n A D θ ⋅= 〈 〉 = =      M 1)2(: 22 1 =+− yxC 1:1 −=xl 高三数学（理） 第 6 页，共 2 页 切,（Ⅰ）求动圆的圆心 的轨迹 的方程，（Ⅱ）过点 的直线 交曲线 于 两点， 直线 分别交直线 于点 和点 ．求证:以 为直径的圆经过 轴上的两个定 点. 解：（Ⅰ）易知 到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以 的轨迹方程为： （4 分） （Ⅱ）显然直线 不与 轴重合，设直线 方程为： ，与 联立消 得： ，设 ，则 ，直线 方程为： ，所以 即 ，同理 ，所以以 为直径的圆方程为： ，令 得： ， 即 ， 以 为直径的圆经过 轴上的两个定点 和 .(12 分) 20.（本小题满分 12 分） 依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率 分布直方图如图(甲) 所示; 依据当地的地质构造, 得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图 (乙) 所示.（Ⅰ）以此频率作为概率, 试估计该河流在 8 月份发生 1 级灾害的概率;（Ⅱ）该河流 域某企业, 在 8 月份, 若没受 1、2 级灾害影响, 利润为 500 万元; 若受 1 级灾害影响, 则亏损 100 万元; 若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元. 现此企业有如下三种应对方案: (如右表) 。试问, 如 仅从利润考虑, 该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由. 18．解：（Ⅰ）依据甲图，记该河流 8 月份“水位小于 40 米”为事件 ，“水位在 40 米至 50 米 之间”为事件 ，“水位大于 50 米”为事件 ，它们发生的概率分别为： ， ． 记该地 8 月份“水位小于 40 米且发生 1 级灾害”为事件 ，“水位在 40 米至 50 米之间且发生 1 级灾害”为事件 ，“水位大于 50 米且发生 1 级灾害”为事件 ，所以 ． 记“该河流在 8 月份发生 1 级灾害”为事件 ． 则 ． 估计该河流在 8 月份发生 1 级灾害的概率为 ． （Ⅱ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润 （万元）的取值为： ，由（1）知 ． 的分布列为 X1 500 －100 －1000 P 0.81 0.155 0.035 则该企业在 8 月份的利润期望 （万元）． 选择方案二，则 （万元）的取值为： ，由（Ⅰ）知， 方案 防控等级 费用(单位: 万元) 方案一 无措施 0 方案二 防控 1 级灾 害 40 方案三 防控 2 级灾 害 100 M 2C )0,2(1C l 2C BA, 2:2 =xl OBOA, E F EF x M )0,2(1C 2: −=xl M xyC 8: 2 2 = l x l 2+= myx xyC 8: 2 = x 01682 =−− myy ),(),,( 2211 yxByxA 16,8 2121 −=⋅=+ yymyy OA xx yy 1 1= )2,2( 1 1 x yE )16,2( 1yE )16,2( 2yF EF 0)16)(16()2)(2( 11 =−−+−− yyyyxx 0=y 025644 21 2 =++− yyxx 62,01242 =−==−− xxxx 或 EF x )0,2(1 −G )0,6(2G 1A 2A 3A ( ) ( ) ( ) ( )1 20.02 0.05 0.06 5 0.65, 0.04 0.02 5 0.30P A P A= + + × = = + × = ( )3 0.01 5 0.05P A = × = 1B 2B 3B ( ) ( ) ( )1 2 30.1, 0.2, 0.6P B P B P B= = = B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3P B P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B= + + = + + 0.65 0.10 0.30 0.20 0.05 0.60 0.155= × + × + × = 0.155 1X 500, 100, 1000− − ( ) ( )1 1500 0.65 0.9 0.30 0.75 0.05 0 0.81, 100 0.155,P X P X= = × + × + × = = − = ( )1 1000 0.65 0 0.30 0.05 0.05 0.40 0.035P X = − = × + × + × = 1X ( ) ( ) ( )1 500 0.81 100 0.155 1000 0.035 354.5E X = × + − × + − × = 2X 460, 1040− 高三数学（理） 第 7 页，共 2 页 ， 的分布列为： X2 460 －1040 P 0.965 0.035 则该企业在 8 月份的平均利润期望 （万元） 选择方案三，则该企业在 8 月份的利润为： （万元）由于 ，因此企业应选方案二． 22．（本小题满分 12 分）已知函数 有两个不同的极值 点 .（Ⅰ）求实数 的取值范围；（Ⅱ）设 ，求证： 21．【解析】（Ⅰ）由已知， ，则 为 在 的两个不同 的零点，且 ，故当 时 ，当 时 ，所以当 时 单调递增，当 时 单调递 减.故当 在 有两不同的实根时， ，解得 （Ⅱ）不妨假设 ，则 ， 时， 所以 在 单调递减， 故 而 ， 设 ，则 因为 时 ，故 ， 所以 在 单调递减，故有 ，即 成立， 即 ，从而 ， 即 综上所述 请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分 10 分）选修 4—4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线 交于 ， 两点.(Ⅰ)求 的长；(Ⅱ)在以 为极点， 轴正半轴为极轴 的极坐标系中，设点 的极坐标为 ，求点 到线段 中点 的距离。 解:(Ⅰ)直线 的参数方程化为标准型 （ 为参数）代人曲线 方程得： 设 ， 对应的参数分别为 ，则 所以 ； (Ⅱ) 点的直角坐标为 在直线 上． 中点 对应的参数为 所以点 到线段 中点 的距离。 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 的最大值为 ，(Ⅰ)求 的值 ，(Ⅱ)已知 为正数,且 ,证明: . 解：(Ⅰ) ，所以 ( ) ( )2 2460 0.81 0.155 0.965, 1040 0.035P X P X= = + = = − = 2X ( ) ( )2 460 0.965 1040 0.035 407.5E X = × + − × = ( )3 500 100 400E X = − = ( ) ( ) ( )2 3 1E X E X E X> > π( ) e (sin cos ) ( π)2 xf x x x ax x= − − ≤ ≤ 1 2,x x a ( ) ( )g x f x′= 1 20 ( ) .2 x xg a +′< < ( ) ( ) 2e sinxg x f x x a′= = − 1 2,x x ( )g x π( ,π)2 π( ) 2e (sin cos ) 2 2e sin( )4 x xg x x x x′ = + = + π 3π( , )2 4x∈ ( ) 0g x′ > 3π( ,π)4x∈ ( ) 0g x′ < π 3π( , )2 4x∈ ( )g x 3π( ,π)4x∈ ( )g x ( )g x π( ,π)2x∈ π 3π( ) 0, (π) 0, ( ) 02 4g g g< < > π 3π 2 42e 2e .a< < 1 2x x< 1 2 π 3π π2 4x x< < < < ( , )2x π π∈ 0cos4)( = ⇔ < < 1 2 2 1 2 1 1 1 3π 3π 3π 3π 3ππ ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 2 2x x x x g x g x g x g x+ < ⇔ < < − < ⇔ > − ⇔ > − 3π π 3π( ) ( ) ( )( )2 2 4F x g x g x x= − − < < 3π 3π 2 23π π 7π π( ) ( ) ( ) 2 2[e sin( ) e sin( )] 2 2 sin( )(e e )2 4 4 4 x xx xF x g x g x x x x − −′ ′ ′= + − = + + − = + − π 3π 2 4x< < 3π 3π 3π 3π 2 4 2 4πsin( ) 0,e e e e 04 xxx − −+ > − < − = ( ) 0F x′ < ( )F x π 3π( , )2 4 3π( ) ( ) 04F x F> = 1 1 3π( ) ( )2g x g x> − 1 2 3π 2x x+ < 1 2 1 2π 3π 3π π( ) ( ) ( )2 2 4 4 2 2 x x x xg g g + +′ ′ ′< < ⇒ < < π 1 2 20 ( ) 2e .2 x xg a +′< < < 1 20 ( ) .2 x xg a +′< < xoy l 2 2 3 x t y t = − − = − t l 2 2: 2) 1C y x− − =（ A B AB O x P 3(2 2, )4 π P AB M l 12 2 32 2 x t y t  = − +  = + t C 2 4 10 0,t t+ − = A B 1 2,t t 1 2 1 24, 10,t t t t+ = − ⋅ = − 1 2 2 14AB t t= − = Ρ ( )2,2− l AB M 1 2 22 t t+ = − P AB M 2PM = ( ) 1 1f x x x= + - - M M cba ,, a b c M+ + = 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥ ( ) 1 1 ( 1) (1 ) 2f x x x x x= + - - £ + + - = 2=M 高三数学（理） 第 8 页，共 2 页 (Ⅱ)由 ，同理 则 ， 即 当且仅当 时等号成立 2 2a b c bc b b b − += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba c c c a a a − + − += ≥ = ≥ 2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba b c a b c a − − −⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ = 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥ 2 3a b c= = =