2020年高考数学押题预测卷02（山东卷全解全析）

数学 第 1 页（共 12 页） 2020 年高考押题预测卷 02（山东卷） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C D B C A D D ACD BD AB ACD 1．C【解析】∵ , , ∴ ,故选：C. 2．C【解析】由题意可知 ， 从而 .故选：C. 3．D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 ， ， ， .故选：D 4．B【解析】因为 ，且点 F 在线段 BC 上，则 ，且 ， 则 .故选：B. 5．C【解析】由 可知函数 为奇函数.所以函数图象关于原点对称，排除选 项 A，B；当 时， ， ，排除选项 D，故选：C. 6．A【解析】6 拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为 .故选：A. 7．D【解析】如图，四边形 为等腰梯形，则其必有外接圆，设 为梯形 的外接圆圆心， 当 也为四棱锥 的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，点 必在 上， { }2A x x= < { }2 2B x x= − ≤ ≤ { }2 2A B x x∩ = − ≤ < 3 2 2 3iz ii += = − 2 22 3 , 2 4 , 2 4 2 5z i z i i z i= + ∴ + = + ∴ + = + = :p 1x∀ ≥ 22 log 1x x− ≥ :p¬ 1x∃ ≥ 22 log 1x x− < ( )2 0, 0AF xAB yAC x y= + > >   2 1x y+ = 0, 0x y> > ( )1 2 1 2 42 4 4 4 8y xx yx y x y x y  + = + + = + + ≥ + =   cos( ) ( )2 2x x x xf x f x−− = − = −+ ( )f x 0 2x π< < cos 0x > cos( ) 2 2 0x x x xf x −∴ = + ＞ 1 5P = BCFE O BCFE O P BCFE− A BC BC M EF N ,PM PN O AM数学 第 2 页（共 12 页） 、 分别为 、 的中点，则必有 ， ，即 为直角三角 形.对于等腰梯形 ，如图： 因为 是等边三角形， 、 、 分别为 、 、 的中点，必有 ， 所以点 为等腰梯形 的外接圆圆心，即点 与点 重合，如图 ， ，所以四棱锥 底面 的高为 ， .故选：D. 8．D【解析】当 时， ，故 ，函数在 上单调递增，在 上单 调递减，且 ；当 时， ；当 时， ， ， E F AB AC AN PN MN= = 90APM∴∠ =  APM△ BCFE ABC E F M AB AC BC MB MC MF ME= = = M BCFE O M 1 32PO OC BC∴ = = = 2 2 23 3 6PA AO PO= − = − = P BCFE− BCFE 3 6 23 PO PA AM ⋅ ×= = 1 1 3 1 3 1 3 62 3 3 23 3 4 3 4 2 4P BCFE BCFE ABCV S h S h− = = × = × × × × × =  0x > ( ) x xf x e = 1'( 2) 2 xf x xe x−= 10, 2      1 ,2  +∞  1 2 2 2 ef e   =   0x = ( )0 0f = 0x < ( ) x xf x e −= 1'( ) 0 2 2 xf e xx x −= − > 2 2 2 x yxy +  ( ) ( ) ( ) 22 2 3 22 2 2 2 2 216 16 44 x y x y x y x y + + = × = + 2 2 4x y+  O O 4π C O 0xy > x y 1 2 = 4 kπ= 2 π= 2 π 1 2 = 4 2 π π    ， x Q∈ x Q− ∈ ( ) ( )f x f x= − Rx C Q∈ Rx C Q− ∈ ( ) ( )f x f x= − ( )f x 1 2,R Rx C Q x C Qπ π= ∈ = − ∈ ( ) ( )1 2 0 1f x x f+ = = ( ) ( )1 2 0f x f x+ = x Q∈ x T Q+ ∈ ( ) ( )f x f x T= + Rx C Q∈ Rx T C Q+ ∈ ( ) ( )f x f x T= + A 1y = x B C BC数学 第 5 页（共 12 页） 标仍然为无理数，那么点 的横坐标也为无理数，这与点 的纵坐标为 1 矛盾，故不成立； ②直角顶点 在 上，斜边不在 轴上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无 理数，这与点 的纵坐标为 1 矛盾，故不成立； ③直角顶点 在 轴上，斜边在 上，此时点 ，点 的横坐标为有理数，则 中点的横坐标仍 然为有理数，那么点 的横坐标也应为有理数，这与点 的纵坐标为 0 矛盾，故不成立； ④直角顶点 在 轴上，斜边不在 上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无 理数，这与点 的纵坐标为 1 矛盾，故不成立． A A A 1y = x B A A A x 1y = B C BC A A A x 1y = A B B数学 第 6 页（共 12 页） 综上，不存在三个点 ， ， ，使得 为等腰直角三角形， 故选项 D 正确．故选： ． 13．30【解析】根据直方图知第二组的频率是 ，则样本容量是 ， 又成绩在 80～100 分的频率是 ，则成绩在区间 的学生人数是 ．故答案为：30 14． 【解析】函数 ，其中 ， 是这两个函数 图象的交点， 当 时， ． 所以函数的交点间的距离为一个周期 ，高为 ．所以： ．如图所示： ①当 时， 面积的最小值为 ； ②若存在 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则 ， 解得 的最小值为 ． 故答案为： ， ． 15． 【解析】拋物线 的准线方程为 ，可知抛物线 的方程为： ． 设点 ， 的中点为 ，则 ( )( )1 1,A x f x ( )( )2 2,B x f x ( )( )3 3C x f x， ABC∆ ACD 0.040 10 0.4× = 80 2000.4 = (0.010 0.005) 10 0.15+ × = [80,100] 200 0.15 30× = 2π 2 π ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 0>ω , ,A B C 1ω = ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 2π 2 22 2 22 2 ⋅ + ⋅ = ( )1 2 1 1 22ABCS π π∆ ⋅ ⋅ +＝ ＝ 1ω = ABC∆ 2π ABC∆ 2 2 22 2 22 2 π ω      ⋅ + ⋅  ⋅＝ ω 2 π 2π 2 π 4 5 2: 2 ( 0)C y px p= > 2x = − C 2 8y x= ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB ( )0 0,M x y 2 2 1 1 2 28 , 8y x y x= =数学 第 7 页（共 12 页） 两式相减可得， ， ，所以 ，解得 ，可得 ，则 ，可得 .故答案为： ． 16． 【解析】【分析】取 的中点为 ，在 中， 故 ，所以 为直角三角形，同理可得 为直角三角形，则能得到 ,同时 ， 为中点，所以 ,所以 为外接球的球心，且半径 为 ，所以四面体 外接球的表面积为 .故答案为： 17．（本小题满分 10 分） 【解析】（1）由① 得， ， 所以 ， 由② 得， ， 解得 或 （舍），所以 ， 因为 ，且 ，所以 ，所以 ，矛盾. 所以 不能同时满足①，②. 故 满足①，③，④或②，③，④； （2）若 满足①，③，④， 因为 ，所以 ，即 . 解得 . 所以 的面积 . ( )( ) ( )1 2 1 2 1 28y y y y x x− + = − 1 2 1 2 1 2 0 8 8 2AB y yk x x y y y − = =− += 0 0 0 8 ( 1) 12 6 0 y x y  × − = −  + − = 0 0 2 4 x y =  = (2,4)M 2 2(2,4) (4,8)OA OB OM+ = = =   2 2| | |(4,8) | 4 8 4 5OA OB+ = = + =  4 5 12π AC E ABC∆ 2 2 , 2, 2 3BC AB AC= = = 2 2 2BC AB AC+ = ABC∆ ADC∆ 3BE DE= = 2 3AC = E 3AE CE= = E 3 ABCD 24 ( 3) 12π π= 12π ( ) 2 6 3 3 b a a c c a b − += + ( )2 2 23 2 6a c b ac+ − = − 2 2 2 6cos 2 3 a c bB ac + −= = − 2cos2 2cos 12 AA+ = 22cos cos 1 0A A+ − = 1cos 2A = cos 1A = − 3A π= 6 1cos 3 2B = − < − ( )0,B π∈ 2 3B π> A B π+ > ABC∆ ABC∆ ABC∆ 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 68 6 2 6 3c c= + + × × × 2 4 2 0c c+ − = 6 2c = − ABC∆ 1 sin 3 22S ac B= = −数学 第 8 页（共 12 页） 若 满足②，③，④由正弦定理 ，即 ，解得 ， 所以 ，所以 的面积 . 18．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）对任意的 ， ，则 且 ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列； （2）由（1）可得 ， . 当 时， ， 也适合上式，所以， . 由于曲线 是椭圆，则 ，即 ， ，解得 或 ； （3） ， ，① ，② ① ②得 ， 因此， . 19．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）证明：因为 半圆弧 上的一点，所以 . 在 中， 分别为 的中点，所以 ，且 . 于是在 中， ， ABC∆ sin sin a b A B = 6 2 2 sin3 2 B = sin 1B = 2c = ABC∆ 1 sin 32S bc A= = n ∗∈N 1 3 2n nS S+ = + 1 1 3 3 31 1 n n n n S S S S + + += =+ + 1 1 3S + = { }1nS + 3 3 11 3 3 3n n nS −+ = × = 3 1n nS∴ = − 2n ≥ ( ) ( )1 1 13 1 3 1 2 3n n n n n nSa S − − −= − = − − − = × 1 2a = 12 3n na −= × ( )2 2: 19 1n nC x a y+ − = 19 0 19 1 n n a a − >  − ≠ 1 1 2 3 19 2 3 18 n n − −  × <  × ≠ n N ∗∈ 1n = 2 1 1 3 3 3log 3 log 3 32 2 n n nn n n a ab n− −   = × = = ⋅       0 1 2 11 3 2 3 3 3 3n nT n −∴ = × + × + × + + ⋅ ( )1 2 13 1 3 2 3 1 3 3n n nT n n−= × + × + + − ⋅ + ⋅ − ( ) ( )0 1 2 1 1 1 3 1 2 3 12 3 3 3 3 3 31 3 2 n n n n n n nT n n− × − − ⋅ −− = + + + + − ⋅ = − ⋅ =− ( )2 1 3 1 4 n n nT − ⋅ += C BD BC BD⊥ ABD∆ ,E F ,AD BD 1 12EF AB= = / /EF AB EFC∆ 2 2 21 1 2EF FC EC+ = + = =数学 第 9 页（共 12 页） 所以 为直角三角形，且 . 因为 ， ,所以 . 因为 ， ， ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 . （2）由已知 ，以 为坐标原点，分别以垂直于 、向量 所在方向作为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， , , , . 设平面 的一个法向量为 , 则 即 ，取 ,得 . 设平面 的法向量 , 则 即 ，取 ,得 . 所以 ， 又二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 20．（本小题满分 12 分） EFC∆ EF FC⊥ AB BD⊥ / /EF AB EF FC⊥ BD FC F∩ = EF ⊥ BCD EF ⊂ CEF CEF ⊥ BCD 120BFC∠ =  F BD ,FD FE  x y z F xyz− 3 1( , ,0)2 2C (0,0,1)E (0, 1,0)B − (0, 1,2)A − 3 1=( , ,1)2 2CE − − (0,1,1)BE = (0,1, 1)AE = − ACE 1 1 1( , , )x y z=m · 0 · 0 AE m CE m  =  =   1 1 1 1 1 0 3 1 02 2 y z x y z − =− − + = 1 1z = 3 ,1,13 =（ ）m BCE 2 2 2( , , )x y z=n · 0 · 0 BE n CE n  =  =   2 2 2 2 2 0 3 1 02 2 y z x y z + =− − + = 2 1z = 3, 1,1= −（ ）n 1 105cos , =| || | 3521 53 < >= = × m nm n m n A CE B− − A CE B− − 105 35数学 第 10 页（共 12 页） 【解析】（1）设椭圆 的焦距为 ，由题知，点 ， ， 则有 ， ，又 ， ， ， 因此，椭圆 的标准方程为 ； （2）当 轴时， 位于 轴上，且 ， 由 可得 ，此时 ； 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ，与椭圆交于 ， ， 由 ，得 . ， ，从而 已知 ，可得 . . 设 到直线 的距离为 ，则 ， . 将 代入化简得 . 令 ， 则 . C ( )2 0c c > 2, 2P c  ±    2b = 2 2 2 2 2 12 c a      + = 2 2 3 4 c a ∴ = 2 2 2 22a b c c= + = + 2 8a∴ = 2 6c = C 2 2 18 2 x y+ = AB x⊥ M x OM AB⊥ 2OM = 6AB = 1 32AOBS OM AB∆ = ⋅ = AB x AB y kx t= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 18 2 x y y kx t  + =  = + ( )2 2 21 4 8 4 8 0k x ktx t+ + + − = 1 2 2 8 1 4 ktx x k −∴ + = + 2 1 2 2 4 8 1 4 tx x k −= + 2 2 4 ,1 4 1 4 kt tM k k −   + +  2OM = ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 1 2 1 2 2 2 8 4 81 4 1 41 4 1 4 kt tAB k x x x x k k k  − −  = + + − = + − ×    + +    ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 16 8 2 1 1 4 k t k k − + = + + O AB d 2 2 21 td k = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 16 8 21 14 11 4AOB k t tS k kk ∆ − + = + ⋅ ++ ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + ( ) ( ) 2 2 2 22 192 4 1 1 16AOB k k S k ∆ + = + 21 16k p+ = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 112 1 1192 4 1 4 1 16AOB ppk k S pk ∆ − − + +  = = + 21 1 43 3 43 3p   = − − + ≤     数学 第 11 页（共 12 页） 当且仅当 时取等号，此时 的面积最大，最大值为 . 综上： 的面积最大，最大值为 . 21．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）所有可能的方式有 种，恰有 人申请 大学的申请方式有 种， 从而恰有 人申请 大学的概率为 ； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有 、 、 ， 则 ， ， . 所以，随机变量 的分布列如下表所示： . 22．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）因为 ，所以 ． 所以 ， ． 所以曲线 在点 处的切线为 ； （2）因为 ，令 ，得 或 ． 列表如下： 0 极大值 极小值 所以，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ， 3p = AOB∆ 2 AOB∆ 2 43 2 A 2 2 4 2C ⋅ 2 A 2 2 4 4 2 8 3 27 C ⋅ = 1 2 3 ( ) 4 3 11 3 27P X = = = ( ) 2 2 3 2 4 3 4 3 4 1422 3 27 C AC A P X ⋅ + = = = ( ) 2 3 4 3 4 43 3 9 C AP X = = = X X 1 2 3 P 1 27 14 27 4 9 ( ) 1 14 4 651 2 327 27 9 27E X = × + × + × = ( ) ( ) 211 2 x af x e x e x= − − ( ) x af x xe xe′ = − ( )0 1f = − ( )0 0f ′ = ( )y f x= ( )( )0, 0f 1y = − ( ) ( )x a x af x xe xe x e e′ = − = − ( ) 0f x′ = 0x = ( )0x a a= < x ( ),a−∞ a ( ),0a ( )0, ∞+ ( )f x′ + 0 − 0 + ( )f x    ( )y f x= ( ),a−∞ ( )0, ∞+ ( ),0a数学 第 12 页（共 12 页） 所以，当 时，函数 有极小值 ； （3）当 时， ，且 ． 由（2）可知，函数 在 上单调递增，所以函数 的零点个数为 ． 0x = ( )y f x= ( )0 1f = − 1x ≤ ( ) 0f x < ( ) 2 22 2 2 0af e e e= − > − > ( )y f x= ( )0, ∞+ ( )y f x= 1