2020年高考数学押题预测卷02（山东卷全解全析）

新高考数学试题 第 1 页（共 16 页） 新高考数学试题 第 2 页（共 16 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2020 年高考押题预测卷 02【山东卷】 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求. 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 为 的共轭复数，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知命题 ，则 为（ ） A． B． C． D． 4．在 中，点 F 为线段 BC 上任一点（不含端点），若 ，则 的 最小值为（ ） A．1 B．8 C．2 D．4 5．函数 在 上的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两个质数(素数)之和， 也就是我们所谓的“1+1”问题.它是 1742 年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在 哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的 概率为（ ） A． B． C． D． 7． 是边长为 的等边三角形， 、 分别为 、 的中点，沿 把 折起，使点 翻折到点 的位置，连接 、 ，当四棱锥 的外接球的表面积最小时，四棱锥 的 体积为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，若关于 的方程 恰好有 3 个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019 年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列 说法中正确的是（　　） ( ){ }lg 2A x y x= = − 1 2 44 xB x  = ≤ ≤    A B = { }2x x > − { }2 2x x− < < { }2 2x x− ≤ < { }2x x < z z 3 2zi i= + z i+ = 2 4i+ 2 2i− 2 5 2 2 2: 1,2 log 1xp x x∀ ≥ − ≥ p¬ 21,2 log 1xx x∀ < − < 21,2 log 1xx x∀ ≥ − < 21,2 log 1xx x∃ < − < 21,2 log 1xx x∃ ≥ − < ABC∆ ( )2 0, 0AF xAB yAC x y= + > >   1 2 x y + cos( ) 2 2x x x xf x −= + ,2 2 π π −   1 5 1 3 3 5 2 3 ABC 2 3 E F AB AC EF AEF A P PB PC P BCFE− P BCFE− 5 3 4 3 3 4 6 4 3 6 4 | |( ) ( )x xf x x Re = ∈ x ( ) 1 0f x m− + = m ( 2 12 ),e e ( 20, )2 e e ( 11, 1)e + 21, 12( )e e +新高考数学试题 第 3 页（共 16 页） 新高考数学试题 第 4 页（共 16 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此 卷 只 装 订 不 密 封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… A．4 至 5 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同 B．支出最高值与支出最低值的比是 C．第三季度平均收入为 5000 元 D．利润最高的月份是 3 月份和 10 月份 10．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的 结合产物，曲线 恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（ ） A．曲线 经过 5 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过 2 C．曲线 围成区域的面积大于 D．方程 表示的曲线 在第一象限和第三象限 11．已知函数 f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（ ） A．f（x）的图象关于直线 对称 B．f（x）的周期为 C．（π，0）是 f（x）的一个对称中心 D．f（x）在区间 上单调递增 12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19 世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的 函数” 其中 R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数 有如下四个命题,正确的为 ( ) A．函数 是偶函数 B． , , 恒成立 C．任取一个不为零的有理数 T, 对任意的 恒成立 D． 不存在三个点 , , ,使得 为等腰直角三角形 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图所示的频率分布直 方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是 80，则成绩在区间 的学生人数是__________． 14．已知函数 ，其中 ， 是这两个函数图像的交点，且不共线. ①当 时， 面积的最小值为___________；②若存在 是等腰直角三角形，则 的最小值为 __________. 15．已知抛物线 的准线方程为 ，在抛物线 上存在两点 关于直线 对称，且 为坐标原点，则 的值为__________. 16．四面体 中， 则四面体 外接球的表 面积为__________. 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10 分）(开放题) 已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，若 同时满足下列四个 条件中的三个：① ；② ；③ ；④ . 5:1 ( )32 2 2 2: 16C x y x y+ = C C O C 4π ( )32 2 2 216 ( 0)x y x y xy+ = > C 2x π= 2 π 4 2 ，π π     ( ) 1, 0, R x Qy f x x C Q ∈= =  ∈ ( )f x ( )f x 1x∀ 2 Rx C Q∈ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x+ = + ( ) ( )f x T f x+ = x∈R ( )( )1 1,A x f x ( )( )2 2,B x f x ( )( )3 3C x f x， ABC∆ [80,100] ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 0>ω , ,A B C 1ω = ABC∆ ABC∆ ω 2: 2 ( 0)C y px p= > 2x = − C ,A B : 6 0l x y+ − = O | |OA OB+  ABCD 2 2 , 2, 2 3BC CD BD AB AD AC= = = = = = ABCD a b c ABC∆ A B C ABC∆ 2 6 3 3( ) b a a c c a b − += + 2cos2 2cos 12 AA+ = 6a = 2 2b =新高考数学试题 第 5 页（共 16 页） 新高考数学试题 第 6 页（共 16 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应 的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 18. （12 分）已知数列 的前 项和为 ， ， ， . （1）证明：数列 为等比数列； （2）已知曲线 若 为椭圆，求 的值； （3）若 ，求数列 的前 项和 ． 19．（12 分）如图,直角三角形 所在的平面与半圆弧 所在平面相交于 , ， , 分 别为 , 的中点, 是 上异于 , 的点, . （1）证明:平面 平面 ; （2）若点 为半圆弧 上的一个三等分点(靠近点 )求二面角 的余弦值. 20. （12 分）已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆 上一点， 轴， . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且 ，求 面积的最大值. 21. （12 分） 某中学有 位学生申请 、 、 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学， 且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有 人申请 大学的概率； （2）求被申请大学的个数 的概率分布列与数学期望 ． 22. （12 分）已知函数 ， ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的极小值； （3）求函数 的零点个数． 2020 年高考押题预测卷 02（山东卷） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C D B C A D D ACD BD AB ACD 1．C【解析】∵ , , ∴ ,故选：C. 2．C【解析】由题意可知 ， 从而 .故选：C. 3．D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 ， ， ， .故选：D 4．B【解析】因为 ，且点 F 在线段 BC 上，则 ，且 ， 则 .故选：B. 5．C【解析】由 可知函数 为奇函数.所以函数图象关于原点对称，排除选 项 A，B；当 时， ， ，排除选项 D，故选：C. 6．A【解析】6 拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为 .故选：A. { }2A x x= < { }2 2B x x= − ≤ ≤ { }2 2A B x x∩ = − ≤ < 3 2 2 3iz ii += = − 2 22 3 , 2 4 , 2 4 2 5z i z i i z i= + ∴ + = + ∴ + = + = :p 1x∀ ≥ 22 log 1x x− ≥ :p¬ 1x∃ ≥ 22 log 1x x− < ( )2 0, 0AF xAB yAC x y= + > >   2 1x y+ = 0, 0x y> > ( )1 2 1 2 42 4 4 4 8y xx yx y x y x y  + = + + = + + ≥ + =   cos( ) ( )2 2x x x xf x f x−− = − = −+ ( )f x 0 2x π< < cos 0x > cos( ) 2 2 0x x x xf x −∴ = + ＞ 1 5P = ABC∆ { }na n nS 1 2a = 1 3 2n nS S+ = + n ∗∈N { }1nS + ( )2 2: 19 1n nC x a y+ − = nC n 3 3log2 2 n n n a ab    = ×       { }nb n nT ABD BD BD 2AB BD= = E F AD BD C BD B D 2EC = CEF ⊥ BCD C BD D A CE B− − ( )2 2 2: 1 22 x yC aa + = > F P C PF x⊥ 2 2PF = C l C A B AB M O 2OM = AOB∆ 4 A B C 2 A X ( )E X ( ) ( ) 211 2 x af x e x e x= − − 0a < ( )y f x= ( )( )0, 0f ( )f x ( )f x新高考数学试题 第 7 页（共 16 页） 新高考数学试题 第 8 页（共 16 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此 卷 只 装 订 不 密 封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 7．D【解析】如图，四边形 为等腰梯形，则其必有外接圆，设 为梯形 的外接圆圆心， 当 也为四棱锥 的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，点 必在 上， 、 分别为 、 的中点，则必有 ， ，即 为直角三角形. 对于等腰梯形 ，如图： 因为 是等边三角形， 、 、 分别为 、 、 的中点，必有 ， 所以点 为等腰梯形 的外接圆圆心，即点 与点 重合，如图 ， ，所以四棱锥 底面 的高为 ， .故选：D. 8．D【解析】当 时， ，故 ，函数在 上单调递增，在 上单 调递减，且 ；当 时， ；当 时， ， ，函数单调递减；如图所示画出函数图像，则 ，故 .故选： . 9．ACD【解析】对于 A 选项，4 至 5 月份的收入的变化率为 ，11 至 12 月份的变化率为 ，因而两个变化率相同，所以 A 项正确.对于 B 选项，支出最高值是 2 月份 60 百元，支出 最低值是 5 月份的 10 百元，故支出最高值与支出最低值的比是 ，故 B 项错误.对于 C 选项，第三季 度的 7，8，9 月每个月的收入分别为 40 百元，50 百元，60 百元，故第三季度的平均收入为 百元，故 C 选项正确.对于 D 选项，利润最高的月份是 3 月份和 10 月份都是 30 百元， 故 D 项正确.综上可知，正确的为 ACD，故选：ACD. 10．BD【解析】把 ， 代入曲线 ，可知等号两边成立，所以曲线 在第一象限过点 ， 由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点 ， BCFE O BCFE O P BCFE− A BC BC M EF N ,PM PN O AM E F AB AC AN PN MN= = 90APM∴∠ =  APM△ BCFE ABC E F M AB AC BC MB MC MF ME= = = M BCFE O M 1 32PO OC BC∴ = = = 2 2 23 3 6PA AO PO= − = − = P BCFE− BCFE 3 6 23 PO PA AM ⋅ ×= = 1 1 3 1 3 1 3 62 3 3 23 3 4 3 4 2 4P BCFE BCFE ABCV S h S h− = = × = × × × × × =  0x > ( ) x xf x e = 1'( 2) 2 xf x xe x−= 10, 2      1 ,2  +∞  1 2 2 2 ef e   =   0x = ( )0 0f = 0x < ( ) x xf x e −= 1'( ) 0 2 2 xf e xx x −= − < 1 20 1 2 2 em f e  < − < =   2( )21, 1e em +∈ D 30 50 205 4 − = −− 50 70 2012 11 − = −− 6:1 40 50 60 503 + + = 2x = 2y = C C ( 2, 2) M新高考数学试题 第 9 页（共 16 页） 新高考数学试题 第 10 页（共 16 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 对于 A 选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把 ， 和 代入曲线 的方程 验证可知，等号不成立，所以曲线 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知， 曲线 只经过整点 ，即 A 错误； 对于 B 选项，因为 ， 所以 ，所以 ，所以 ，即 B 正确； 对于 C 选项，以 为圆点，2 为半径的圆 的面积为 ，显然曲线 围成的区域的面积小于圆 的面 积，即 C 错误； 对于 D 选项，因为 ，所以 与 同号，仅限与第一和三象限，即 D 正确.故选:BD. 11．AB【解析】因为函数 f（x）＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx| |sin2x|， 画出函数图象，如图所示； 由图可知，f（x）的对称轴是 x ，k∈Z； 所以 x 是 f（x）图象的一条对称轴， A 正确；f（x）的最小正周期是 ，所以 B 正确； f（x）是偶函数，没有对称中心，C 错误；由图可知，f（x） |sin2x|在区间 上是单调减函数， D 错误.故选：AB. 12．ACD【解析】对于 A，若 ，则 ，满足 ；若 ，则 ，满足 ；故函数 为偶函数，选项 A 正确； 对于 B，取 ，则 ， ，故选项 B 错误； 对于 C，若 ，则 ，满足 ；若 ，则 ，满足 ，故选项 C 正确； 对于 D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况： ①直角顶点 在 上，斜边在 轴上，此时点 ，点 的横坐标为无理数，则 中点的横坐 标仍然为无理数，那么点 的横坐标也为无理数，这与点 的纵坐标为 1 矛盾，故不成立； ②直角顶点 在 上，斜边不在 轴上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无理 数，这与点 的纵坐标为 1 矛盾，故不成立； ③直角顶点 在 轴上，斜边在 上，此时点 ，点 的横坐标为有理数，则 中点的横坐标仍 然为有理数，那么点 的横坐标也应为有理数，这与点 的纵坐标为 0 矛盾，故不成立； ④直角顶点 在 轴上，斜边不在 上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无理 数，这与点 的纵坐标为 1 矛盾，故不成立． (1,1) (1,2) (2,1) C C C (0,0) 2 2 2 ( 0, 0)x y xy x y+ > > 2 2 2 x yxy +  ( ) ( ) ( ) 22 2 3 22 2 2 2 2 216 16 44 x y x y x y x y + + = × = + 2 2 4x y+  O O 4π C O 0xy > x y 1 2 = 4 kπ= 2 π= 2 π 1 2 = 4 2 π π    ， x Q∈ x Q− ∈ ( ) ( )f x f x= − Rx C Q∈ Rx C Q− ∈ ( ) ( )f x f x= − ( )f x 1 2,R Rx C Q x C Qπ π= ∈ = − ∈ ( ) ( )1 2 0 1f x x f+ = = ( ) ( )1 2 0f x f x+ = x Q∈ x T Q+ ∈ ( ) ( )f x f x T= + Rx C Q∈ Rx T C Q+ ∈ ( ) ( )f x f x T= + A 1y = x B C BC A A A 1y = x B A A A x 1y = B C BC A A A x 1y = A B B新高考数学试题 第 11 页（共 16 页） 新高考数学试题 第 12 页（共 16 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此 卷 只 装 订 不 密 封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 综上，不存在三个点 ， ， ，使得 为等腰直角三角形， 故选项 D 正确．故选： ． 13．30【解析】根据直方图知第二组的频率是 ，则样本容量是 ， 又成绩在 80～100 分的频率是 ，则成绩在区间 的学生人数是 ．故答案为：30 14． 【解析】函数 ，其中 ， 是这两个函数图 象的交点， 当 时， ． 所以函数的交点间的距离为一个周期 ， 高为 ．所以： ．如图所示： ①当 时， 面积的最小值为 ； ②若存在 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则 ， 解得 的最小值为 ． 故答案为： ， ． 15． 【解析】拋物线 的准线方程为 ，可知抛物线 的方程为： ． 设点 ， 的中点为 ，则 两式相减可得， ， ，所以 ，解得 ，可得 ，则 ，可得 .故答案为： ． 16． 【解析】【分析】取 的中点为 ，在 中， 故 ，所以 为直角三角形，同理可得 为直角三角形，则能得到 ,同时 ， 为中点，所以 ,所以 为外接球的球心，且半径 为 ，所以四面体 外接球的表面积为 .故答案为： 17．（本小题满分 10 分） 【解析】（1）由① 得， ， 所以 ， 由② 得， ， 解得 或 （舍），所以 ， 因为 ，且 ，所以 ，所以 ，矛盾. 所以 不能同时满足①，②. 故 满足①，③，④或②，③，④； （2）若 满足①，③，④， 因为 ，所以 ，即 . 解得 . 所以 的面积 . 若 满足②，③，④由正弦定理 ，即 ，解得 ， 所以 ，所以 的面积 . ( )( )1 1,A x f x ( )( )2 2,B x f x ( )( )3 3C x f x， ABC∆ ACD 0.040 10 0.4× = 80 2000.4 = (0.010 0.005) 10 0.15+ × = [80,100] 200 0.15 30× = 2π 2 π ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 0>ω , ,A B C 1ω = ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 2π 2 22 2 22 2 ⋅ + ⋅ = ( )1 2 1 1 22ABCS π π∆ ⋅ ⋅ +＝ ＝ 1ω = ABC∆ 2π ABC∆ 2 2 22 2 22 2 π ω      ⋅ + ⋅  ⋅＝ ω 2 π 2π 2 π 4 5 2: 2 ( 0)C y px p= > 2x = − C 2 8y x= ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB ( )0 0,M x y 2 2 1 1 2 28 , 8y x y x= = ( )( ) ( )1 2 1 2 1 28y y y y x x− + = − 1 2 1 2 1 2 0 8 8 2AB y yk x x y y y − = =− += 0 0 0 8 ( 1) 12 6 0 y x y  × − = −  + − = 0 0 2 4 x y =  = (2,4)M 2 2(2,4) (4,8)OA OB OM+ = = =   2 2| | |(4,8) | 4 8 4 5OA OB+ = = + =  4 5 12π AC E ABC∆ 2 2 , 2, 2 3BC AB AC= = = 2 2 2BC AB AC+ = ABC∆ ADC∆ 3BE DE= = 2 3AC = E 3AE CE= = E 3 ABCD 24 ( 3) 12π π= 12π ( ) 2 6 3 3 b a a c c a b − += + ( )2 2 23 2 6a c b ac+ − = − 2 2 2 6cos 2 3 a c bB ac + −= = − 2cos2 2cos 12 AA+ = 22cos cos 1 0A A+ − = 1cos 2A = cos 1A = − 3A π= 6 1cos 3 2B = − < − ( )0,B π∈ 2 3B π> A B π+ > ABC∆ ABC∆ ABC∆ 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 68 6 2 6 3c c= + + × × × 2 4 2 0c c+ − = 6 2c = − ABC∆ 1 sin 3 22S ac B= = − ABC∆ sin sin a b A B = 6 2 2 sin3 2 B = sin 1B = 2c = ABC∆ 1 sin 32S bc A= =新高考数学试题 第 13 页（共 16 页） 新高考数学试题 第 14 页（共 16 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 18．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）对任意的 ， ，则 且 ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列； （2）由（1）可得 ， . 当 时， ， 也适合上式，所以， . 由于曲线 是椭圆，则 ，即 ， ，解得 或 ； （3） ， ，① ，② ① ②得 ， 因此， . 19．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）证明：因为 半圆弧 上的一点，所以 . 在 中， 分别为 的中点，所以 ，且 . 于是在 中， ， 所以 为直角三角形，且 . 因为 ， ,所以 . 因为 ， ， ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 . （2）由已知 ，以 为坐标原点，分别以垂直于 、向量 所在方向作为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， , , , . 设平面 的一个法向量为 , 则 即 ，取 ,得 . 设平面 的法向量 , 则 即 ，取 ,得 . 所以 ， 又二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 20．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）设椭圆 的焦距为 ，由题知，点 ， ， 则有 ， ，又 ， ， ， 因此，椭圆 的标准方程为 ； n ∗∈N 1 3 2n nS S+ = + 1 1 3 3 31 1 n n n n S S S S + + += =+ + 1 1 3S + = { }1nS + 3 3 11 3 3 3n n nS −+ = × = 3 1n nS∴ = − 2n ≥ ( ) ( )1 1 13 1 3 1 2 3n n n n n nSa S − − −= − = − − − = × 1 2a = 12 3n na −= × ( )2 2: 19 1n nC x a y+ − = 19 0 19 1 n n a a − >  − ≠ 1 1 2 3 19 2 3 18 n n − −  × <  × ≠ n N ∗∈ 1n = 2 1 1 3 3 3log 3 log 3 32 2 n n nn n n a ab n− −   = × = = ⋅       0 1 2 11 3 2 3 3 3 3n nT n −∴ = × + × + × + + ⋅ ( )1 2 13 1 3 2 3 1 3 3n n nT n n−= × + × + + − ⋅ + ⋅ − ( ) ( )0 1 2 1 1 1 3 1 2 3 12 3 3 3 3 3 31 3 2 n n n n n n nT n n− × − − ⋅ −− = + + + + − ⋅ = − ⋅ =− ( )2 1 3 1 4 n n nT − ⋅ += C BD BC BD⊥ ABD∆ ,E F ,AD BD 1 12EF AB= = / /EF AB EFC∆ 2 2 21 1 2EF FC EC+ = + = = EFC∆ EF FC⊥ AB BD⊥ / /EF AB EF FC⊥ BD FC F∩ = EF ⊥ BCD EF ⊂ CEF CEF ⊥ BCD 120BFC∠ =  F BD ,FD FE  x y z F xyz− 3 1( , ,0)2 2C (0,0,1)E (0, 1,0)B − (0, 1,2)A − 3 1=( , ,1)2 2CE − − (0,1,1)BE = (0,1, 1)AE = − ACE 1 1 1( , , )x y z=m · 0 · 0 AE m CE m  =  =   1 1 1 1 1 0 3 1 02 2 y z x y z − =− − + = 1 1z = 3 ,1,13 =（ ）m BCE 2 2 2( , , )x y z=n · 0 · 0 BE n CE n  =  =   2 2 2 2 2 0 3 1 02 2 y z x y z + =− − + = 2 1z = 3, 1,1= −（ ）n 1 105cos , =| || | 3521 53 < >= = × m nm n m n A CE B− − A CE B− − 105 35 C ( )2 0c c > 2, 2P c  ±    2b = 2 2 2 2 2 12 c a      + = 2 2 3 4 c a ∴ = 2 2 2 22a b c c= + = + 2 8a∴ = 2 6c = C 2 2 18 2 x y+ =新高考数学试题 第 15 页（共 16 页） 新高考数学试题 第 16 页（共 16 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此 卷 只 装 订 不 密 封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… （2）当 轴时， 位于 轴上，且 ， 由 可得 ，此时 ； 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ，与椭圆交于 ， ， 由 ，得 . ， ，从而 已知 ，可得 . . 设 到直线 的距离为 ，则 ， . 将 代入化简得 . 令 ， 则 . 当且仅当 时取等号，此时 的面积最大，最大值为 . 综上： 的面积最大，最大值为 . 21．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）所有可能的方式有 种，恰有 人申请 大学的申请方式有 种， 从而恰有 人申请 大学的概率为 ； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有 、 、 ， 则 ， ， . 所以，随机变量 的分布列如下表所示： . 22．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）因为 ，所以 ． 所以 ， ． 所以曲线 在点 处的切线为 ； （2）因为 ，令 ，得 或 ． 列表如下： 0 极大值 极小值 所以，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ， 所以，当 时，函数 有极小值 ； （3）当 时， ，且 ． 由（2）可知，函数 在 上单调递增，所以函数 的零点个数为 ． AB x⊥ M x OM AB⊥ 2OM = 6AB = 1 32AOBS OM AB∆ = ⋅ = AB x AB y kx t= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 18 2 x y y kx t  + =  = + ( )2 2 21 4 8 4 8 0k x ktx t+ + + − = 1 2 2 8 1 4 ktx x k −∴ + = + 2 1 2 2 4 8 1 4 tx x k −= + 2 2 4 ,1 4 1 4 kt tM k k −   + +  2OM = ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 1 2 1 2 2 2 8 4 81 4 1 41 4 1 4 kt tAB k x x x x k k k  − −  = + + − = + − ×    + +    ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 16 8 2 1 1 4 k t k k − + = + + O AB d 2 2 21 td k = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 16 8 21 14 11 4AOB k t tS k kk ∆ − + = + ⋅ ++ ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + ( ) ( ) 2 2 2 22 192 4 1 1 16AOB k k S k ∆ + = + 21 16k p+ = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 112 1 1192 4 1 4 1 16AOB ppk k S pk ∆ − − + +  = = + 21 1 43 3 43 3p   = − − + ≤      3p = AOB∆ 2 AOB∆ 2 43 2 A 2 2 4 2C ⋅ 2 A 2 2 4 4 2 8 3 27 C ⋅ = 1 2 3 ( ) 4 3 11 3 27P X = = = ( ) 2 2 3 2 4 3 4 3 4 1422 3 27 C AC A P X ⋅ + = = = ( ) 2 3 4 3 4 43 3 9 C AP X = = = X X 1 2 3 P 1 27 14 27 4 9 ( ) 1 14 4 651 2 327 27 9 27E X = × + × + × = ( ) ( ) 211 2 x af x e x e x= − − ( ) x af x xe xe′ = − ( )0 1f = − ( )0 0f ′ = ( )y f x= ( )( )0, 0f 1y = − ( ) ( )x a x af x xe xe x e e′ = − = − ( ) 0f x′ = 0x = ( )0x a a= < x ( ),a−∞ a ( ),0a ( )0, ∞+ ( )f x′ + 0 − 0 + ( )f x    ( )y f x= ( ),a−∞ ( )0, ∞+ ( ),0a 0x = ( )y f x= ( )0 1f = − 1x ≤ ( ) 0f x < ( ) 2 22 2 2 0af e e e= − > − > ( )y f x= ( )0, ∞+ ( )y f x= 1