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2020 届高三 适应性训练 2 文科数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分 150 分，,时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1.设全集为 R，集合 A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则 A∩（∁RB）=（ ）
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
2.设复数 z 满足 ii
iz +=−
+ 11
，则 =（ ）
A． i−2 B． i+2 C． i3 D． i+2
3.已知 ( ) 5tan 12−=且 3,22
,则sin 2
+=
( )
A. 5
13
B． 5
13− C．12
13
D． 12
13−
4.将函数 xy 2sin= 的图像向右平移 )20( 个单位长度得到 )(xf 的图像，若函数
)(xf 在区间 ]3,0[ 上单调递增，则 的取值范围是( )
A. ]4,6[
B. )4,6( C. ]4,12[ D. )4,12(
5.已知在等比数列 na 中, 0na , 22
2 4 1 5 5 3900 2 , 9a a a a a a+ = − = ,则 2020a 等于( )
A. 10103 B. 10093 C. 20193 D. 20203
6.下列四个命题中,正确命题的个数有( )
① 0 0 0
3,sin cos 2x R x x + = ；
②命题 2" , 2 0"x R x x − − 的否定是 2" , 2 0"x R x x − −
③“若 4ab+ ≥ ，则 , ab中至少有一个不小于 2 ”的逆命题是真命题
④复数 1 2 3,,z z z C ,则 ( ) ( )22
1 2 2 3 0z z z z− + − = 的充分不必要条件
是 13zz=
A.1 B．2 C．3 D．4
7.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百
馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”
如图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行如图的程序框图，
则输出的 n ＝（ ） 高三文数 第2页 共5页
A．25 B．45 C．60 D．75
8.2020 年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生
无法在春季正常开学,不得不在家“停课不停学”,为了解高三
学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取 n 个学生
的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布
直方图（如图所示），已知学习时长在[9,11) 的学生人数为 25，
则 n 的值为（ ）
A.40 B.50 C.80 D.100
9.设 x，y 满足
+
−
0
1
02
3
1
y
yx
yx
，若 yaxz +−= 取得最大值的最优解不唯一，则 a 的值为（ ）
A．2 或﹣3 B．3 或﹣2 C． 3
1- 或 2
1 D． 或 2
10.两个夹角
3
为的单位向量 ,ab.若向量 m 满足 1m a b− − = ,则 m 的最大值是( )
A. 31− B. 31+ C. 2 D. 6 2 1++
11.设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直径的圆
过点
2
30， ，则 C 的标准方程为( )
A．y2＝x 或 y2＝9x B．y2＝4x 或 y2＝18x
C．y2＝2x 或 y2＝18x D．y2＝4x 或 y2＝9x
12.已知函数 ( ) ( ) ( )3 2ln 1xf x x e a x x= − + − + 在 ( )1, + 上有两个极值点,且 ( )fx在
( )1,2 上单调递增,则实数 a 的取值范围是( )
A．( ),e + B．( )2,2ee C．( )22e + D．( ) ( )22,2 2e e e +
第Ⅱ卷（填空题 20 分,解答题 70 分, 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应的题号
后的横线上）
13.直线 yx= 被圆 22( 2) 4xy+ − = 截得的弦长为 .
14.已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DCDE 的最大值为 .
15.双曲线 ( )
22
221 0, 0xy abab− = 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 ( )0,Bb,双曲线的渐近线上
存在一点 P ,使得 , , ,A B F P 顺次连接构成平行四边形,则双曲线C 的离心率 e= .
16.如图，矩形 ABCD 中， 2 3,AB = 2,AD = Q 为 BC 的中点，点
M，N 分别在线段 AB，CD 上运动（其中 M 不与 A，B 重合，N高三文数 第3页 共5页
不与 C，D 重合），且 MN∥AD，沿 MN 将△DMN 折起，得到三棱锥 D﹣MNQ，则三棱
锥 D﹣MNQ 体积的最大值为 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. (本小题满分 12 分)
如图， ,CM CN 为某公园景观湖畔的两条木栈道，
120oMCN=，现拟在两条木栈道的 ,AB处设置观景台，
记 , , .BC a AC b AB c= = =
（1）若 ,,abc成等差数列，且公差为 4，求b 的值；
（2）已知 12,AB = ，记 ,ABC =，试用 表示观景路线 BCAC+ 的长，并求观景路
线 长的最大值.
18.(本小题满分 12 分)
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其
它垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽
取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
厨余垃圾箱 可回收物箱 其它垃圾箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率，估计生活垃圾投放错误的概率；
（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 ,,abc，
其中 0a ， 600abc+ + = .当数据 ,,abc的方差 2S 最大时，写出 的值（结论不要
求证明），并求此时 的值.
（注：方差 2 2 2 2
12
1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn= − + − + + − ，其中 x 为 12,, nx x x 的平均数）
19.(本小题满分 12 分)
如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， AB ⊥侧面 11BB C C ，已知 1 3BCC =， 1BC = ，
1 2AB C C==，点 E 是棱 1C C 的中点.
（1）求证： 1CB⊥ 平面 ABC ；
所成角的正弦值与平面）求（ EBABA2 111
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20. (本小题满分 12 分)
已知直线 :2lx=− 与 x 轴的交点为 A.点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 (2,0)B .
（1）若| | 4 3AP = ，求点 的坐标；
（2）设点 在直线l 上的投影点为C ， PC 的中点为 D ，是否存在两个定点 ,EF，使得
当 运动时，| | | |DE DF+ 为定值？请说明理由.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 1( ) ( )lnf x a xx=− ()aR .
（1）若曲线 ()y f x= 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 10xy+ − = ，求 a 的值；
（2）当 2a = 时，是否存在整数 ，使得关于 x 的不等式 ()fx 恒成立？若存在，求出
的最大值；若不存在，说明理由.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程是
cos ,
()
2 sin
x
y
= =
为参数 .以坐标原点为极
点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， ,AB为曲线 C 上两点,且 OA OB⊥ ,设射线
: 0 .2OA =
（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求 OA OB 的最小值.
23.(本小题满分 10 分)
已知函数 ( ) 1 2 1f x x x= − − + ,若 ()fx的最大值为 k ； 高三文数 第5页 共5页
（1）求 k 的值；（2）设函数 ()g x x k=−,若 2b ,且 () bg ab a g a
,求证: 1a .
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