数学理科试卷答案.pdf

数学理科试卷答案共 6 页第 1 页 大连市第二十四中学高三年级四月份模拟考试 数学理科试卷答案 一．选择题： ADBCD AACAC BD 二．填空题： 13． 1 3 ；14．16 ；15． 23,23    ；16． 2 6 ， 86 729  三．解答题： 17. 解：（1）证明：在梯形 ABCD中，因为 //AB CD ， 1  AD DC CB ， 60ABC   所以 2AB  ，所以 2 2 2 2 cos60 3AC AB BC AB BC     ， 所以 2 2 2AB AC BC，所以 BC AC . 因为平面 ACFE 平面 ，平面 ACFE 平面 ABCD AC ， 因为 BC 平面 ，所以 BC ⊥平面 ACFE . ............................ 6 分 （2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为 x 轴， y 轴， z 轴的如图所示的空间 直角坐标系， 令  03FM    ，则  0,0,0C ，  3,0,0A ，  0,1,0B ，  ,0,1M  . ∴  3,1,0AB  ，  , 1,1BM . 设  1 ,,n x y z 为平面 MAB 的一个法向量， 由 1 1 · 0 · 0 n AB n BM    得 30 0 xy x y z       ，取 1x  ，则  1 1, 3, 3n ， ∵  2 1,0,0n  是平面 FCB 的一个法向量 12 12 cos nn nn        2 1 1 3 3 1     2 1 34   ∵ 03 ，∴当 0  时，cos 有最小值 7 7 ，当 3  时， 有最大值 1 2 ． ∴ 71cos ,72   . ........................................................ 12 分 数学理科试卷答案共 6 页第 2 页 18．解：（1））由题意，当 1n  时，由 2 12 1 1S  ，解得 1 0a  ； 当 2n  时，可得 22 12 2 2 ( 1) ( 1) 2 2n n na S S n n n n n          ， 即 1 ,( 2)na n n   ，显然当 时上式也适合， 所以数列的通项公式为 1nan . ........................... 5 分 （2）由（1）可得   2 2 2 1 1 1 1 ( 2) 2nna a n n n n       ， 所以    2 1 3 2 1 2 4 2n n nT b b b b b b         0 2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 4 4 6 2 2 2 n nn                           11 1 1 11 4 1 14 1 2 2 2 6 3 4 2 21 4 n n nn        . ..................... 12 分 19．解：（1）根据散点图判断，在推广期内， xy c d （ ,cd均为大于零的常数），适 宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型. ............ 2 分 （2）根据（1）的判断结果 ，两边取对数得lg lg lgy c d x   ， 其中 lgiivy ， 7 1 1 1.547 i i vv   ， 77 2 11 50,12, 4, 140i i i ii xx v x    ， 7 1 22 1 lg 0.2ˆ 5 ii i n i i x v nx v d x nx           ， ˆˆ lg 0.54c v x    ， 所以lg 0.54 0.25yx   。所以 0.54 0.25 0.2510 3.47 10xxy    。 当 8x  时， 0.54 0.25 8 210 3.47 10 347y     。 所以活动推出第 8 天使用扫码支付的人次 3470 人. ........................ 7 分 数学理科试卷答案共 6 页第 3 页 （3）设一名乘客一次乘车的费用为 元， 根据题意 得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2 11( 1.4) 0.3 0.05, ( 1.6) 0.6 0.3 0.763pp         ， 1( 1.8) 0.3 0.15, ( 2) 0.12pp      ， ( ) 1.4 0.05 1.6 0.7 1.8 0.15 2 0.1 1.66E           。 假设这批车需要 n （ n +N ）年才能开始盈利， 则1.66 12 1 80 0.66 12nn       ， 解得 20 3n  。所以需要 7 年才能开始盈利.。 ............ 12 分 20．解：（Ⅰ）设  1 3,0F  ，  2 3,0F ，则    222233a b x y x y       1 2 1 24MF MF F F    . ∴动点  ,M x y 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆， 设其方程为 22 221( 0)xy abab    ，则 24a  ， 2 2 3c  ，即 2a  ， 3c  ， ∴ 2 2 2 1b a c   .∴动点 的轨迹C 的方程为 2 2 14 x y. ............ 4 分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时， ： 1x  ，不妨设 31, 2P  ， 31, 2Q ， ∴直线 PB 的方程为  3 22yx   ， 令 4x  得  4, 3N  . ∴ 3 6AAQ Nkk   .∴点 A ，Q ， N 共线. ............ 6 分 数学理科试卷答案共 6 页第 4 页 ②当直线l 的斜率存在时，设 ：  1y k x，设  11,P x y ，  22,Q x y . 由   2 2 1 14 y k x x y    消 y 得 2 2 2 21 4 8 4 4 0k x k x k     ， 由题意知  恒成立，故 2 12 2 8 14 kxx k ， 2 12 2 44 14 kxx k   ， ∴直线 PB 的方程为  1 1 22 yyxx ，令 4x  得 1 1 24, 2 yN x   . ∴ 1 21 2 2 2 26AQ AN y yxkk x             1 2 2 121 2 1 1 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 x y x yyy x x x x         ， 上式中的分子      1 2 2 13 2 1 2 1k x x k x x       1 2 1 22 5 8kx x k x x k    22 22 4 4 82 5 8 01 4 1 4 kkk k kkk       . ∴ AQ ANkk ，∴点 A ，Q ， N 共线. 综上可知，点 ， ， 共线. . ................... 12 分 21．解：（Ⅰ）由函数 sin() axfx x  ，0 πx，得 2 cos sin() x x a xfx x     ， ∵当 0xx 时，  fx取得极小值  0fx ， ∴  0 0fx  ，∴ 0 0 0sin cosa x x x ， ....... .3 分 ∴   00 00 0 cos cosxxf x xx    ， ∵ ，∴  0cos 1,1x  ，∴    0 1,1fx ， 即 的取值范围为： 1,1 ．. ................... 6 分 （Ⅱ）当 a  时， sin( ) (0 )xf x xx     ， 数学理科试卷答案共 6 页第 5 页 要证 sin( ) ln ln 0xf x m x m xx      成立，即证 ln sinmx x x 成立， 令   lng x mx x ，   sinh x x ，则    ln 1g x m x ，   si ,(n1]h x x        ， 令   0gx  ，则 1x e ， ∴当 10 x e时，   0gx  ，此时  gx递减； 当 1 xe 时，   0gx  ，此时 递增， ∴ min 1() mg x g ee    ， 显然 0,()m  ， 1m e    ，∴0 m 时， 成立。 即 时，   ln 0f x m x. ...................12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一道作答，并用 2B 铅笔将答题 卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答， 按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分. 22．解：(1) 曲线 1C 的参数方程为 1 x cos y sin      ( 为参数) 转换为直角坐标方程为： 22( 1) 1xy   ． 展开后得 2220x y y   ， 由 22, sinx y y     代入化简得 的极坐标方程为 2sin . 设点 B 的极坐标方程为( , ) ，点 A 的极坐标为 0( , )，且 0 2sin ， 则 0,OB OA，由于满足 6OA OB， 则 0 6 2sin 6      ，即 ，整理得 2C 的极坐标方程为 sin 3 . ................. 6 分 (2) 点C 的极坐标为(2,0) ，则 2OC  ， 数学理科试卷答案共 6 页第 6 页 1 sin sin2ABC B AS OC         23 2sin  所以当sin 1  时取得最小值为1 ................... 10 分 23． 解：（Ⅰ）    1 1 1 1 1f f a a       ， 若 1a  ，则1 1 1aa    ，得 21 ，即 时恒成立； 若 11a   ，则  1 1 1aa    ，得 1 2a  ，即 11 2a    ； 若 1a  ，则    1 1 1aa     ，得 21，此时不等式无解. 综上所述， a 的取值范围是 1, 2   . ................... 5 分 （Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立， 只需   max min 5 4f x y y a    . 当  ,xa  时，   2f x x ax   ，   2 max 24 aaf x f   . 因为 55 44y y a a     ， 所以当 5 ,4ya 时， min 55 44y y a a     5 4a. 于是 2 5 44 a a，解得 15a   . 结合 0a  ，所以 的取值范围是 0,5 . ................... 10 分