2020四校联考（I卷）试卷及答案.pdf

数学Ⅰ 第 1页（共 10 页） 南京师大附中 2020 年期初数学学科调研测试试卷 数学 I 参考公式： 一组数据 x1，x2，…，xn 的方差为： 2 2 1 1 ( ) n i i s x xn    ，其中 x 是数据 x1，x2，…，xn 的平均数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合 { | 1 1}A x x   ≤ ， { 1,0,1}B   ，则 A B ＝ ▲ ． 2．已知复数 z 满足 (1 i) 1 iz   (i 为虚数单位)，则 z 的实部为 ▲ ． 3. 若一组样本数据 8，9，x，9，10 的平均数为 9，则该组数据的方差为 ▲ ． 4. 根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为 ▲ ． 5．从 2 名男同学和 3 名女同学中选 2 人参加某项活动， 则至少有 1 名女同学被选中的概率为 ▲ ． 6. 双曲线 2 2 13 yx   的准线方程为 ▲ . 7. 已知 na ( n N )为等差数列，其公差为 2 ，且 6a 是 2a 与 8a 的等比中项， nS 为 na 的前 n 项和，则 10S 的值为 ▲ ． 8. 已知函数 21( ) ln 2f x x x ax   ，若函数 )(xf 在区间 (1 2)， 上 存在极值，则实数 a 的取值范围为 ▲ ． 9. 给出下列命题： ① 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ② 如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③ 如果两条平行直线中的一条垂直于直线 m，那么另一条直线也与直线 m 垂直； ④ 如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中真命题的序号是 ▲ ． 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20 题，共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。 3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 1S  1i  Do S S i  2i i  Until 10S≥ End Do Print i 第 4 题图数学Ⅰ 第 2页（共 10 页） 10．已知函数 ( ) 2cos( )f x x   ( 0,0 )2     的图象过点 (0 2)， ，且在区间[0, 2  ]上单调递 减，则 的最大值为 ▲ ． 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 2 2:( 2) 4C x y   ，点 A 是直线 2 0x y   上的一个动点， 直线 AP ， AQ 分别切圆 C 于 P ， Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围为 ▲ ． 12. 已知正实数 x ， y 满足 2( ) 1xy x y  ，则 x y 的最小值为 ▲ ． 13. 如图，在梯形 ABCD 中， //AB CD 且 2 2DC AB BC  ，E 为 BC 的中点，AC 与 DE 交于点O ． 若12 5CB CD OA OD      ，则 BCD 的余弦值为 ▲ ． 14. 已知周期为 6 的函数 ( )f x 满足 (4 ) (4 )f x f x   ，当 [1,4]x 时， ln( ) xf x x  ，则当 320 符合要求 …………8 分 （或者，当 )2,1(x ， 1ln x ，所以 01)ln1(ln1  xaxxaxax 恒成立） ②当 1,02 1  aa 且 )2,1(x 时， )(0)(' xx   在(1,2)上单调递增 要使得 0ln1  xaxax 恒成立， 即要求 101ln10)1(  aaa 故 1,02 1  aa 综上所述， a 的取值范围是 1{ 1} [ , )2    ……………………………10 分 另解：因为 ax＋1≠0 在(1，2)有意义，所以 a≤－1 或 a≥－1 2 ，…………6 分 f ′(x)＝ a＋1 x －alnx (ax＋1)2 ，因为 f(x)在(1，2)递增，∴f ′(x)≥0 在(1，2)恒成立， 即 a＋1 x －alnx≥0 在(1，2)恒成立，即 alnx－1 x －a≤0 在(1，2)恒成立， 令 g(x)＝alnx－1 x －a，x∈[1，2] g ′(x)＝a x ＋1 x2 ＝ax＋1 x2 当 ax＋1＜0 时，即 a≤－1 时，g ′(x)＜0，所以 g(x)递减， 所以 g(x)的最大值为 g(1)≤0，即－1－a≤0，∴a≥－1，所以 a＝－1. ……8 分 当 ax＋1＞0 时，即 a≥－1 2 时，g ′(x)＞0，所以 g(x)递增， 所以 g(x)的最大值为 g(2)≤0，即 aln2－1 2 －a≤0，∴a≥ －1 2 1－ln2数学Ⅰ 第 10页（共 10 页） 又因为 －1 2 1－ln2 ≤－1 2 ，所以 a≥－1 2. 综上，a≥－1 2 或 a＝－1.…………10 分 （3）由（2）可知当 1a 时，函数 f(x)在(1,2)上单调递增，此时 x x x xxf  1 ln 1 ln)( 当 2 31  x 时， 2 3ln2)2 3()(  fxf ，而 032 x ，所以 )32(2 3ln2)1( ln)32()32(2 3ln2)()32(  xx xxxxfx )32(2 3ln2)1( ln)32(   xx xx …………12 分 当 22 3  x 时， 2 3ln2)2 3()(  fxf ，而 032 x ，所以 )32(2 3ln2)1( ln2)32()32(2 3ln2)()32(  xx xxxxfx )32(2 3ln2)1( ln)32(   xx xx …………14 分 综上，对于任意 )2,1(x ，都有 )32(2 3ln2)1( ln)32(   xx xx 故 0)622(2 3ln2)32(2 3ln2)32(2 3ln2)1( ln)32( )1( ln)32(    yxyxy yy x xx ……………………………16 分 另解：因为 3 yx ，所以 yxxxx  332 ， xyyyy  332 要证 2 3)ln 2 3)ln 01 1 x x y y x y     （ （ ，即证 )ln )ln 01 1 x y x y x y x y     （ （ …………12 分 不妨设 y x ，当 y x 时 )ln )ln 01 1 x y x y x y x y     （ （ 成立； 当 y x 时，即证 ln ln 1 1 x y x y     ， …………14 分 由（2）知，当 1a   时， ln( ) 1 xf x x    在 1,2（ ）上递增 所以 ln ln 1 1 x y x y     成立， 综上 2 3)ln 2 3)ln 01 1 x x y y x y     （ （ …………16 分