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14. 1500 15 五 2 16.2 2021 —2 l【解析】 2i3 z= =1—i,.-. z = l+i. 因此选B l�i 【微评】考查复数相关的概念及运算 2【解析】A= {x IO< x < I},B = {x Ix< 3},.-. A门(CR B)=中因此选C 【微评】考查解不等式（分式不等式、对数不等式）、集合的运算 3【解析】 2a6 — a7 a6 d a5 1 ＝ ＝ ＝ — . 因此选D. S9 9a5 9a5 9 【微评】考查等差数列及其前n项和的性质 2 4【 解析】法 1 : ·: 对a,bER 十 ，有 ab三（了）， 当且仅当a — b — 1时取等， 故当 1 ab>l 今- a+ b > 2 , : . ab > l是a+b>2的充分条件反之，若a+b>2, 特别的a= — , 3 b=2, 则abl不是a+b>2的必要条件 法2: 画出两个不等式所表示的平面区域，如图所示，ab>l 1 表示的平面区域为曲线b= — 上方的部分，a+b>2表示的平面区域为 a 直线a+b=2右上方的部分 因此选A 【微评】考查基本不等式、简易逻辑、特值法、数形结合 5【解析】记快递员讲快递送到小区的时刻为X, 小李同学父亲到小区 时刻为y, 则所有事 厂 － ＼ ，＇、、` ｀ ． b、 `、 。 件构成区域力 n l 4 :S: X三5 4.5 :S: y :S: 5' 记 “ 小李同学父亲收到快递无需等待 ” 为事件A, 则事件 4气5 A构 成区域满足A: l 4.5 0 , 故f(x)在(0,+oo)上单调 递增，又f(O)=O, 因此选 D 【微评】考查导数的应用、函数的图像和性质 9 【解析】 g(x)在[— 2019,2020] 上的零点个数即力 y =f(x) 和 y = e-1-'I 的图像在 [— 2019,2020]上的交点个数f(x) 是偶山数，关于 (1,0) 对称，可得面数周期为 4, 又当 XE [0,1)时，/() 彞 X = Slll—x, 做出 y =f(x) 和 y = e-1飞1 的部分图像如图所示，由图像可 2 知，每个周期内两个函数的交点由2 个，但是在[— 2019, — 2016]上只有 1 个交点，故一共 有 505 X 2+ 504x 2 +1 = 2019个零点故选 B 【微评】考查函数的性质、 图像、零点等知识 2 10 【解析】 f(x) = 1 — COS 2 X + COS X = — ( cos x — _!_ J 三， xE[O,a] , 令2 4 t = cos x, g (t) = — (t — ½r +¾, ... g (t) E [ 1, ¾i , 且刍t= ） = ¾, 令g(t)= l 得 t=O或t = l, 由xE[O,a],x =O 时，t= l, 结合g(t) 图像，当 0三t:::; 1 时，g(t)E [ 1, 勹4 . ·. 0 :::; cos a :::; _!_ , . ·. a E [产，产］因此，选D 2 3 2 【微评】考查同角三角函数的基本关系、三角函数的性质、二次函数 11【解析】设双曲线的左焦点为F',如OF l= I OF'l=I OMI'故MMF' 为直 角三角形， 根据题意，设乙MOF=a, 乙MF'F=/3 2 tan /3 4 ，则tana= tan2/3 = =— ，解得 1 —tan /3 3 1 tanfJ = — （舍负值） 2 即 IMFI 1= — IMF' I 2 又I MF'1-1 MF I = 2a IMF乍4a,f MFf =2a.:.(4a) 2 +(2a) 2 — (2c 广， 得离心牟e= c=✓S 故选C a 【微评】考查双曲线的定义， 12. 【 解析】 勹 几何性质 A � A, C, B 图(1) 图 (2) 图 (3) 图 (4) 对于＠， 如图(1) , 由AB//CD, 可知LBAE即为异面直线AE与CD 所成的角设正方体的 棱长为2,连接 BE,则在Rt6ABE中，AB=2,BE=寸BC2 + C E2 =-.f: 哀飞丁仁梁anLBAE=—=—BE 乔 AB 2' 正确 对于＠，如图(2) , 将三角形AA1B与四边形A1BCD1沿A1B展开到同一个平面上，如图所示 由图 可知，线段AD1的 长度即 为AP+PD1的 最小值在6.AA1D1中，利用余弦定理可 得 AD1二，错误 ，、 对于茉，如图(3)'当P为CD中点时，三棱锥P— ABC体积最大 ，此时，三棱锥P— ABC ✓2 的外接球球心是AC中点，半径为 ， 其表面积为21r正确 2 对于＠， 如图(4)'平面a与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等 ，只需与过同一顶点 的三条杖所成的角相等即可，如图，AP=AR=AQ,则平面PQR与正方体 过点A 的三条棱所成的 角相等若点E,F,G,H,M,N分别力相应棱的中点， 可得平面EFGHMN乎行于平面PQR,且六边 迈形EFGHMN为正六边形正方体棱长为1, 所以正六边形EFGHMN的边 长为—可得此 正六边2, 3,/3 形的面积为—-, 为接面最大面积故正确的命题有3个 【微评】考查立体几何13 【解析】向量b 在向量a 方向上的投影即心Icos(;, 闪＝－＝;.b (1, 句(o, — 3) lal ✓3 【微评】考查平面向量坐标运算、数量积、投影 14 【解析】[ c;�; + c;�;]xA'=1500 � � 5 【微评】排列组合综合应用 15 【解析】设P(x,y), y=O 时， IPFl=l, y>O 时，有 IPAI IPFI= 古+(y-2)2 IPAI�- y2 +4y+4 y三12y+4 -•l— 8y y2 +l2y+ 4 8 ✓2 IPFI ✓2 —』1- > 当且仅当 y=2时取等:. 的最小值为 y+—+12 y 2 IPAI 2 【微评】抛物线、基本不等式 = —次． 16 【解析】·:f(x) = x2 + px+q有两个零点 1,2.:.f(x)=(x — l)(x — 2)= x2 — 3x+2 f'(x) = 2x— 3. 由题意 忒-2 —2 矿 — 3xn+ 2 x�-2 _ x叶l — 2 2xn -3 斗 — 4xn+4 xn -2x"H =x" — 2x" - 3 = 2x" — 3 , .. X吁 l — I = 心— 2 I = 忒 — 2 丸 +l = [ x" — I l 2xn— 3 X -2 X — 2 X -2 . : an = In n '_.. an+I = ln n 十1 = 2 ln n = 2an ' 又a1 = 2, _-数列 {a} 是首 X — I X -l X — l n n n+I n 2 1— 22020 项为 2, 公比为 2 的等比数列，则 a =2n ·S = （） n '· · 2020 = 1-2 22021—2. 【微评】导数、对数运算、零点、数列递推关系、等比数列等综合考查 17 【解析】 (1) 由 (a-b)sinA=csinC-bsinB, 根据正弦定理得， (a — b)a= c2 — 矿，即a2+b2 -c2 = ab 由余弦定理得， cosC= — — a2 +b2— c2 1 2ab 2 又CE(O, 叶， :.C=-弿 3 �1� (2)由AD=— AB可知，D 是AB中点，在�CD中，2 AC 2 = AD 2 + CD 2—2AD-CD-cos乙心C, 即b 2=l+CD 2 —2CDcos乙4DC, 在�CD中， BC 2 = BD 2 + CD 2 —2 BD·CD·cos LBDC, 即a 2= l+CD 2—2CDcos乙BDC, ·········6分 又乙4DC+乙BDC=n, 则cos乙心C=—cos乙BDC 1 熘＝ — 忨+b 勹 — 1. 由(1)及c=2得a 2+b 2 — 4=ab三 ， a 2 +b 2 2 2 当且仅当a=b=2时，等号成立 ·········10分 1 1 卢+b i )三4, CD 2 =2忨+b 2 )— 1三3 .·.CD 的最大值为✓3 ·········12分 【微评】考查应用正定理 、 余弦定理解三角形 、 基本不等式 18【解析】(1)将6ECD沿CD折起过程中，CD上平面PDA成立 ． 证明如下： ·: D是EA的中点，EA=4, :.DE=DA=2, 在6EDC中，由余弦定理得， 心C厅=EC2+E庄— 2EC·ED·cos 45° =8+4— 2X2占X2X—=4,2 :.CD=2=ED, ·:en开DE2=8=EC2, : .l':,.EDC为等腰直角三角形且CD上EA, : .CD上DA, CD上PD, PD门AD=D, : .CD上平面PDA. (2)由(1)知 CDl_于面PDA, CDC平面ABCD, :．平面PDA-1平面ABCD, ·········5分 ·:L,.PDA为锐角三角形，:.P 在平面ABCD内的射影必在棱AD上，记为0, 连接PO, .'.PO..l平面ABCD, 则乙FDA是PD与平面ABCD所成的角， :. 乙PDA=60° , ·:DP=DA=2,:.t::,.PDA为等边三角形，0为 AD的中点， 故以0为坐标原点，过点 0且与CD平行的直线为x轴，DA所在直线为y轴，OP所 在直线为z轴建立如图所示的空间直角 坐标系， 设x轴与BC交于点 M, ·: DA=PA=2 , :. OP=' ✓3 , 易知OD=O A =CM=l, :.BM=3 , -C 则P(O, 0, 灼，D(O, — 1, 0), C(2, —1, 0), B(2, 3, 0), OC =(2, 0, 0), BC =(O, —4, 0), 丙=(2, —1, -灼， ·: CD_L平面PDA, :. 可取乎面PDA 的 一 个法向量n1 = (l, 0, 0), 设平面PBC 的法向量；；；＝（功 ，庐， z2), n -BC=O 4y2 = 0, 飞汇 o·即｛幻—y,—函�o , 压=I, 则；；；＝［ ＄ 2 ,0,1]力平面PBC 的 一 个去 向量， 设千面PAD和千面PBC所成的角为0, 由图易知0为锐角， 一一 点 -- ln ,·n2 I : . cos B = I cos < n, , n2 〉I= - - = = 2 心 冈I·In2 I 1 x豆 7 2 :．平面PAD和平面PBC所成角的余弦值为面 7 ......... 9分 ·········12分 【微评】综合考查立体几何 19【解析】(1)由0.05+0.05 +0.10 + 0.1 5 + 0. 45 +lOa = 1, 得a=0.020……1分 设A部得分的中位数为x(80O 2 x 2 = 2py :. x3 +x 4 = 2 p k, x3 - x 4 = p 2 ·········9分 2 由 x 2 =2 py 得 y = X I X —, .y = —． 抛物线 x 2 =2py在A'( x3 'y 3 )处的切线方程力 2p p 2 2 X3 X I X 4 X y= — X — 3'同理在 B ( x 4 ,y 4 ) 处的切线万程力y= — x — 4 p 2p p 2p 2 X3 X y= — x — 3 p 2p X4 入c 2 p p 联立�y=-x- 4 解得y=-, 故p'在直线y=-上 p 2p 2 2 X3 ·X 4 = p 2 ........ ,11 分 ·········12分m(x)= ex— X— l(x>O),m飞）=ex— 1 > 0, .-. m(x)在(o,+oo)上单 令 ©若 a>O时， ·········7分 1 1 故a:::; o时， g(x)+ 飞 ＞ 成立e l+x 递增， h(x) > h(O) = O成工， 调 h(x)在(o,+oo)上单 1 ·:x>O, ——E (0, 1) _-. h'(x) =2x + 2 + l - _!_ > 0 ,e -' (x + 1)2 e -' x+l e 飞 ' (x+l)2 e -' h(x)=x2 +2x— +—(x>O ), 则 h1 (x) = 2x + 2 + — — . 1 1 令 1 1 .·. x2 +2x—a 1n (x + 1) 2: x2 + 2x ©若a.:; 0, ·: ln(x+l) > 0, — aln(x+1)2:0 1 1 (2)由题意，x2 +2x— aln(x+l)> — 飞－在(0,+oo)上恒成 立l+x e ·········4分 ·········3分 当 综 当 a当 上 x >x : EE 寸HO f\ '\ ， f 当当 －－ ( aa ， ll ＞ VI + 令I j、Ijx OHOH ： x 门口 ，＇ 寸十 ＋ ）言 + l ff loo 0H _＿ 寸 f—\ f1\ ,j 对ݒ 对 时 得， 十 在在 ， xf ', f( ， _＿ x ,I\ - 00 - !－ j 、 11 ( 、 l ＇ x, ＋ 上 ＋－ ) l O 0 言， 00 + ) ， 调 x “ﻰ 丿 归 ＿＿ 或“ 上 寸递 f J (f -x 曾单 f1, 、 x 单 调 口” 、Ij :“ （ 递 减 J 舍 函曰 ؿ去 ·········2分 a三0时，厂(x)> 0在(— l,+oo)上恒成工，此时f(x)在(— l,+oo)上单递增； 当 x+l 21 【解析】Cl) f(x )定义域力(— 1,+ oo) , f'(x) = 2x + 2 - a ………l分 微评】综合考查解析几何】1 1 1 1 调递增.·. m (x) > m(O) = 0, 即有 e -' >x + I > 0 . : . >—，即 ——>0 x+I e 飞 x+I e -' 1 1 要使 g(x)+了 ＞ 成立，必有 f(x) > 0 成立 e l+x 由 (1) 可知， a>O 时， /(x),.,, �1[— l+言］，又 /(0)=0, 则必有 — 1+f三0, 得 O< a三2.2 此时， ·········9分 1 1 1 1 1 1 g(x)+—— = x 2 +2x — aln(x+l)+—— 乏 x 2 +2x — 2ln(x+l)+—— e -' X + l e -' X + l e x X + l 令 1 1 t(x) = x 2 +2x — 21n(x+1)+—— (x > o) e x x+l f 1 (X) — 2x+2 — — —+ 2 1 1 x+l e" (x+l) 2 >2x+2 —十 2 = 3 1 2(x+l广— 3(x+l)+l x+l (x+l) (x+l) 2 2(x+l广— 3(x + I) + 1 2 (x + I) 2 �3 (x + I) + 1 x (2x + 1 > = = (x+l广 (x+l广 (x+l) 2 ） >0 即t 1 (X) > 0 恒成工，故 t(X) 在(o,+oo) 上单调递增， t(x)>t(O)=O ………11分 1 1 故 O < a 三 2 时， g (x)+ 笍 ＞ 成立 e l+x 综上， a 的取值范围是(-oo,2]. 【微评】综合考查导数的应用 ·········12 分 22 【解析】 (1) 由 p 2 cos20 =1 得 p 2 cos 2 0 — psin 2 0 =I, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 x — y =1. 由 { x�t — ✓3 i肖去t 得 .fix — y+3�0 所以直线 l 的普通万程为 .fix — y+3�0.… 5 分 y=矗(2)点P(�扛o) 在直线l上，设直线l的参数方程为 1 x=-m- ✓3 2 y= m 2 (m 为参数） 设点 A,B 对应的参 数分别为 m 1 ,m 2 ' 将直 线 l 的参 数方程代入 x i �Y i —1' 得 m 2 +2 ✓3 m — 4 = 0, . · . m 1 + m 2 = — 2 ✓3 ,m 1 ·m 2 = — 4 1 m 1 +m 2 2 —4m叽7＋ 1 I m 1 I + I m 2 I I m 1— m 2 I ✓( ) — =✓ ………10分 '' I PA I IPB I I I — · m 1 m 2 I m,m 2 I I m 1 m 2 I 2 【微评】考查极坐标参数方程 23 【解析】 (!) f(x)=1 勹 �;::�2)' 3x — 5(x>2) 不等式 f(x)