2020 年兰州市高三诊断考试
数学（文科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、
考号填写在答题纸上.
2.本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
2.已知复数 ，则 （ ）
A． B．5 C．13 D．
3.已知非零向量 ，给定 ，使得征 ， ，则 是 的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.若 ，则 （ ）
A．4 B．3 C． D．
5.已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则它的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6.已知集合 ，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）
{0,1,2,3,4,5}A = { }*| 2 ,B x x n n N= = ∈ A B∩ =
{0,2,4} {2,4} {1,3,5} {1,2,3,4,5}
5 22
iz i
= +− | |z =
5 13
,a b :p λ∃ ∈R a bλ= :| | | | | |q a b a b+ = + p q
21 tan5 7 2sin cos12 12 tan
α
π π
α
−
= tanα =
4− 3−
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > (2, 1)−
5
2 3 5 2 3
5 7 11 13, , , ,6 6 6 6 6A
π π π π π = AA． B． C． D．
7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表 1 所示，绘制相应的散点图，
如图 1 所示：
表 1
年份 1 2 3 4 5
羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根据表 1 及图 1 得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数
据得到的两变量间的相关系数为 ，去掉第一年数据后得到的相关系数为 ，则 ；③可
以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数.以上判断中正确的
个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8. 已 知 函 数 ， 且 ， ， ， 则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9.已知圆锥的顶点为 ，高和底面圆的半径相等， 是底面圆的一条直径，点 为底面圆
周上的一点，且 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数 ，
若函数 的图象与直线 在 上有 3 个不同的交点，则 的范围是（ ）
1
10
2
5
3
5
3
10
1r 2r 1 2r r<
2( ) ln( 1)f x x= + ( )0.20.2a f= ( )3log 4b f= 1
3
log 3c f
=
a b c、 、
a b c> > c a b> > c b a> > b c a> >
A BE D
60ABD∠ = ° AB DE
3
2
2
2
3
3
1
3
( ) sin (sin cos )( 0) ( ) sin (sin cos )( 0)f x x x x f x x x xω ω ω ω ω ω ω ω= + > = + >
( )f x 1y = (0, )π ωA． B． C． D．
11.已知点 ，抛物线 ， 为抛物线的焦点， 为抛物线的准线， 为抛物
线上一点，过 做 ，点 为垂足，过 作 的垂线 ， 与 交于点 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
12.已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22
题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数 ，则 ______.
14.已知向量 满足 ，向量 夹角为 ，且 ，则向量
______.
15. 在 中 ， 分 别 为 角 所 对 的 边 ， 且 ， ，
，则 ______.
16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形
，侧棱 、 、 、 、 、 相互平行且与平向 垂直，
蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构
是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己
的 家 园 . 英 国 数 学 家 麦 克 劳 林 通 过 计 算 得 到 . 已 知 一 个 蜂 房 中
， ， 则此蜂房的表面积是_______.
1 3,2 4
1 5,2 4
5 3,4 2
5 5,4 2
( 4, 2)M − − 2 4x y= F l P
P PQ l⊥ Q P FQ 1l 1l l R
| | | |QR MR+
1 2 5+ 2 5 17
R ( )f x ( )f x′ ( )f x 2( ) ( ) xxf x f x x e′ − =
(1)f e= ( )f x
e− e 1
e
1
e
−
2 , 1( )
2 1, 1
x xf x
x x
> A B
F
M N、 AM BN AN BM、
1k 2k 2
1 2 1k k e⋅ = − e
21 1( ) 2 3 ln 2 2f x x a x x= − − + a ∈R 0a ≠
2 3a = ( )y f x= (1, (1))f
0a > ( )f x
( )y f x= 1 2,x x ( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < −请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 .
（Ⅰ）若直线 与曲线 交于 两点，求线段 的长度；
（Ⅱ）若直线 与 轴， 轴分别交于 两点，点 在曲线 上，求 的取值范
围.
23.【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 ， .
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）对 ， ，使得 成立，求 的取值范围.
2020 年高三诊断考试试题答案
数学（文科）
1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.A 10.C 11.D 12.D
11.【解析】根据抛物线定义 为 的垂直平分线
故选 D．
12.【解析】由 ，构造函数 ，则
，所以可以设 ，即
， ， 又 因 为 得 ， 所 以 ， 由
xOy l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
t O
x 1C 2 2 cos 4
πρ α = +
2C 24y x= −
l 1C M N、 MN
l x y A B、 P 2C AB AP⋅
( ) | 1| | 2 2 |f x x x= − + + ( ) | 2 | | 2 |g x x x a a= + − − +
( ) 4f x >
1x∀ ∈R 2x∃ ∈R ( ) ( )1 2f x g x≥ a
| | | |PF PQ= 1l FQ
| | | |RF RQ= 3| | | | | | | | | | 5QR MR FR MR FM+ = + =
2( ) ( ) xxf x f x x e′ − = ( )( ) f xF x x
=
2
( ) ( )( ) xxf x f xF x ex
′ −′ = ≥ ( ) xF x e c= +
( ) xf x e cx
= + ( ) xf x xe cx= + (1)f e= 0c = ( ) xf x xe=得 且 时 ， 在 上 为 减 函 数 ，
时 ， 在 上为增函数，所以 .故答案为
D．
13.4 14. 15.9 16.
16.【解析】连接 、 ，则 ，
为菱形， ，
.
17.【解析】
（Ⅰ）设等差数列 的公差是 ，由 ， 得：
解得 ，所以
（Ⅱ）设 ，
得到
18.【解析】
（Ⅰ）点 为 中点时直线 与面 平行.
证明：连接 ，交 点 ，则点 为 的中点，因为点 为 中点，
故 为 的中位线，则 ， 平面 ， 平面 ，所以
与平面 平行
（Ⅱ）根据题意 ， 底面 ， 底面 ，则有 ，
，所以 平面 ，则 设 ，
，得
( ) ( 1) 0xf x e x′ = + = 1x = − 1x < − ( ) 0f x′ < ( )f x ( , 1)−∞ −
1x > − ( ) 0f x′ > ( )f x ( 1, )− +∞ min
1( ) ( 1)f x f e
= − = −
6 216 2
BD B D′ ′ BD B D′ ′ 6 2BD B D′ ′= =
OB C D′ ′ ′ 109 28 16B C D′ ′ ′ ′ ′′∠ = ° tan54 44 08 2′ ′′° =
1
3 222 2 6tan54 44 08 2
B D
OC
′ ′
′∴ = ⋅ = ⋅ =′ ′′° 3 3B C′ ′ =
2 2 4 3CC BB B C BC′ ′ ′ ′∴ = − − = 2 6 (5 3 4 3) 27 22BB C CS ′ ′
× += =梯形
16 27 2 3 6 6 2 216 22S∴ = × + × × × =表
{ }na d 1 8a = − 2 43a a=
8 3( 8 3 )d d− + = − + 2d = 10 2na n= − +
( )
4 4 1 1212 (2 2) 1n
n
b n a n n n n
= = = − + + +
1 92 1 1 5nT n
= − = +
9n =
E PD PB ACE
BD AC O O BD E PD
OE PDB△ OE PB OE ⊂ ACE PB ⊄ ACE PB
ACE
AC PB⊥ PA ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD AC PA⊥
PA PB P∩ = AC ⊥ PAB AC AB⊥ AC x=
21 1 1 1 1 31 1 23 2 3 2 2 3p ACB A PBCV V x x− −= = × × × × = × × × + × 1AC =则
19.【解析】
（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”为事件 C
（Ⅱ）完成列联表如下：
标记 不标记 合计
坡腰 30 20 50
坡顶 20 30 50
合计 50 50 100
根据列联表，计算得：
所以有 的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关
（Ⅰ）椭圆的标准方程为：
（Ⅱ）由（1）可知 ， ，设 的斜率为 ，则 斜率也为 故直线
的方程为 ，直线 的方程为
由 得 ，即
解得 或
由 得 ，即
解得 或
1 1 1 1 11 1 12 2 3 2 12P EAC P ACDV V− −= = × × × × × =
( ) 0.8 0.16 0.36 0.6P C = + + =
2
2 100 (30 30 20 20) 4 3.84150 50 50 50K
× × − ×= = >× × ×
95%
2 2
14 3
x y+ =
(2,0)A (0, 3)B − AM k BN k AM
( 2)y k x= − BN 3y kx= −
2 23 4 12
( 2)
x y
y k x
+ =
= −
2 2 23 4 ( 2) 12x k x+ − = ( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ − + − =
2x =
2
2
8 16
3 4
kx k
−= +
2
2 2
8 16 12,3 4 3 4
k kM k k
− −
+ +
2 23 4 12
3
x y
y kx
+ =
= −
2 23 4( 3) 12x kx+ − = ( )2 23 4 8 3 0k x kx+ − =
0x =
2
8 3
3 4
kx k
= +
2
2 2
8 3 4 3 3 3,3 4 3 4
k kN k k
−
+ +
( )
( )
22
1 2 2
2
3 4 34 3 3 3
3 4 2 4 4 3 3
8 3 23 4
kkk k k k
k
k
−−= =+ − − +
−+21.【解析】
（ Ⅰ ） 因 为 时 ， 所 以 ，
那么 ， ，所以曲线 在 处的切线
方程为： ，即：
（Ⅱ）因为 ，由 可得：
当 ， ， 时 ， 有 ， ， 满 足
，
和 时 ，
即 在 和 上为减函数；
时 ，即 在 上为增函数.
当 时， ， 恒成立，所以 在 为减函数
综上可知：
当 时，在 和 上 为减函数，
在 上， 为增函数：
当 时，在 上， 为减函数
（Ⅲ）因为 有两个极值点 则
有两个正根 ，则有 ， ， ，即 ，
所以
( )
( )
2
2
2 2 2
2
12 3 3 4 4 3 33 4
8 6 2 4 3
3 4
k
k kkk k k
k
− + − ++= =− −
+
2
1 2
3 14k k e× = − = −
2 3a = 21 1( ) 2 3 2 3ln 2 2f x x x x= − − +
2 3( ) 2 3f x xx
′ = − − (1) 1f ′ = − (1) 2 3f = ( )f x (1, (1))f
2 3 1( 1)y x− = − − 2 3 1 0x y+ − − =
2 2 3( ) 2 3 a x x af x xx x
− + −′ = − − = 2 2 3 0x x a− + − =
12 4 0a∆ = − > (0,3)a ∈ 1 3 3x a= + − 2 3 3x a= − −
1 2 0x x> >
( )20,x x∈ ( )1,x +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x ( )20, x ( )1,x +∞
( )2 1,x x x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )2 1,x x
3a ≥ 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x (0, )+∞
0 3a< < (0,3 3 )a− − (3 3 , )a+ − +∞ ( )f x
(3 3 ,3 3 )a a− − + − ( )f x
3a ≥ (0, )+∞ ( )f x
( )y f x= 1 2x x、
2
1 2 33( ) 0x x af x x
− + −= =
1 2x x、 12 4 0a∆ = − > 1 2 2 3x x+ = 1 2 0x x a= > (0,3)a ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
12 3 ln 1 ln 72f x f x x x a x x x x a a a+ = + − − + + = − + +若要 ，即要
构造函数 ，则 ，易知 在 上为增函数
且 ， ，所以存在 使 即
且 时 ， 单调递减， 时 ， 单调递增.
所以 在 上有最小值为 ，
又因为 则 ，所以 在 上恒成立，
即 成立
22.【解析】
（Ⅰ）由条件可知直线 的普通方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 .
根据曲线 的直角坐标方程可知 为以 为圆心，以 为半径的圆，
圆心 到直线 的距离 ，
所以弦 ；
（Ⅱ）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数，且 ），
又因为 ， ，设曲线 上点 的坐标为 ，
则 ， ，
所以， ，则 ，
所以
23.【解析】
( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < → ln ln 2 0a a a a− − + >
( ) ln ln 2g x x x x x= − − + 1( ) lng x x x
′ = − ( )g x′ (0,3)
(1) 1 0g′ = − < 1(2) ln2 02g′ = − > 0 (1,2)x ∈ ( )0 0g x′ = 0
0
1ln x x
=
( )01,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0,2x x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x
( )g x (1,2) ( )0 0 0 0 0 0
0
1ln ln 2 3g x x x x x x x
= − + + = − +
0 (1,2)x ∈ 0
0
1 52, 2x x
+ ∈
( )0 0g x > 0 (1,2)x ∈
( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < −
l 1 0x y+ − =
1C 2 2 2 2 0x y x y+ − + =
1C 1C (1, 1)− 2
1C l 2
2d =
2
2 2| | 2 ( 2) 62MN
= − =
2C 2cos
2sin
x
y
θ
θ
=
=
θ [0, ]θ π∈
(1,0)A (0,1)B 2C P (2cos ,2sin )P θ θ
( 1,1)AB = − (2cos 1,2sin )AP θ θ= − [0, ]θ π∈
2 2 sin 1 [0, ]4AB AP
πθ θ π ⋅ = − + ∈
2 sin 12 4
πθ − ≤ − ≤
[ 1,2 2 1]AB AP⋅ ∈ − + （Ⅰ）由 或 或 解得 或 或 ，
所以不等式的解集为
（Ⅱ）因为当 时 ，
又因为 ，
由题意 ， ，使得 成立，
则有 ，即 所以有 ，
解之得
1
3 1 4
x
x
≤ −
− − >
1 1
3 4
x
x
− <
1
3 1 4
x
x
≥
+ >
5
3x < − x φ∈ 1x >
5, (1, )3
−∞ − ∪ +∞
1x = − min( ) 2f x =
( ) | 2 | | 2 | |( 2) ( 2 ) | | 2 2 |g x x x a a x x a a a a= + + − + ≥ + − − + = + +
1x∀ ∈R 2x∃ ∈R ( ) ( )1 2f x g x≥
min min( ) ( )f x g x≥ 2 | 2 2 |a a≤ + + 2 2
2 0
(2 ) (2 2)
a
a a
− ≥
− ≥ +
[ 4,0]a ∈ −
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