北京四中顺义分校2020年4月月考答案.pdf

北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 1 页（共 7 页） 4 月月考数学答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．A 2．D 3．A 4．A 5. D 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B 二、填空题：本大题共 5 题，每小题 5 分，共 25 分. 11． 6 2 12． 20 13．(3,1) 14． π ， π 8 15．②③ 注：第 14 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他 得 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）因为在底面 ABCD 中， 2, 2 2AB AD BD   ， 所以 2 2 2AB AD BD，即 AB AD . „„„„„„ 2 分 因为 1AA 平面 ， AB  平面 ABCD ， 所以 1AA  AB ， „„„„„„ 4 分 又因为 1AA AD A ， 1,AA AD  平面 11ADD A ， 所以 AB  平面 11ADD A . „„„„„„ 6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得 1,,AB AD AA 两两垂直，故分别以 AB ， AD ， 1AA 为 x 轴， y 轴， z 轴， 如图建立空间直角坐标系， „„„„„„ 7 分 在底面 中，由题意，得 224BC BD CD   . 则 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (2,4,0)C ， 1(2,0,2)B ， 1(0,2,2)D ， 所以 (2,0,0)AB  ， 1 (0,4, 2)BC， 11 ( 2,2,0)BD  ， „„„„„„ 8 分 设平面 11B CD 的法向量 ( , , )x y zn ， 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 2 页（共 7 页） 由 1 0BCn ， 11 0BD n ，得 420, 220, yz xy   令 1y  ，得 (1,1,2)n . „„„„„„11 分 设直线 AB 与平面 11B CD 所成的角为 ， 则 6sin | cos , | || 6| | | | ABAB AB       nn n ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 6 6 . „„„„„„ 14 分 17．（本小题满分 14 分） 解：（不可以选择②作为补充条件.） 选择①作为补充条件. „„„„„„ 2 分 解答如下： 因为在 ABC△ 中， πA B C   ， 所以sin sin( )C A B „„„„„„ 4 分 sin cos cos sinA B A B „„„„„„ 6 分 2π π 2π πsin cos cos sin3 4 3 4 62 4  . „„„„„„ 8 分 在△ ABC 中，由正弦定理 sin sin ab AB ，得 sin 3sin bAa B. „„„„„„ 11 分 所以△ 的面积 1 9 3 3sin24S ab C . „„„„„„ 14 分 选择③作为补充条件. „„„„„„ 2 分 解答如下： 在△ 中，由 3 2sinaB ，以及正弦定理 ， „„„„„„ 4 分 得 3 2 sin 6 2π sinsin 3 B B ，解得 2 1sin 2B  . B1 B D A A1 D1 C C1 y x z 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 3 页（共 7 页） 由 2π 3A  ，得 B 为锐角， 所以 π 4B  ，且 3 2sin3aB. „„„„„„ 6 分 因为在 ABC△ 中， πA B C  ， 所以sinsin()CA B „„„„„„ 8 分 sin cos cos sinA BA B „„„„„„ 10 分 2π π 2π πsin cos cos sin3 43 4 62 4  . „„„„„„ 11 分 所以△ ABC 的面积 19 3 3sin24S ab C . „„„„„„ 14 分 18．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为 21 20 10 ，„„„ 3 分 故在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生约为 1505 10万人. „„„„„„ 5 分 （Ⅱ）由图表知，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人， 由题意，随机变量 X 的所有可能取值为：0，1，2. „„„„„„ 6 分 且 20 53 2 8 CC 5( 0) C 14PX    ， 11 53 2 8 CC 15( 1) C 28PX    ， 02 53 2 8 CC 3( 2) C 28PX    . „„„„„„ 9 分 所以随机变量 X 的分布列为： 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 „„„„„„ 10 分 所以 5 15 3 3( ) 0 1 214 28 28 4EX        . „„„„„„ 11 分 （Ⅲ）m 的最小值为 4. „„„„„„ 14 分 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 4 页（共 7 页） 19．（本小题满分 14 分） 解:（Ⅰ）由题意，得 ( )2 ( 2)f xx ax a     ， „„„„„„ 2 分 则 π(2) tan 4f   ， „„„„„„ 4 分 即 22 4 ( ) 1aa     ，解得 2a  . „„„„„„ 6 分 （Ⅱ） (2( ) 2 ( 2) )( 1)xfx aa xxaxx       ，其中 (1,e)x . „„„„„„ 7 分 令 0(2() )( 1)axfx x x     ，得 1x  ，或 2 ax  . „„„„„„ 8 分 由导函数 ()fx 在区间 (1,e) 上存在零点，得 (1,e)2 a  ，即 (2,2e)a . „„ 9 分 随着 x 变化， ()fx 与 ()fx的变化情况如下表所示： (1,)2 a 2 a (,e)2 a  0  ↘ 极小值 ↗ 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 所以 在 上存在最小值 2 ( ) ln( )2 2 4 a a af aa   . „„„„„„ 11 分 设 2( ) 2 ln 2g x x x x x   ， (1,e)x . 则 ( ) ( )22 aagf ， (1,e)2 a  . „„ 12 分 所以 ( ) 2ln 2g xx x . 由 (1,e)x ，得 2ln (0,2)x ， 2 (2,2e)x ，则 ( ) 2ln 2 0g x x x    . 所以 ()gx在区间 (1,e) 上单调递减. 所以 2( ) (e) eg x g   ，即 2( ) ( ) e22 aagf   故当 (1,e)x 时， 2( ) efx . „„„„„„ 14 分 20．（本小题满分 15 分） 解：（Ⅰ）由题意，得 2a  ， 1b  ， 则 221c a b   . „„„„„„ 2 分 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 5 页（共 7 页） 根据椭圆的对称性，知四边形 ABCD 是矩形. 设 0( 1, )Ay ， 0( 1,)By ， 0(1,)Cy ， 0(1,)Dy， 将 1x  代入椭圆方程得 2 0 1 2y  . „„„„„„ 3 分 所以四边形 的面积 0| | | | 2| | 2 2 2S AB AD y c    . „„„„„„ 5 分 （Ⅱ）设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，直线 1 ()l y k x m： ， „„„„„„ 6 分 联立 2 2 (), 1,2 y k x m x y   消去 y ，得 2 2 22 2(1 2 ) 422 0k x k mx k m  ， „„ 7 分 则 4 22 2 2164(1 2 )(22) 0k mk k m    ， 2 12 2 4 12 kmxx k ， 22 12 2 22 12 kmxx k   . „„„„„„ 8 分 所以 222 1 21 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x        „„„„„„ 9 分 2 2 2 2 2 1 8(1 2 ) 12 k k k m k      . 同理，得 2 2 2 2 2 1 8(1 2 )|| 12 k k k nCD k      . 由四边形 为平行四边形，得| | | |AB CD ，即得 22mn . 由题意知 mn ，所以 mn ，即 0mn. „„„„„„ 11 分 （Ⅲ）结论：四边形 不可能为矩形. „„„„„„ 12 分 由（Ⅱ）知 ,MN两点关于原点对称. 根据椭圆的对称性，可得 ,AC两点关于原点对称，故C 的坐标为 11( , )xy . 由题意，得 2 21 1 12 x y， 2 22 2 12 x y. „„„„„„ 13 分 于是， 22 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 1 2 1 AB BC y y y y y ykk x x x x x x         22 21 22 21 1 12(1 ) 2(1 ) 2 yy yy        . 所以 AB 不可能垂直于 BC . 所以四边形 不能为矩形. „„„„„„ 15 分 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 6 页（共 7 页） 21．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ） (1,1,1,1) ， (1,1, 2) ， (1,3) ，(2, 2) ， (4) . „„„„„„ 3 分 （Ⅱ）由题意，知 122 ka a a n ≤ ≤ ≤ ≤ ，且 12 ka a a n    ， 得 12 2kn a aa k    ≥ ，即 2 nk ≤ . „„„„„„ 5 分 所以当 n 是偶数时，k 的最大值是 2 n（此时， 2 (2,2,,2) k共有 个 是 的一个“正整数分拆”）； 当 是奇数时， 的最大值是 1 2 n  （此时， 12 (2,2, ,2,3) k共有 个 是 的一个“正整数分拆”）. „„„„„„ 8 分 （Ⅲ）当 为奇数时， 由题意，得 0nf  ；且 1 (1,1,,1) n共有 个 是 的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”， 所以 0ng  ，故 nnfg . „„„„„„ 9 分 当 为偶数时， 由 ()n 是各位数字均为偶数的“正整数分拆”， 是各位数字均为奇数的“正 整数分拆”，得 0nf  ， 0ng  . ① 当 2n  时， 的“正整数分拆”只有(1,1) 和 (2) ，所以 221fg； ② 当 4n  时，由（Ⅰ）知， 442fg； „„„„„„ 11 分 ③ 当 为大于 4 的偶数时， 因为对于 的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆” 12( , , , )ka a a ，都存在 一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆” 12 1 (1,1, ,1, 1, 1, , 1)k k a a a   共有 个 . 且当 不同时，其对应的 也不相同， 所以 nnfg≤ . 又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”(3, 3)n  不存在与之 对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为 6n≥ ，所以 有意义） 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 7 页（共 7 页） 所以 nnfg . 综上，对所有的正整数 n ， nnfg≤ ；当且仅当 2n  或 4 时等号成立. „„„ 14 分