北京八中高三学习质量自我检测(二) 2020.3.21
数学试题
一.选择题(本大题共 10 道小题，每道小题 4 分，共 40 分)
1.已知集合 A={x|-20, 那么命题¬p 为
≤0
4.设 a,b,c∈R,且 a0.
(I )若函数 f(x)的最小正周期为 2,求ω的值;
(II)若函数 f(x)在区间 上的最大值为 求ω的取值范围.
17. (本小题共 14 分)
为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共 336 名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的
跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生
中分别抽取 7 名和名学生进行测试.下表是高二年级的名学生的测试数据(单位:个/分钟) :
学生编号 1 2 3 4 5
5( 2)x − 3x
{ }na 1 2 31, 6,a a a= + = 6
3
S
S
=
2 2y px=
2 ,sin 3sina b C B= =
2( ) 3sin cos sin2 2 2
x x xf x
ω ω ω= +
0, 2
π
3 ,2跳绳个数 179 181 168 177 183
踢毽个数 85 78 79 72 80
(I )求高一、高二两个年级各有多少人?
(II)设某学生跳绳 m 个/分钟,踢毽 n 个/分钟.当 m≥175，且 n≥75 时，称该学生为“运动达人”.
①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率;
②从高二年级抽出的上述 5 名学生中,随机抽取 3 人，求抽取的 3 名学生中为“运动达人”的人数 ξ 的分布列和
数学期望.
18. (本小题共 14 分)
已知在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，△PAD 是正三角形，CD⊥平面 PAD，E、F、
G、O 分别是 PC、PD、BC、AD 的中点.
(I)求证:PO⊥平面 ABCD;
(II)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小;
(III) 线段 PA 上是否存在点 M，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 若存在，求线段 PM 的长度;若不存
在,说明理由.
19. (本小题共 14 分)
已知椭圆 C > 0)的两个焦点是 点 在椭圆 C 上，且
(I)求椭圆 C 的方程;
( II)设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，M 是椭圆 C 上一点，直线 MP 和 MQ 与 x 轴分别相交于点 E, F，O 为原
点.证明:| OE|·OF |为定值.
,6
π
2 2
2 2 1(x y a ba b
+ = > 1 2, ,F F ( 2,1)P 1 2| | | | 4.PF PF+ =20. (本小题共 15 分)
已知函数 f(x)=x·lnx.
(I )求曲线 y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(II)求 f(x)的单调区间;
(III) 若对于任意 都有 f(x)≤ax-1,求实数 a 的取值范围.
21. (本小题共 14 分)
已 知 由 个 正 整 数 构 成 的 集 合 , 记
对于任意不大于 的正整数 m，均存在集合 A 的一个子集，使得该子集的所有元素之
和等于 m.
(I)求 的值;
(II)求证:“ 成等差数列”的充要条件是“ ”
(III)若 求 n 的最小值，并指出 n 取最小值时 的最大值.
1[ , ],x ee
∈
*( )n n∈ N 1 2 1 2{ , , , }( , 3)n nA a a a a a a n= < < < ≥
1 2 ,A nS a a a= + + + AS
1 2,a a
1 2, , , na a a
( 1)
2A
n nS
+=
2020,AS = na
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