2020 届高考强基 3 套卷全国卷(一)
数学(理科)
[满分:150 分]
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 1}，则 A∩B=()
A.(-1,0]
2.已知 i 为虚数单位， 则|z|=()
B.1
3.区域经济变化影响着人口的流动，下图为过去某连续 5 年各省、自治区及直辖市(不含港澳台)人口增长统
计图.根据图中的信息，下面结论中不正确的是()
A.广东人口增量最多,天津增幅最高
B.黑龙江无论是增量还是增幅均居末尾
C.天津、北京、重庆和上海四大直辖市增幅均超过 5%
D.人口增量超过 200 万的省、自治区或直辖市共有 7 个
4.记正项等比数列 的前 n 项和为 若 4( 则 ()
C.16 D.32
5.某学校高中部准备在“五四”青年节举行主题为“成长、感恩、责任、梦想”的十八岁成人仪式，其中有一项
学生发言，现从 5 名男生干部、3 名女生干部中选取 3 人发言，则选取的 3 人中既有男生又有女生的概率为()
{ }na
2{ | 2 0}, { |A x x x B y y= − ≥ = > −
1.( 1,0] [ , )2B − ∪ +∞ 1.( 1, ]2C − 1.[ , )2D +∞
3
3
1 ,1
iz i
+= −
2. 2A 3. 2C 2 3. 3D
,nS 1 2 6
63) 3, ,4a a S+ = = 7a =
1. 256A 1. 128B
13. 56A 15. 56B 15. 28C 45.56D6.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书
中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的
表面积为
A. 16)π B.
C. 4)π D.
7.阶梯式电价是阶梯式递增电价或阶梯式累进电价的简称，也称为阶梯电价，是指把户均用电量设置为若千
个阶梯分段或分档次定价计算费用对居民用电实行阶梯式递增电价可以提高能源效率。通过分段电量可以实现细
分市场的差别定价，提高用电效率。电费定价如下表。
某地区阶梯式电价按月计算，若某用户 3 个月的总用电量为 720kW·h，则该用户可能要缴电费()
A.400 元 B.410 元 C.500 元 D.550 元
8.已知在菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，AC 与 BD 交于点 O，点 E,F 分别是线段 AO,DC 的中点，则 ()
9.已知下列命题:
①函数 y=sinx 的最小正周期是 π;
②函数 是指数函数;
③一次函数 y=x+1 的图象与 x 轴的交点坐标为(-1,0);
在 R 上是偶函数,也是增函数.
其中假命题的个数为()
A.4 B.3 C.2 D.1
10.已知底面边长为 2 的正四棱锥 S-ABCD 的各顶点均在球 O 的表面上，若球 O 的表面积为 则该正四
棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为()
A.1 B.2 D.2 或
11.设函数 则()
(8 5 4 2+ + (8 5 8 2 4)+ +
(8 5 4 2+ + (8 5 8 2 16)π+ +
CO =
2 4. 5 5A BE AF− 2 4. 5 5B BE AF− + 2 4. 7 7C BE AF− 2 4. 7 7D BE AF− +
32y x=
2(4) ( )f x x=
25 ,2
π
. 2C 1
2
( ) ( 1) cos ,kf x x k xπ= − ⋅A.当 k=2019 时，f(x)在 x=1 处取得极小值 B.当 k=2019 时，f(x)在 x=1 处取得极大值
C.当 k=2020 时，f(x)在 x=1 处取得极小值 D.当 k=2020 时，f(x)在 x=1 处取得极大值
12.已知双曲线 C ，其左、右焦点分别为 双曲线 C 上存在一点 P,使
则双曲线 C 的离心率的取值范围为()
A.[2,+∞) C.(1,2]
二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.
13.不等式组 表示的平面区域的面积为____
14.设 是椭圆 的左、右焦点,椭圆上一点 P 满足 ，则点 P 的横坐标为
____
15.已知等差数列 的前 n 项和为 若 ，则 _____
16.已知函数 f(x)=lnx 与函数 的图象在其公共点(p,0)处有公切线，令 h(x)=f(x)-g(x),则当 x∈
[2,5]时，函数 h(x)的最大值为_____.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必
须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且
(1)求角 B 的值;
(2)若△ABC 的面积为 设 D 为边 AC 的中点,求线段 BD 长的最小值
2 2
2 2: 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2, .F F
2 1
1 2
sin ,sin
PF F c
PF F a
∠ =∠
.(1 2, )B + +∞ .(1,1 2)D +
2 0
2 4 0 ,
2 0
x
x y
x y
− ≤
− + ≥
− − + ≤
1 2,F F
2 2
116 12
x y+ = 1 2| | | | 3,PF PF− =
{ }na ,nS 6 1515, 6,S S= = 11a =
2
( ) mx ng x x
+=
tan ( sin 2 cos ) cos .2 2 2 2
A C A Ca b a+ =
3 3,18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC，点 E 是 PC
的中点。
（1）求证：PA//平面 BDE；
（2）若直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30°，求二面角 C-PB-D 的大小。
19.(12 分)己知某产品有 2 件次品和 3 件正品不小心混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一
件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检
测费用(单位:元),求 X 的分布列和数学期望.
20.(12 分)设椭圆 >b>0)的左右顶点为 上下顶点为 菱形 的内切圆
的半径为 椭圆的离心率为
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设 M,N 是椭圆上关于原点对称的两点,椭圆上一点 P 满足|PM|=|PN|,试判断直线 PM,PN 与圆 的位置关
系，并证明你的结论.
2 2
2 2: 1(x yC aa b
+ = 1 2, ,A A 1 2, ,B B 1 1 2 2A B A B
C′ 2, 2 .2
C′21.(12 分)设函数 R，其中 a,b∈R.
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)若 f(x)存在极值点 且 其中 求证:
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
已知曲线 的极坐标方程为:ρ=4cosθ,以极点为坐标原点,以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线 的
参数方程为: (t 为参数).
(1)求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程;
(2)设曲线 与曲线 相交于 P,Q 两点，点 A(3,0),求|AP|+|AQ|的值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)解不等式 f(x)≤3;
(2)若函数 g(x)=|2x-2018-a|+|2x-2019|,若对于任意的 都存在. 使得 成立,求实数
a 的取值范围.
3( ) ( 1) ,f x x ax b x= − − − ∈
0 ,x 1 0( ) ( ),f x f x= 1 0 ,x x≠ 1 02 3.x x+ =
1C 2C
13 2
3
2
x t
y t
= −
=
1C 2C
1C 2C
1 ,x ∈ R 2 ,x ∈ R 1 2( ) ( )f x g x=
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