中考数学复习专题讲与练角与角平分线，平行线

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 角与角平分线 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1 把 15°30′化成度的形式，则 15°30′＝____度． 例 2 命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”） 例 3 已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 度.天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 4 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是 BD 上的一点，PE⊥BA 于点 E，PE=4㎝，则点 P 到边 BC 的距离为 ㎝. 练习一 角与角平分线 A 组 1．如图，表示下列各角： （1） （2） （3） 2．下列各图中有多少个小于 180 度的角？并把它们表示出来。 （1） （2） 3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个的是（ ） 4. 计算：① 57.3°=______°=______′； ②18°15′= ° ； ③ 33°52′+21°54′=__________； ④28°23′×2 － 6°2′= __________； ⑤ 90°—43°18′= __ ； ⑥360°÷7 ___ （精确到 分） 5.按图填空： 6.下列四个图形中 大于 的是（ ） E P D C B A A C D B ≈ 2∠ 1∠天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 7.如图，OC 平分∠AOB，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________° B 组 8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB，不写作法，保留作图痕迹。 结论： 9.尺规作图：已知∠AOB，求作∠AOB 的角平分线。不写作法，保留作图痕迹。 结论： 10. 的角平分线 AD 交 BC 于点 D， ， 则点 D 到 AB 的距离是（　　） A．1　 B．2 　　 C．3 　　　　 D．4 11. 已知：如图， 是 的角平分线，且 ，则 与 的 面积之比为（　　） A． B． C. D． D A CB Rt 90ABC C BAC∠ ∠在 △ 中， ＝ ， 2CD＝ AD ABC△ : 3 : 2AB AC = ABD△ ACD△ 3: 2 3 : 2 2:3 2 : 3天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 12．已知：如图，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD. 13.如图，已知直线 相交于点 ， 平分 ， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 14.如图，若 ， 与 分别相交于点 , 与 的平分线相交 于点 ，且 ， 度． 15.如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 =（ ） A．110° B．115° C．120° D．130° 16.如图，在△ABC 中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE∥BC. (1)求∠EDB 的度数； (2)求 DE 的长. A B CD AB CD， O OA EOC∠ 100EOC∠ =  BOD∠ 20 40 50 80 //AB CD EF AB CD、 E F、 EP EFD∠ P 60EFD∠ =  EP FP BEP⊥ ∠ =，则 ABCD EF 1 50∠ =  AEF∠天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 练习二 相交线与平行线 A 组 1. 若∠A＝50°30′，则它的余角度数为________________． 2. 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC 的度数。 3. 4.如图，直线 AB 与 CD 交于点 O ，OE⊥CD,OF⊥AB, ∠DOF=65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数。 5.如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行使，M、N 分别是位于公路 AB 两侧的村 庄. ⑴ 设汽车行使到公路 AB 上点 P 位置时，距离村庄 M 最近；行使到点 Q 位置时，距离村庄 N 最近.请你在图中公路 AB 上分别画出点 P、Q 的位置.（保留画图痕迹） ⑵ 当汽车从 A 出发向 B 行使时，在公路 AB 的哪一段上距离 M、N 两村都越来越近？在哪一 段上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远？（分别用文字语言表示你的结论，不必 证明）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ E D B C A 6．如右图， 中， ， ， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ， ，则 . 7．到平面上三点 A，B，C 距离相等的点（ ） A．只有一个 B．有二个 C．三个或三个以上 D．一个或没有 8．如果一个三角形的三边中垂线的交点恰好在三角形的一边上，则这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形 9．如图，已知直线 m∥n，A、B 为直线 n 上的两点，C、P 为直线上 m 的两点，(1) 请写出图 中面积相等的各对三角形: (2) 若 A、B、C 为三个定点，点 P 在直线 m 上移动， 无论 P 点移动到任何位置，总有与ΔABC 的面积相等， 理由是 . 10．如图，平行四边形 ABCD 中，P 为 AC 对角线上一点，PE∥BC 交 AB 于点 E，PF∥AB 交 AD 于点 F.若 =20(cm2), 则图中阴影部分的面积= (cm2). B 组 M N A B M N A BP Q m n A B C P ABC∆ 90C∠ =  30A∠ =  AB AC D AB E 6AC = CD = ABCDS天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 11.用三角尺和直尺过点 P 作直线 AB 的平行线 结论： 12.在下列三个图中，请用三角尺或和量角器过点 A 作直线 BD 的垂线 13.如图，在ΔABC 中，AB=AC=32，MN 是 AB 的垂直平分线，且有 BC=21，求ΔBCN 的周长。 14.一条公路两次转弯后又。回到原来的方向（即 ，如图）．如果第一次转弯时 的 。那么， 应是（ ） A． B． C． D． 15.如图， 中， ， 过点 且平行于 ，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 16．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 17.如图所示， ，∠E＝27°，∠C＝52°，则 的度数为( ) A．25° B．63° C．79° D．101° AB CD∥ 140B∠ = ° C∠ 140° 40° 100° 180° DC 140° BA Rt ABC△ 90ACB∠ = ° DE C AB 35BCE∠ = ° A∠ 35° 45° 55° 65° A B D C E AB CD∥ EAB∠天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 角与角平分线 例 1 【解析】15°30′=15°+错误！未找到引用源。=15．5°，故填 15.5 【方法指导】本题考查了角的单位：度分秒的换算。由高级单位变成低级单位乘以进率，由 低级单位变成高级单位除以进率。 例 2 【答案】假． 【解析】相等的角是对顶角不成立，是假命题. 【方法指导】判断一个命题真假，可以举反例，原命题与反例矛盾，说明原命题是假命题.天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3 如果两角互余，那么这两个角的和为 90°，所以∠A 的余角等于 90°－67°=23°. 例 4 答案：4 【详解】根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以为 4cm 练习一 角与角平分线 1.（1）∠AOB 或∠O；（2）∠ ；（3）∠1. 2.答案：（1）3 个，分别是：∠ (或∠AOB)、∠ （或∠BOC）、∠AOC； （2）7 个，分别是：∠A、∠ABD、∠DBC、∠C、∠CDB、∠BDA、∠CDA. 3. 答案：D 4.答案：① 57° 18′ ②18.25° ③55°46′ ④50°44′ ⑤46°42′ ⑥51°26′ 5.答案：∠AOC; ∠AOD;∠BOC;∠BOD. 6.答案：B 7.答案：84° 10 答案：B 11.答案：B 12.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC 至 E 使 CE=CD， 或在 AB 上截取 AF=AC. 证明：方法一（补短法）延长 AC 到 E，使 DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图 4-2 ∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E， 在△ABD 与△AED 中, ∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE. 又 AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC. 方法二（截长法） 在 AB 上截取 AF=AC，如图 4-3 在△AFD 与△ACD 中, α α β    = ∠=∠ ∠=∠ ADAD EB 21 E D CB A 1 2 图 4-2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴△AFD≌△ACD（SAS）, ∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD. 13.答案：C 14.答案：60 15.答案：B 16. ∴∠EDB=40°，DE=6cm. 练习二 相交线与平行线 1. 答案：39°30′（或 39.5°） 2. 答案：126°43′ 3.答案：C 4.答案： 5.答案： （1）如图。 （2）在 AP 段上距离 M、N 两村都越来越近，    = ∠=∠ = ADAD ACAF 21 OE CD,OF AB, 90 90 65 65 FOD DOB BOE DOB BOE FOD BOE ⊥ ⊥ ∴∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = ° ∴∠ = ∠ = ° ∠ ∠ ° ∴∠ = ° ∠ °  ， ， AOC= DOB=25 ， AOC=25 F D CB A 1 2 图 4-3 (1) 80 1 402 / / 40 (2) , / / 1 6 ,2 40 6 BD ABC ABC ABD DBC ABD DE BC EDB DBC AB BC ABD DBC AD DC DE BC AE BE AB cm ABD EDB DE BE cm ∠ ∠ = ° ∴∠ = ∠ = ∠ = ° ∴∠ = ∠ = ° = ∠ = ∠ ∴ = ∴ = = = ∠ = ∠ = ° ∴ = =      平分 ， ， 又 M N A BP Q天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 在 PQ 段上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远。 6．答案：CD=3 7．答案：A 8．答案：B 9．答案：(1)△CAB 和△PAB, △ACP 和△BCP (2)平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等。 10．答案：10 11. 12. 答案： 13.答案：A 14.答案：C 15．答案：A 16. 答案：A 17.答案：C , 32, 21, 53 MN AB NB NA AC BC BC BN NC BC AN NC BC AC ∴ = = = ∴ + + = + + = + =   垂直平分 又