中考数学复习专题讲与练几何综合题—轴对称为主的题型

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 几何综合题（轴对称为主的题型） 知识梳理　 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例 1 在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线． （1）如图 1，过 C 作 CE∥AD 交 BA 延长线于点 E，若 F 为 CE 的中点，连结 AF， 求证：AF⊥AD； （2）如图 2，M 为 BC 的中点，过 M 作 MN∥AD 交 AC 于点 N， 若 AB=4， AC=7，求 NC 的长． 例 2 在图-1 至图-3 中，点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段 CE 的中点．四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方形．AE 的中点是 M． （1）如图-1，点 E 在 AC 的延长线上，点 N 与点 G 重合时，点 M 与点 C 重合，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 求证：FM = MH，FM⊥MH； （2）将图-1 中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图-2， 求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图-2 中的 CE 缩短到图-3 的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？ （不必说明理由） 例 3 在△ABC 中， ， ，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线 段 PA 绕点 P 顺时针旋转 得到线段 PQ． （1）若 且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全 图形，并写出 的度数； （2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想 的大小（用含 的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的 ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能 图-1 A H C(M) D EB F G(N) G 图-2 A H C D E B F N M A HC D E 图-3 B F G M N BA BC= BAC α∠ = 2α 60α = ° CDB∠ CDB∠ α α天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 ，请直接写出 的范围． 例 4 问题：已知△ABC 中，∠BAC=2∠ACB，点 D 是△ABC 内的一点，且 AD=CD， BD=BA, 探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值. 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. (1) 当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图. 观察图形，AB 与 AC 的数量关系为_________； 当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为____________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为__________； (2) 当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与(1)中的结论 相同，写出你的猜想并加以证明. 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点． （1）如图(1)，若 AC 平分 ， =90°, 则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数 量关系为 ；（直接写出答案） （2）如图（2），AC 平分 ， EC 平分 ， 若 ，则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）如图（3），BD = 8，AB=2，DE=8， ，则线段 AE 长度的最大值是 ____________（直接写出答案）． PQ QD= α BAE∠ ACE∠ E DCB A 图（1） BAE∠ AED∠ 120ACE∠ = ° E DCB A 图（2） 135ACE∠ = °天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2. 在△ABC 中，已知 D 为直线 BC 上一点，若 . （1）当 D 为边 BC 上一点，并且 CD=CA， ， 时，则 AB _____ AC（填“=” 或“ ”）； （2）如果把（1）中的条件“CD=CA”变为“CD=AB”，且 的取值不变，那么（1） 中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由； （3）若 CD= CA =AB，请写出 y 与 x 的关系式及 x 的取值范围.（不写解答过程，直接写 出结果） 3. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB 于点 E． （1）如图 1，连接 EC，求证：△EBC 是等边三角形； （2）点 M 是线段 CD 上的一点（不与点 C，D 重合），以 BM 为一边，在 BM 的下方作∠ BMG=60°，MG 交 DE 延长线于点 G．请你在图 2 中画出完整图形，并直接写出 MD， DG 与 AD 之间的数量关系； （3）如图 3,点 N 是线段 AD 上的一点，以 BN 为一边，在 BN 的下方作∠BNG=60°，NG 交 DE 延长线于点 G．试探究 ND，DG 与 AD 数量之间的关系，并说明理由． 4. 已知正方形纸片 ABCD 的边长为 2． 操作：如图 1，将正方形纸片折叠，使顶点 A 落在边 CD 上的点 P 处（点 P 与 C、D 不重合）， D CB A D CB A E DCB A 图（3） ,ABC x BAD y∠ = ∠ =  40x = 30y = ≠ x,y天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 折痕为 EF，折叠后 AB 边落在 PQ 的位置，PQ 与 BC 交于点 G． 探究：（1）观察操作结果，找到一个与 相似的三角形，并证明你的结论； （2） 当点 P 位于 CD 中点时，你找到的三角形与 周长的比是多少（图 2 为备用图）？ 5. 直 线 CD 经 过 的 顶 点 C ， CA=CB ． E 、 F 分 别 是 直 线 CD 上 两 点 ， 且 ． （1）若直线 CD 经过 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： ①如图 1，若 ，则 （填“ ”， “ ”或“ ”号）； ②如图 2，若 ，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足 的关系是 ； （2）如图 3，若直线 CD 经过 的外部， ，请探究 EF、与 BE、AF 三条线 段的数量关系，并给予证明． B 档（提升精练） 1．在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC 上（不含点 B），∠BPE＝ ∠ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B 作 BF⊥PE，垂足为 F，交 AC 于点 G． （1） 当点 P 与点 C 重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE； （2）通过观察、测量、猜想： = ，并结合图②证明你的猜想； （3）把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α， 求 的值．（用含α的式子表示） 图2图1 D B A CGQ P F E D CB A BCA∠ BEC CFA α∠ = ∠ = ∠ BCA∠ EF BE AF− > < = 0 180BCA< ∠ D AC AB CD= E F、 BC AD、 EF BA G 60EFC∠ = ° GD AGD△ 图 1 图 2 备用图天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC= ，点 P 在△ABC 的内部． (1) 如图 1，AB=2AC，PB=3，点 M、N 分别在 AB、BC 边上，则 cos =_______， △PMN 周长的最小值为_______； (2) 如图 2，若条件 AB=2AC 不变，而 PA= ，PB= ，PC=1，求△ABC 的面积； (3) 若 PA= ，PB= ，PC= ，且 ，直接写出∠APB 的度数． 3．（1）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，M 是 AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系； （2）如图 2，若四边形 ABCD 是平行四边形， AB=2BC，M 是 AB 的中点，过 C 作 CE⊥ AD 与 AD 所在直线交于点 E． ①若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论； ②当 时，上述结论成立；当 时，上述结论不成 立． 4．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，直线 MN 经过点 O，设锐角∠DOC= ∠ ，将△DOC 以直线 MN 为对称轴翻折得到△D’OC’，直线 A D’、B C’相交于点 P． （1）当四边形 ABCD 是矩形时，如图 1，请猜想 A D’、B C’的数量关系以及∠APB 与 α α 2 10 m n k cos sink m nα α= = °