2020年高考理数考前20天终极冲刺攻略

6 月 29 日 概率 …………………………………………………………01 6 月 30 日 统计 ……………………………………………………………18 7 月 1 日 数系的扩充与复数的引入 ……………… ……………………38 7 月 2 日 算法初步…………………………………………………………47 7 月 3 日 推理与证明 ……………………………………………………63 目 录 / contents7 月 4 日 选修部分 ………………………………………………………711 时间：6 月 29 日 核心考点解读——概率 考 纲 解 读 里 的 I ， II 的含义如下： I ： 对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识. II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的 分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同) 随 机 事 件 的 概 率 （I ） 古典概型（II） 几何概型（I ） 离散型随机变量及其分布（II） 离散型随机变量的均值与方差（II） 条件概率及两个事件相互独立的概念（I ） 次独立重复试验及二项分布（II） 正态分布（I ） 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目若在选择题、填空题中出现，则主要考查古典 概型、几何概型、条件概率的计算；若在解答题中出现，则主要考查离散型随机变量及 其分布、期望与方差. 2.从考查内容来看，主要考查在古典概型或几何概型下求随机事件的概率，求条件概率， 通过互斥事件、对立事件考查等可能性事件的概率取值问题，利用正态曲线的对称性求 概率，确定离散型随机变量的分布状况，并利用其分布列求该随机变量的期望与方差， 体现了概率问题的实际应用状况. n2 3.从考查热点来看，概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查 随机事件的概率.解答题中常与统计知识相结合考查离散型随机变量的分布列与期望， 需注意知识的灵活运用. 1.随机事件的概率 (1)概率与频率：理解概率与频率的关系.知道频率是指在 n 次重复试验下，某事件 A 出现 的次数与试验次数的比值，其随着试验次数的改变而改变.概率是指对于给定的随机事 件，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某一个常数附近，这个常数称为 事件 A 发生的概率.频率值随着试验次数的变化而变化，概率值则是一个常数，当试验 次数越多时，频率值越接近于概率值，此时可以把频率近似地看做概率. (2)互斥事件与对立事件：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，即两个事 件是对立事件，则它们肯定是互斥事件，反过来，当两个事件是互斥事件时，这两个 事件不一定是对立事件. (3)随机事件的概率的性质及其求解方法 性质： .若事件的概率为 1，则该事件是必然事件；若事件的概率为 0，则该 事件是不可能事件；若事件的概率为 ，则该事件是随机事件. 随机事件概率的求法： (i)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率的加法公式求解概率； (ii)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立 面的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即利用“正难则反”的思想. 2.古典概型与几何概型 (1)古典概型：(i)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(ii)每个基本事件出现的可 能性相等. 古典概型的概率计算公式： . 0 1p≤ ≤ 0 1p< < ( ) AP A = 包含的基本事件的个数 基本事件的总数3 (2)几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例. 特点：(i)一次实验的基本事件数是无限的；(ii)每个基本事件发生的可能性是相等的. 几何概型的概率计算公式： . (3)异同点：共同点是基本事件的发生是等可能的，不同点是古典概型有有限个基本事件， 几何概型有无限个基本事件. 3.离散型随机变量及其分布 (1)求离散型随机变量的分布列的一般步骤：首先明确随机变量的所有可能取值，其次利 用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率，最后按规范写出分布列，并用分 布列的性质验证. … … … … (2)常见的离散型随机变量的概率分布模型：两点分布、超几何分布、二项分布. 4.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值（或数学期望）：反映离散型随机变量取值的平均水平. 计算方法： . 性质： . (2)方差：刻画了随机变量 与其期望 的平均偏离程度. 计算方法： . ( ) AP A = 构成事件 的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积） ξ 1x 2x ix nx P 1p 2p ip np 1 1 2 2( ) i i n nE x p x p x p x pξ = + + + + +  ( ) ( )E a b aE bξ ξ+ = + ξ ( )E ξ 2 1 ( ) ( ( )) n i i i D x E pξ ξ = = − ⋅∑4 性质： ， . (3)若随机变量 服从二项分布，即 . 则事件 A 恰好发生 次的概率为 ， . 其期望为 ；其方差为 . (4)若随机变量 服从正态分布，则表示为 . 正态分布的三个常用数据： ； ； . 5.条件概率与相互独立事件的概率 (1)条件概率：设 A,B 为两个事件，且 ，称 为在事件 A 发生 的条件下，事件 B 发生的条件概率. (2)事件的相互独立性：设 A,B 为两个事件，若 ，则称事件 A 与事件 B 相互独立. 若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也相互独立. 1．（2018 新课标全国卷Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30 的素数中，随 机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 2( ) ( )D a b a Dξ ξ+ = ( ) ( )2 2( )D E Eξ ξ ξ= − ξ ( , )B n pξ  k ( ) C (1 )k k n k nP k p pξ −= = − 0,1,2, ,k n= ⋅⋅⋅ ( )E npξ = ( ) (1 )D np pξ = − X 2( , )X N µ σ ( ) 0.682 6P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.954 4P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.997 4P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( ) 0P A > ( )( | ) ( ) P ABP B A P A = ( ) ( ) ( )P AB P A P B= B A A B 30 7 23= +5 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个， 随机选取两个不同的数，共有C210 = 45种方法， 因为7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17 = 30，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法， 故所求概率为 ，选 C. 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的 基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元 素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限 制条件较多且元素数目较多的题目. 2．(2018 新课标全国卷Ⅲ理科)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独 立，设 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【答案】B 【解析】∵ ，∴ 或 ， ， ，可知 ，故 . 故选 B. 1 12 1 14 1 15 1 18 3 1=45 15 p X 2.4DX = ( ) ( )4 6P X P X= < = p = ( ) ( )1D X np p= − 0.4p = 0.6p = ( ) ( ) ( ) ( )6 44 4 6 6 10 104 C 1 6 C 1P X p p P X p p= = − < = = − ( )2 21 p p∴ − < 0.5p > 0.6p =6 3．（2018 新课标全国卷Ⅰ理科）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构 成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC． 的三边所围成的区 域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概 率分别记为 p1，p2，p3，则 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 【答案】A 【解析】设퐴퐶 = 푏,퐴퐵 = 푐,퐵퐶 = 푎，则有푏2 + 푐2 = 푎2，从而可以求得Δ퐴퐵퐶的面积为푆1 = 1 2푏푐，黑色部分的 面积为 ，其余部分的面积为 ，所以有 ， 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到푝1 = 푝2，故选 A. 4．（2017 新课标全国卷Ⅰ理科）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的 黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率 是 A． B． ABC△ 2 2 2 2 1π π π2 2 2 2 c b aS bc       = ⋅ + ⋅ − ⋅ −              2 2 2 2 2 21π π4 4 4 2 4 c b a c b abc   + −= + − + = ⋅   1 1 2 2bc bc+ = 2 2 3 1 π 1π 2 2 4 2 a aS bc bc = ⋅ − = −   1 2S S= 1 4 π 87 C． D． 【答案】B 【解析】设正方形边长为 ，则圆的半径为 ，正方形的面积为 ，圆的面积为 .由图形的对称性 可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色 部分的概率是 ，选 B． 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概 率 满足 ，故选 B． 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体 积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量，最后计算 . 5.（2016 新课标全国卷Ⅰ理科）某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车 站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，这是几何概型问题，班车每 30 分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为 40，等车 不超过 10 分钟的时间长度为 20，故所求概率为 ，选 B. 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、 面积、体积等. 6.（2015 新课标全国卷Ⅰ理科）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投 篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 1 2 π 4 a 2 a 2a 2π 4 a 2 2 1 π π2 4 8 a a ⋅ = p 1 1 4 2p< < ( )P A 1 3 1 2 2 3 3 4 20 1 40 2 =8 A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 =0.648，故选 A. 【名师点睛】解答本题时，先想到所求事件是恰好中 3 次与恰好中 2 次两个互斥事件的和，而这两个事件 又是试验 3 次恰好分别发生 3 次和 2 次的独立重复试验，本题很好地考查了学生对独立重复试验和互斥 事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解答本题的 关键. 7．(2018 新课标全国卷Ⅰ理科)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前 要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验， 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ， 且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ． （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每 件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费 用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【解析】（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 .因此 . 令 ，得 . 2 2 3 3C 0.6 0.4 0.6× + )10( (0.1,1)p∈ ( ) 0f p′ < ( )f p 0 0.1p = 0.1p = Y (180,0.1)Y B 20 2 25X Y= × + 40 25X Y= + (40 25 ) 40 25 490EX E Y EY= + = + = 400EX > X ( ) 2 16200 0.290P X += = = ( ) 36300 0.490P X = = = ( ) 25 7 4500 0.490P X + += = = X10 0.2 0.4 0.4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 . 当 时， 若最高气温不低于25，则 ； 若最高气温位于区间 ，则 ； 若最高气温低于20，则 ； 因此 . 当 时， 若最高气温不低于20，则 ； 若最高气温低于20，则 . 因此 . 所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元. 【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量 X 的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的 概率分布——两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是 pi≥0(i＝1,2，…)；二是 p1＋p2＋… ＋pn＝1 检验分布列的正误. 9．（2017 新课标全国卷Ⅰ理科）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随 机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下 生产的零件的尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数， 求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一 X 200 300 500 P 200 500n≤ ≤ 300 500n≤ ≤ 6 4 2Y n n n= − = [ )20,25 ( )6 300 2 300 4 1200 2Y n n n= × + − − = − ( )6 200 2 200 4 800 2Y n n n= × + − − = − ( ) ( )2 0.4 1200 2 0.4 800 2 0.2 640 0.4EY n n n n= × + − × + − × = − 200 300n 50%，所以超过了经 济收入的一半，所以 D 正确； 故选 A. 2．（2017 新课标全国卷 III 理科）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．26 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】观察折线图，每年 7 月到 8 月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项 A 说法错误； 折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，选项 B 说法正确； 每年的接待游客量 7,8 月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月，选项 C 说法正确； 每年 1 月至 6 月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7 月至 12 月折线图不平稳，月接待游客量 波动性大，选项 D 说法正确. 故选 A. 【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称 这条折线为本组数据的频率分布折线图，频率分布折线图的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸 半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，它们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规 律. 3.（2016 新课标全国卷 III 理科）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高 气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 C，B 点表示四月的平均最低气 温约为 5 C.下面叙述不正确的是  27 A．各月的平均最低气温都在 0 C 以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 20 C 的月份有 5 个 【答案】D 【解析】由题图可知各月的平均最低气温都在 0 C 以上，A 正确；由题图可知七月的平均温差大于 7.5 C，而一月的平均温差小于 7.5 C，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由题图可知 三月和十一月的平均最高气温都大约在 10 C，基本相同，C 正确；由题图可知平均最高气温高于 20℃ 的月份有 3 个，所以不正确．故选 D． 【名师点睛】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两 把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选 B． 4.（2015 新课标全国卷 II 理科）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱 形图.以下结论中不正确的是      28 A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故 选 D． 【名师点睛】本题以实际背景考查回归分析中的正、负相关，利用增长趋势或下降趋势理解正负相关的概 念是解题关键，属于基础题． 5．(2018 新课标全国卷Ⅱ理科)下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折 线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据 2010 年 至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． y y t t 1 2 17， ，… ， ˆ 30.4 13.5y t= − + t 1 2 7， ，… ， ˆ 99 17.5y t= +29 【解析】（1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)． 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上 下．这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变 化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位 于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额 的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ⅱ）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更 可靠． 6．(2018 年高考新课标卷Ⅲ理科)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的 两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人.第 一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位： min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； ˆ 30.4 13.5 19 226.1y = − + × = ˆ 99 17.5 9 256.5y = + × = 30.4 13.5y t= − + ˆ 99 17.5y t= +30 （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： ， 【解析】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟， 用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的 效率更高. （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种 生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产 方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致 呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生 产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方 式的效率更高. m m m m m ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2P K k≥ 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.82831 以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知 . 列联表如下： 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 （3）由于 ， 所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 7．（2017 新课标全国卷 II 理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各 随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法 的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 79 81 802m += = m m 2 2 40(15 15 5 5) 10 6.63520 20 20 20K × − ×= = >× × ×32 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）． 附： ， 【解析】（1）记 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 ”， 表示事件“新养殖法的箱产量不低 于 ”，由题意知 ， 旧养殖法的箱产量低于 的频率为 ， 故 的估计值为 0.62． 新养殖法的箱产量不低于 的频率为 ， 故 的估计值为 0.66． 因此，事件 A 的概率估计值为 ． （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表： 箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 的观测值 ， 由于 ，故有 的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 的直方图面积为 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + B 50kg C 50kg ( ) ( ) ( ) ( )P A P BC P B P C= = 50kg ( )0.012 0.014 0.024 0.034 0.040 5 0.62+ + + + × = ( )P B 50kg ( )0.068 0.046 0.010 0.008 5 0.66+ + + × = ( )P C 0.62 0.66 0.4092× = 50kg< 50kg≥ 2K ( )2200 62 66 34 38 15.705100 100 96 104k × × − ×= ≈× × × 15.705 6.635> 99% 50kg33 ， 箱产量低于 的直方图面积为 ， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ． 【名师点睛】（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独 立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观 测值 值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大． （2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横 坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重 心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 8.（2016 新课标全国卷 III 理科）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的 折线图. （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据： ， ， ， ≈2.646. ( )0.004 0.020 0.044 5 0.34 0.5+ + × = < 55kg ( )0.004 0.020 0.044 0.068 5 0.68 0.5+ + + × = > 0.5 0.3450 52.35(kg)0.068 −+ ≈ k 7 1 9.32i i y = =∑ 7 1 40.17i i i t y = =∑ 7 2 1 ( ) 0.55i i y y = − =∑ 734 参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 【解析】（I）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ， ， ， . 因为 与 的相关系数近似为 0.99，说明 与 的线性相关相当高，从 而可以用线性回归模型拟合 与 的关系. （II）由 及（I）得 ， . 所以， 关于 的回归方程为： . 将 2016 年对应的 代入回归方程得： . 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判 断；（2）将相关数据代入相关系数 公式求出 ，然后根据 的大小进行判断．求线性回归方程时要 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i t t y y r t t y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ，  y a bt= +  1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i t t y y b t t ，= = − − = − ∑ ∑  = .a y bt−  4t = 7 2 1 ( ) 28i i t t = − =∑ 7 2 1 ( ) 0.55i i y y = − =∑ 7 7 7 1 1 1 ( )( ) 40.17 4 9.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y = = = − − = − = − × =∑ ∑ ∑ 99.0646.2255.0 89.2 ≈××≈r y t y t y t 9.32 1.3317y = ≈ 7 1 7 2 1 ( )( ) 2.89ˆ 0.10328( ) i i i i i t t y y b t t = = − − = = ≈ − ∑ ∑ ˆˆ 1.331 0.103 4 0.92a y bt= − ≈ − × ≈ y t ty 10.092.0ˆ += 9=t 82.1910.092.0ˆ =×+=y r r r35 严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性． 9.（2015 新课标全国卷 II 理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值 及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互 独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率． 【解析】（I）两地区用户满意度评分的茎叶图如下36 通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用 户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （II）记 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； 表示事件：“B 地区用户的满意度的等级为不满意”； 表示事件：“B 地区用户的满意度的等级为满意”． 则 与 独立， 与 独立， 与 互斥， ． ． 由所给数据得 ， ， ， 发生的频率分别为 ， ， ， ．故 ， ， ， ，故 ． 【名师点睛】本题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶图的密集程度比较平均值大小，如果密 集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大．读懂所求概率事件 包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率． 10．（2015 新课标全国卷Ⅰ理科）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单 位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 和年销售 量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. ix ( )1,2, ,8iy i =  A1C A2C B1C B2C A1C B1C A2C B2C B1C B2C B1 A1 B2 A2C C C C C=  B1 A1 B2 A2( ) ( )P C P C C C C=  B1 A1 B2 A2( ) ( )P C C P C C= + B1 A1 B2 A2( ) ( ) ( ) ( )P C P C P C P C= + A1C A2C B1C B2C 16 20 4 20 10 20 8 20 A1( )P C 16= 20 A2( )=P C 4 20 B1( )=P C 10 20 B2( )P C 8= 20 10 16 8 4( )= + 0.4820 20 20 20P C × × =37 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 = ， = ． （I）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；[来源:Z.Com] （III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题： （i）年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 , ，…， ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估 计分别为： ， . 【解析】（I）由散点图可以判断， 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型. （II）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 = =68， ∴ =563−68×6.8=100.6， ∴ 关于 的线性回归方程为 ， 8 2 1 ( )i i x x = −∑ 8 2 1 ( )i i w w = −∑ 8 1 ( )( )i i i x x y y = − −∑ 8 1 ( )( )i i i w w y y = − −∑ iw ix 1 8 8 1 i i w = ∑ y a bx= + y c d x= + 0.2z y x= − x 1 1( , )u v 2 2( , )u v ( , )n nu v v uα β= +  1 2 1 ( )( ) = ( ) n i i i n i i u u v v u u β = = − − − ∑ ∑  =v uα β− w x= y w  8 1 8 2 1 ( )( ) ( ) i i i i i w w y y d w w = = − − = − ∑ ∑ c y dw= − y w  100.6 68y w= + x y w w 49x = y c d x= + y x 108.8 1.638 因此 关于 的回归方程为 . （III）(ⅰ)由（II）知，当 =49 时，年销售量 的预报值 =576.6， 年利润 z 的预报值为 . （ⅱ）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值 ， 所以当 ，即 时， 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大. 【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答 非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将 非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根 据线性回归方程的计算方法计 算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算 要细心，避免计算错误. 1．（【校级联考】河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学）经调查，某市骑行共 享单车的老年人、中年人、青年人的比例为 1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调 查，其中中年人为 12 人，则 n= A．30 B．40 C．60 D．80 2．（【市级联考】四川省内江、眉山、广安、资阳、遂宁等六市 2019 届高三第二次诊断性考试数学）空 气质量指数 AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如表所示： AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300 以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 y x  100.6 68y x= + x y  100.6 68 49y = + 576.6 0.2 49 66.32z = × − = ˆ 0.2(100.6 68 ) 13.6 20.12z x x x x= + − = − + + 13.6 6.82x = = 46.24x = ˆz39 如图是某城市 2018 年 12 月全月的 AQI 指数变化统计图： 根据统计图判断，下列结论正确的是 A．整体上看，这个月的空气质量越来越差 B．整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量 C．从 AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D．从 AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 3．（【市级联考】山西省晋城市 2019 届高三第二次模拟考试数学）某省确定从 2021 年开始，高考采用 “3 + 1 + 2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史 中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级 2000 名学生（其中女生 900 人）中，采用分层抽样的方法抽取푛名学生进行调查. （1）已知抽取的푛名学生中含男生 110 人，求푛的值及抽取到的女生人数； （2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课 情况，对在（1）的条件下抽取到的 n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个 科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的2 × 2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否 有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；40 （3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取 6 人，再从这 6 名学生中抽取 2 人，对“物理”的选课意向作深入了解，求 2 人中至少有 1 名女生的概率. 附：퐾2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)，其中푛 = 푎 + 푏 + 푐 + 푑. 4．（【市级联考】江西省景德镇市 2019 届高三第二次质检）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金 额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前 5 天抽奖活动的人数进行统计，푦表示第푥天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下： 푥 1 2 3 4 5 푦 50 60 70 80 100 经过进一步统计分析，发现푦与푥具有线性相关关系. （1）若从这 5 天中随机抽取 2 天，求至少有 1 天参加抽奖的人数超过 70 的概率； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出푦关于푥的线性回归方程푦 = 푏푥 + 푎，并估计该活动持续 7 天，共有多少名顾客参加抽奖？ 参考公式及数据： ，푎 = 푦 ― 푏푥， ， . 1．在一次数学测试中,唐老师对班上 7 名同学（记为 …,7）第 20 题（满分 12 分）和第 21 题（满 分 12 分）的得分情况进行统计,得分比（学生得分与满分的比值）如下图所示,其中第 20 题的得分比为 图中虚线部分,第 21 题的得分比为图中实线部分.记第 20 题,第 21 题的平均得分分别为 ,第 20 题,第 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nx y b x nx = = − = − ∑ ∑ 5 1 ˆ, 1200i i x y = =∑ 5 2 1 55i i x = =∑ , 1,2,iG i = 1 2,x x41 21 题得分的标准差分别为 ,则 A． B． C． D． 2．为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了 500 名学生 的数学考试成绩，统计如下表所示： 成绩 人数 30 120 210 100 40 （1）计算各组成绩的频率，并填写在表中； 成绩 人数 30 120 210 100 40 频率 （2）已知本次质检数学测试的成绩 ，其中 近似为样本的平均数， 近似为样本方 差 ，若该省有 10 万考生，试估计数学成绩在 的人数；（以各组区间的中点值代表该组的 取值） （3）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取 4 人，记这 4 人中成绩在 的人数为 ， 求 的分布列以及数学期望. 1 2,s s 1 2 1 2,x x s s> > 1 2 1 2,x x s s< > 1 2 1 2,x x s s> < 1 2 1 2,x x s s< < X [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125] Y X [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125] Y 2( , )X N µ σ µ 2σ 2s (110,120] [105,115) ξ ξ42 参考数据：若 ，则 ， ， . 名校预测 1．【答案】B 【解析】由题设老年人和青年人的人数分别为 x,y, 由分层抽样得 x:12:y=1:3:6,解得 x=4,y=24, 则 n=4+12+24=40. 故选 B． 2．【答案】C 【解析】从整体上看，这个月 AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好，故 A，B 不正确； 从 AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于 后半个月的方差，所以 C 正确； 从 AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故 D 不 正确． 故选 C． 3．【解析】（1）因为 푛 2000 = 110 1100，所以푛 = 200， 则抽取到的女生人数为200 ― 110 = 90. （2）补充完整的列联表如下： 2( , )Z N µ σ ( ) 0.6826P Zµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2P Zµ σ− < ≤ 2 ) 0.9544µ σ+ = ( 3 3 ) 0.9974P Zµ σ µ σ− < ≤ + =43 计算得퐾2的观测值푘 = 200 × (60 × 60 ― 50 × 30)2 110 × 90 × 90 × 110 ≈ 8.999 > 7.879， 所以有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关. （3）从 90 名选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽取 6 名， 这 6 名学生中有 4 名男生，记为푎、푏、푐、푑；2 名女生记为퐴、B， 抽取2人的所有情况为： (a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,A)、(a,B)、(b,c)、(b,d)、(b,A)、(b,B)、(c,d)、(c,A)、(c,퐵)、 (푑,퐴)、(푑,퐵)、(퐴,퐵)，共 15 种， 选取的 2 人中至少有 1 名女生的情况有(푎,퐴)、(푎,퐵)、(푏,퐴)、(푏,퐵)、(푐,퐴)、(푐,퐵)、(푑,퐴)、(푑,퐵)、(퐴,퐵)， 共 9 种， 故所求概率为푃 = 9 15 = 3 5. 4．【解析】（1）设第푖天的人数为푦푖(푖 = 1,2,3,4,5)，从这 5 天中随机抽取 2 天的情况为： (푦1,푦2)，(푦1,푦3)，(푦1,푦4)，(푦1,푦5)，(푦2,푦3)，(푦2,푦4)，(푦2,푦5)，(푦3,푦4)，(푦3,푦5)，(푦4,푦5)， 共 10 种结果； 这 5 天中只有第 4，5 天的人数超过 70，则至少有 1 天参加抽奖的人数超过 70 的情况为：(푦1,푦4)， (푦1,푦5)，(푦2,푦4)，(푦2,푦5)，(푦3,푦4)，(푦3,푦5)，(푦4,푦5)，共 7 种结果， 则所求事件的概率为푃 = 7 10. （2）依题意 ， ， ， ， 1 2 3 4 5 35x + + + += = 50 60 70 80 100 725y + + + += = 5 1 1200i i i x y = =∑ 5 2 1 55i i x = =∑44 ， 则푎 = 72 ― 12 × 3 = 36， ∴ 푦 = 12푥 + 36， 当푥 = 6时，푦 = 108；当푥 = 7时，푦 = 120， 则此次活动参加抽奖的人数约为50 + 60 + 70 + 80 + 100 + 108 + 120 = 588. ∴ 线性回归方程为푦 = 12푥 + 36，若该活动持续 7 天，共有 588 名顾客参加抽奖. 专家押题 1．【答案】C 【解析】第 20 题,第 21 题的满分分值相同,由题图可知,7 名同学第 20 题的得分比均高于第 21 题的得分 比,所以第 20 题的平均得分高于第 21 题的平均得分,故 ;又由题图可知,第 20 题的得分比离散程度 相对较小,所以第 20 题得分的标准差小于第 21 题得分的标准差,故 .故选 C. 2．【解析】（1）填表如下： 成绩 人数 30 120 210 100 40 频率 0.06 0.24 0.42 0.2 0.08 （2）依题意， ， 故 ， 故 ，故 ， 故所求人数为 (人). 2 1200 5 3 72 125 5 3 ˆ 5b − × ×∴ = =− × 1 2x x> 1 2s s< X [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125] Y 80 0.06 90 0.24 100 0.42 110 0.2 120 0.08 100xµ = = × + × + × + × + × = 2 2 400 0.06 100 0.24 0 0.42 100 0.2 400 0.08 100sσ = = × + × + × + × + × = 2(100,10 )X N 0.9544 0.6826(110 120) 0.13592P X −< ≤ = = 0.1359 100000 13590=×45 （3）依题意，任取 1 人，成绩在 的概率为 ， ， ， ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 故 . [105,115) 1 5 1(4, )5Bξ  44 256( 0) ( )5 625P ξ = = = 1 3 4 1 4 256( 1) C ( )5 5 625P ξ = = × × = 2 2 2 4 1 4 96( 2) C ( ) ( )5 5 625P ξ = = × = 3 3 4 1 4 16( 3) C ( )5 5 625P ξ = = × × = 41 1( 4) ( )5 625P ξ = = = ξ ξ P 256 625 256 625 96 625 16 625 1 625 1 44 5 5Eξ = × =46 时间：7 月 1 日 核心考点解读——数系的扩充与复数的引入 复数的有关概念（II） 复数的代数表示法及几何意义（I） 复数的四则运算（II） 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要在选择题、填空题中，考查复数的概念、 模、几何意义及复数代数形式的四则运算. 2.从考查内容来看，主要考查复数的几何意义的理解，复数的模的表示以及复数代数形 式的四则运算. 3.从考查热点来看，复数代数形式的四则运算是高考命题的热点，以复数的四则运算法 则为依据，对复数的加、减、乘、除进行求值计算. 1.数系的扩充 数系的扩充：自然数集 ，整数集 ，有理数集 ，实数集 ，复数集 ，其从属N Z Q R C47 关系用集合来表示为 . 2.复数的有关概念 (1)复数的表示： ， ：复数的实部； ：复数的虚部； ：虚数 单位，规定： . (2)复数的分类：若 ，则复数为实数；若 ，则复数为虚数；若 ， 则复数为纯虚数. (3)复数相等：若 ，则 . (4) 共 轭 复 数 ： 若 与 互 为 共 轭 复 数 ， 则 .记作 . (5)复数的模：若 ，则复数的模为 . (6)复数的几何意义： 与复平面上的点 一一对应；与向量 一一对应. 3.复数代数形式的四则运算 (1)设 ， ，则 ， ， ， . N Z Q R C    1 i( , )z a b a b= + ∈R a b i 2i 1= − 0b = 0b ≠ 0, 0a b= ≠ i i( , , , )a b c d a b c d+ = + ∈R ,a c b d= = 1 i( , )z a b a b= + ∈R 2 i( , )z c d c d= + ∈R ,a c b d= = − 2 1z z= 1 i( , )z a b a b= + ∈R 2 2iz a b a b= + = + 1 i( , )z a b a b= + ∈R ( , )Z a b ( , )OZ a b= 1 i( , )z a b a b= + ∈R 2 i( , )z c d c d= + ∈R 1 2 ( i) ( i) ( ) ( )iz z a b c d a c b d+ = + + + = + + + 1 2 ( i) ( i) ( ) ( )iz z a b c d a c b d− = + − + = − + − 1 2 ( i) ( i) ( ) ( )iz z a b c d ac bd ad bc⋅ = + ⋅ + = − + + 1 2 2 2 i ( i)( i) ( )i i ( i)( i) z a b a b c d ac bd bc ad z c d c d c d c d + + − + + −= = =+ + − +48 (2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数 化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简. (3)几个常见的复数运算的技巧： ； ； ； ； 若 ，则 . (4)注意复数代数形式的四则运算与复数几何意义的综合应用. 1．（2018 新课标全国卷Ⅰ理科）设 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，则 .故选 C. 【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理 解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数 的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.利用复数的除 法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，然后求解复数的模. 4 4 1 4 2 4 3i 1,i i i 1,i i( )k k k k k+ + += = = − = − ∈N， 2 2(1 i) 2i,(1 i) 2i+ = − = − 1 i 1 ii, i1 i 1 i + −= = −− + 22z z z z= = ⋅ 1 3 i2 2w = − + 3 21,1 0w w w= + + = 1 i 2i1 iz −= ++ z = 0 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) 1 i 1 i1 i 2i 2i1 i 1 i 1 iz − −−= + = ++ − + i 2i i= − + = 1z = z49 2．（2018 新课标全国卷Ⅲ理科） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 .故选 D. 【名师点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.由复数的乘法运算展开即可. 3．（2018 新课标全国卷 II 理科） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 故选 D. 【名师点睛】本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.根据复数除法法则化简复数，即得结果. 4．（2017 新课标全国卷Ⅰ理科）设有下面四个命题 ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 . 其中的真命题为 ( )( )1 i 2 i+ − = 3 i− − 3 i− + 3 i− 3 i+ ( )( ) 21 i 2 i 2 i 2i i 3 i+ − = − + − = + 1 2i 1 2i + =− 4 3 i5 5 − − 4 3 i5 5 − + 3 4 i5 5 − − 3 4 i5 5 − + ( )21 2i1 2i 3 4i ,1 2i 5 5 ++ − += =− 1p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 1 2,z z 1 2z z ∈R 1 2z z= 4p z ∈R z ∈R50 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，则由 得 ，所以 ，故 正确； 当 时，因为 ，而 知，故 不正确； 当 时，满足 ，但 ，故 不正确； 对于 ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确， 故选 B. 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成 的形式 进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可. 5．（2017 新课标全国卷 II 理科） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数除法的运算法则有： ，故选 D． 【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复 数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若 z1，z2 互为共轭复数，则 z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分 母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 6．（2017 新课标全国卷Ⅲ理科）设复数 z 满足(1+i)z=2i，则∣z∣= 1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p i( , )z a b a b= + ∈R 2 2 1 1 i i a b z a b a b −= = ∈+ + R 0b = z ∈R 1p iz = 2 2i 1z = = − ∈R iz = ∉R 2p 1 2 iz z= = 1 2 1z z⋅ = − ∈R 1 2z z≠ 3p 4p 4p i( , )z a b a b= + ∈R 3 i 1 i + =+ 1 2i+ 1 2i− 2 i+ 2 i− ( )( )3+i 1 i3 i 2 i1 i 2 −+ = = −+51 A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题意可得 ，由复数求模的法则可得 ，则 . 故选 C. 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 7．（2016 新课标全国卷Ⅰ理科）设 ，其中 x，y 是实数，则 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为 所以 1 2 2 2 2 2i 1 iz = + 11 2 1 zz z z = 2i 2 21 i 2 z = = =+ 1 2 1 2z z z z± = ± 1 2 1 2z z z z× = × 2 2z z z z⋅ = = 1 2 1 2 1 2z z z z z z− ≤ ± ≤ + 1 2 1 2z z z z= × 11 2 1 zz z z = (1 i) 1 ix y+ = + i =x y+ 2 3 (1 i) =1+ i,x y+ i=1+ i, =1, 1, | i | =|1+i | 2,x x y x y x x y+ = = + =所以 故52 故选 B. 【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高 的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大, 但容易出现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 8．（2016 新课标全国卷 II 理科）已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的 取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使复数 对应的点在第四象限,应满足 ，解得 ，故选 A. 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只 需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． 复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 . 9．（2016 新课标全国卷Ⅲ理科）若 z=1+2i，则 A．1 B．−1 C．i D．−i 【答案】C 【解析】 ，故选 C． 2i 1= − ( 3) ( 1)iz m m= + + − ( 31)− ， ( 13)− ， (1, )∞+ ( 3)∞ −- ， z 3 0 1 0 m m + >  − 1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000 和 n=n+1 B．A>1 000 和 n=n+2 C．A 1 000 和 n=n+1 D．A 1 000 和 n=n+2 1i i= + 2i i= + 3i i= + 4i i= + 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − + + −… ≤ ≤63 【答案】D 【解析】由题意，因为 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 ，故 填 ，又要求 为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填 . 故选 D. 【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本 题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判 断可以根据选项排除. 3．（2017 新课标全国卷 II 理科）执行下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】阅读程序框图，初始化数值 ． 循环结果执行如下： 第一次： ； 3 2 1000n n− > 1000A > 1000A ≤ n 2n n= + 1a = − S = 1, 1, 0a K S= − = = 0 1 1, 1, 2S a K= − = − = =64 第二次： ； 第三次： ； 第四次： ； 第五次： ； 第六次： ； 结束循环，输出 ．故选 B． 【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： ①要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构； ②要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题； ③按照题目的要求完成解答并验证． 4．（2017 新课标全国卷Ⅲ理科）执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最 小值为 A．5 B．4 1 2 1, 1, 3S a K= − + = = − = 1 3 2, 1, 4S a K= − = − = = 2 4 2, 1, 5S a K= − + = = − = 2 5 3, 1, 6S a K= − = − = = 3 6 3, 1, 7S a K= − + = = − = 3S =65 C．3 D．2 【答案】D 【解析】阅读程序框图，程序运行如下： 首先初始化数值： ，然后进入循环体： 此时应满足 ，执行循环语句： ； 此时应满足 ，执行循环语句： ； 此时满足 ，可以跳出循环，则输入的正整数 N 的最小值为 2. 故选 D. 【名师点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构.当型 循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断.注意输入框、 处理框、判断框的功能，不可混用.赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可 以是一个常量、变量或含变量的运算式. 6．（2016 新课标全国卷 II 理科）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的 为 2，2，5，则输出的 s = A．7 B．12 1, 100, 0t M S= = = t N≤ 100, 10, 1 210 MS S M M t t= + = = − = − = + = t N≤ 90, 1, 1 310 MS S M M t t= + = = − = = + = 91S < a66 C．17 D．34 【答案】C 【解析】由题意，当 时，输入 ，则 ，循环；输入 ，则 ，循环；输入 ，则 ，结束.故输出的 ，故选 C. 【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续 执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当 条件满足时，执行循环体，否则终止循环． 7．（2016 新课标全国卷Ⅲ理科）执行下面的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n= A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】第一次循环，得 ； 第二次循环，得 ， ； 2, 2, 0, 0x n k s= = = = 2a = 0 2 2 2, 1s k= ⋅ + = = 2a = 2 2 2 6, 2s k= ⋅ + = = 5a = 6 2 5 17, 3 2s k= ⋅ + = = > 17s = 2, 4, 6, 6, 1a b a s n= = = = = 2, 6, 4, 10a b a s= − = = = 2n =67 第三次循环，得 ； 第四次循环，得 ，退出循环，输出 . 故选 B． 【注意提示】解决此类题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的 特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值 发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 1．（【市级联考】山东省潍坊市 2019 届高三下学期高考模拟（一模)考试数学）执行下边的程序框图，如 果输出的푦值为 1，则输入的푥值为 A．0 B．e C．0 或e D．0 或 1 2．（【市级联考】河南省新乡市 2019 届高三下学期第二次模拟考试）某程序框图如图所示，则该程序的 功能是 2, 4, 6, 16, 3a b a s n= = = = = 2, 6, 4, 20 16, 4a b a s n= − = = = > = 4n =68 A．为了计算1 + 2 + 22 + 23 +… + 263 B．为了计算1 + 2 + 22 + 23 +… + 263 + 264 C．为了计算2 + 22 + 23 +… + 263 D．为了计算2 + 22 + 23 +… + 263 + 264 3．（【市级联考】四川省南充市高三 2019 届第二次高考适应性考试高三数学）如图所示，执行该程序框 图，为使输出的函数值在区间[1 4,1 2]内，则输入的实数푥的取值范围是69 A．( ― ∞, ― 2] B．[ ― 2, ― 1] C．[ ― 1,2] D．[2, + ∞) 4．（【校级联考】天津市十二重点中学 2019 届高三下学期毕业班联考（二)数学）执行如图所示的程序框 图，若输入푘的值为 9，则输出的结果푆为 A．109 B．48 C．19 D．6 5．（【市级联考】湖南省益阳市 2019 届高三 4 月模拟考试数学试题）我国古代数学典籍《九章算术》第 七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几 何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍. 为了解决这个新问题，设计如图所示的程序框图，输入퐴 = 3，푎 = 1，那么在①处应填_______和输出푖的 值为70 A．푆 > 2푇?，4 B．푆 < 2푇?，4 C．푇 > 2푆?，3 D．푇 < 2푆?，3 1．执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的取值范围是 A． B． C． D． [ ]1,3t ∈ − s 2e ,1−   [ ]1,e [ ]01， 2e ,e−  71 2．如果下面程序框图运行的结果푠 = 1320，那么判断框中应填入 A．푘 < 10? B．푘 > 10? C．푘 < 11? D．푘 > 11? 3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问 积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即 得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数푛是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解．如 图是解决这类问题的程序框图，若输入푛 = 24，则输出的结果为72 A．23 B．47 C．24 D．48 名校预测 1．【答案】C 【解析】程序的功能是计算 y ， 若 x≤0，由 y＝1 得 ex＝1，得 x＝0，满足条件． 若 x＞0，由 y＝2﹣lnx＝1，得 lnx＝1，即 x＝e，满足条件． e 0 2 ln 0 , , x x x x  ≤=  − >73 综上，x＝0 或 e. 故选 C． 2．【答案】A 【解析】运行程序，푆 = 0,푛 = 1，푆 = 1,푛 = 2，判断是； 푆 = 1 + 2,푛 = 3，判断是， 푆 = 1 + 2 + 22,푛 = 4，…， 以此类推，푆表达式的最后一项的指数比下一个푛要少2， 故푆 = 1 + 2 + 22 +⋯ + 263,푛 = 65，退出程序，输出푆的值， 所以程序框图是为了计算1 + 2 + 22 + 23 +… + 263. 故选 A． 3．【答案】B 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分 段函数 f（x）＝{ 2푥,푥 ∈ [ ―2,2] 2,푥 ∈ ( ―∞, ― 2) ∪ (2, + ∞) 的函数值． 又∵输出的函数值在区间[1 4,1 2]内，∴ 1 4 ≤ 2푥 ≤ 1 2，即 x∈[﹣2，﹣1]. 故选 B． 4．【答案】B 【解析】按照程序框图运行程序，输入푘 = 9，푛 = 1，푆 = 1，不满足푛 > 푘，循环， 则푛 = 1 + 3 = 4，푆 = 2 × 1 + 4 = 6，不满足푛 > 푘，循环，74 则푛 = 4 + 3 = 7，푆 = 2 × 6 + 7 = 19，不满足푛 > 푘，循环， 则푛 = 7 + 3 = 10，푆 = 2 × 19 + 10 = 48，满足푛 > 푘， 跳出循环，输出푆 = 48. 故选 B. 5．【答案】A 【解析】根据题意푆表示莞高，푇表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故填푆 > 2푇?. 根据程序框图得：第一次循环：푇 = 3，푆 = 1，푖 = 2，푎 = 2，퐴 = 3 2； 第二次循环：푇 = 9 2，푆 = 3，푖 = 3，푎 = 4，퐴 = 3 4； 第三次循环：푇 = 21 4 ，푆 = 7，푖 = 4，푎 = 8，퐴 = 3 8； 第四次循环：푇 = 45 8 ，푆 = 15， 此时满足푆 > 2푇，故输出푖 = 4. 故选 A． 专家押题 1．【答案】C 【解析】由程序框图知 ， 当 时， ； 当 时， ， 从而当 时， . 1 3 e , 1 log , 1 t ts t t − 10， 故选：B． 5．【答案】C 【解析】假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一 个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲； 假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真 话，故乙说谎，第一名也不是乙； 假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是 真话，故丙在说谎，第一名也不是乙； 假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第 一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立， 第一名是丙.故选 C. 专家押题 1．【答案】C 【解析】由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位， 十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式，易知正确答案为 C.85 2.【答案】跑步 【解析】由(4)可知,乙参加了铅球比赛,由(2)可知乙不是最高的,所以三人中乙身高居中;再由(1)可知,甲是 最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步比赛. 故答案为跑步. 3．【答案】푛(푛 + 1)(푛 + 2)(푛 + 3) 4 【解析】类比题中的方法裂项可得：푛(푛 + 1)(푛 + 2) = 푛(푛 + 1)(푛 + 2)(푛 + 3) ― (푛 ― 1)푛(푛 + 1)(푛 + 2) 4 ，则数列{푏푛} 的前 n 项和푇푛 = 푛(푛 + 1)(푛 + 2)(푛 + 3) 4 .8687 时间：7 月 4 日 核心考点解读——选修部分 坐标系与参数方程（II） 不等式选讲（II） 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数 方程、极坐标方程相关的互化与计算，解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看，坐标系与参数方程中主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程； （2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.不等式选讲中主要考查绝对值 不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3.从考查热点来看，坐标系与参数方程、不等式选讲是高考命题的选考部分，重点在于考查 学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋 势，值得关注. 1.坐标系与参数方程 (1)极坐标与直角坐标的互化：设 M 是平面内任一点，其直角坐标为 ，极坐标为 ，则极坐标与直角坐标的互化公式为 ， . (2)简单曲线的极坐标方程 圆心在极点，半径为 的圆： ； 圆心为 ，半径为 的圆： ； 圆心为 ，半径为 的圆： ； 过极点，倾斜角为 的直线： 和 ； ( , )x y ( , )ρ θ cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 2 tan x y y x ρ θ  = + = r (0 2π)rρ θ= ≤ < ( ,0)r r π π2 cos ( )2 2rρ θ θ= − ≤ < π( , )2r r 2 sin (0 π)rρ θ θ= ≤ < α θ α= πθ α= +88 过点 ，与极轴垂直的直线： ； 过点 ，与极轴平行的直线： . (3)直线和圆锥曲线的参数方程 直线的参数方程： （ 为参数）； 圆的参数方程： （ 为参数）； 椭圆的参数方程： （ 为参数）； 双曲线的参数方程： （ 为参数）； 抛物线的参数方程： （ 为参数）. 掌握曲线的参数方程，并能够通过消去参数，化为普通方程.消参过程中要注意参数的取 值范围对普通方程中点的坐标的影响. 2.不等式选讲 (1)含绝对值不等式的解法 ， ， 对于 和 型不等式的解法可以采用零点 分类讨论法求解；也可以利用数形结合法，通过构造函数，利用函数图象求解. 采用零点分类讨论法求解时，先令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根，并 ( ,0)a π πcos ( )2 2aρ θ θ= − < < π( , )2a sin (0 π)aρ θ θ= < < 0 0 cos sin x x t y y t α α = +  = + t cos sin x r y r θ θ =  = θ cos sin x a y b θ θ =  = θ sec tan x a y b θ θ =  = θ 22 2 x pt y pt  =  = t ( 0)ax b c c c ax b c+ ≤ > ⇔ − ≤ + ≤ ( 0)ax b c c ax b c ax b c+ ≥ > ⇔ + ≥ + ≤ −或 ( 0)x a x b c c− + − ≥ > ( 0)x a x b c c− + − ≤ >89 将这些根按从小到大的排序把实数集分成若干个区间，由所分区间去掉绝对值符号组成若 干个不等式，解这些不等式，求出解集，取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集. 采用数形结合法时，要正确求出函数的零点并画出函数的图象，结合函数的图象求解不等 式. (2)绝对值不等式： . (3)柯西不等式： ，当且仅当 时取等号. 利用绝对值不等式或柯西不等式求最值时，要注意最值取到的条件. 不等式恒成立问题可以将参变分离，利用参数与不等式的最值的大小关系求解. 1．（2018 新课标全国卷 I 理科）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 的直角坐标方程； （2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程. 【解析】（1）由 ， 得 的直角坐标方程为 ． （2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ． 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两 个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． a b a b a b− ≤ ± ≤ + 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d+ ≤ + + ad bc= xOy 1C | | 2y k x= + x 2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − = 2C 1C 2C 1C cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + = 2C ( 1,0)A − 2 1C (0,2)B y y 1l y 2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l 2C 1l 2C90 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ， 所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公 共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ， 所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ． 2．（2018 新课标全国卷Ⅰ理科）已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时不等式 成立，求 的取值范围. 【解析】（1）当 时， ， 即 故不等式 的解集为 ． （2）当 时 成立等价于当 时 成立． 若 ，则当 时 ； 1l 2C A 1l 2 2 | 2 | 2 1 k k − + = + 4 3k = − 0k = 0k = 1l 2C 4 3k = − 1l 2C 2l 2C 2l 2C A 2l 2 2 | 2 | 2 1 k k + = + 0k = 4 3k = 0k = 1l 2C 4 3k = 2l 2C 1C 4 | | 23y x= − + ( ) | 1| | 1|f x x ax= + − − 1a = ( ) 1f x > (0,1)x∈ ( )f x x> a 1a = ( ) | 1| | 1|f x x x= + − − 2, 1, ( ) 2 , 1 1, 2, 1. x f x x x x − ≤ − = − < 1{ | }2x x > (0,1)x∈ | 1| | 1|x ax x+ − − > (0,1)x∈ | 1| 1ax − < 0a ≤ (0,1)x∈ | 1| 1ax − ≥91 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ． 综上， 的取值范围为 ． 3．（2018 新课标全国卷 II 理科）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 直线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）求 和 的直角坐标方程； （2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率． 【解析】（1）曲线 的直角坐标方程为 ． 当 时， 的直角坐标方程为 ， 当 时， 的直角坐标方程为 ． （2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内， 所以①有两个解，设为 ， ，则 ． 又由①得 ， 故 ， 于是直线 的斜率 ． 4．（2018 新课标全国卷Ⅱ理科）设函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； 0a > | 1| 1ax − < 20 x a < < 2 1a ≥ 0 2a< ≤ a (0,2] xOy C 2cos 4sin x θ y θ =  = ， θ l 1 cos 2 sin x t α y t α = +  = + ， t C l C l (1, 2) l C 2 2 14 16 x y+ = cos 0α ≠ l tan 2 tany xα α= ⋅ + − cos 0α = l 1x = l C t 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0t tα α α+ + + − = C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0t t+ = 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cost t α α α ++ = − + 2cos sin 0α α+ = l tan 2k α= = − ( ) 5 | | | 2|f x x a x= − + − − 1a = ( ) 0f x ≥92 （2）若 ，求 的取值范围． 【解析】（1）当 时， 可得 的解集为 ． （2） 等价于 ． 而 ，且当 时等号成立． 故 等价于 ． 由 可得 或 ， 所以 的取值范围是 ． 5．（2018 新课标全国卷 III 理科）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数）， 过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点． （1）求 的取值范围； （2）求 中点 的轨迹的参数方程． 【解析】（1） 的直角坐标方程为 ． 当 时， 与 交于两点． 当 时，记 ，则 的方程为 ． 与 交于两点当且仅当 ， ( ) 1f x ≤ a 1a = 2 4, 1, ( ) 2, 1 2, 2 6, 2. x x f x x x x + ≤ − = − < ≤ − + > ( ) 0f x ≥ { | 2 3}x x− ≤ ≤ ( ) 1f x ≤ | | | 2 | 4x a x+ + − ≥ | | | 2 | | 2 |x a x a+ + − ≥ + 2x = ( ) 1f x ≤ | 2 | 4a + ≥ | 2 | 4a + ≥ 6a ≤ − 2a ≥ a ( , 6] [2, )−∞ − +∞ xOy O⊙ cos sin x y θ θ =  = ， θ ( )0 2−， α l O⊙ A B， α AB P O 2 2 1x y+ = 2 α π= l O 2 α π≠ tan kα = l 2y kx= − l O 2 2| | 1 1 k < +93 解得 或 ，即 或 ． 综上， 的取值范围是 ． （2） 的参数方程为 为参数， ． 设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ， 则 ，且 ， 满足 ． 于是 ， ． 又点 的坐标 满足 所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ． 6．（2018 新课标全国卷Ⅲ理科）设函数 ． （1）画出 的图像； （2）当 ， ，求 的最小值． 1k < − 1k > ( , )4 2 α π π∈ ( , )2 4 α π 3π∈ α ( , )4 4 π 3π l cos , ( 2 sin x t t y t α α = = − + 4 4 απ 3π< < ) A B P At Bt Pt 2 A B P t tt += At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + = 2 2 sinA Bt t α+ = 2 sinPt α= P ( , )x y cos , 2 sin . P P x t y t α α = = − + P 2 sin 2 ,2 2 2 cos22 2 x y α α  =  = − − (α 4 4 απ 3π< < ) ( ) 2 1 1f x x x= + + − ( )y f x= [ )0x + ∞∈ ， ( )f x ax b+≤ a b+94 【解析】（1） 的图像如图所示． （2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ， 故当且仅当 且 时， 在 成立， 因此 的最小值为 ． 13 , ,2 1( ) 2, 1,2 3 , 1. x x f x x x x x − < − = + − ≤ 2 4 0x x+ − ≤ 1 171 2x − +< ≤ ( ) ( )f x g x≥ 1 17{ | 1 }2x x − +− ≤ ≤ [ 1,1]x∈ − ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ 1,1]− [ 1,1]x∈ − ( ) 2f x ≥ ( )f x [ 1,1]− ( 1)f − (1)f ( 1) 2f − ≥ (1) 2f ≥ 1 1a− ≤ ≤ a [ 1,1]−97 【思路点拨】（1 ）当 时，不等式 等价于 ，对 按 ， ， 讨论，得出不等式的解集； （2）当 时， .若 的解集包含 ，等价于当 时 .则 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，从而得 . 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数， 借助图象解题. 9．（2017 新课标全国卷 II 理科）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ，求点 P 的轨迹 的直角坐 标方程； （2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值． 【解析】（1）设 的极坐标为 ，M 的极坐标为 ， 由题设知 ． 由 得 的极坐标方程 ． 因此 的直角坐标方程为 ． （2）设点 B 的极坐标为 ，由题设知 ， 于是 的面积 当 时，S 取得最大值 ， 1a = ( ) ( )f x g x≥ 2 | 1| | 1| 4 0x x x x− + + + − − ≤ x 1x < − 1 1x− ≤ ≤ 1x > [ 1,1]x∈ − ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ 1,1]− [ 1,1]x∈ − ( ) 2f x ≥ ( )f x [ 1,1]− ( 1)f − (1)f ( 1) 2f − ≥ (1) 2f ≥ 1 1a− ≤ ≤ 1C cos 4ρ θ = 1C | | | | 16OM OP⋅ = 2C (2, )3 π 2C OAB△ P ( , )ρ θ ( 0)ρ > 1( , )ρ θ 1( 0)ρ > cosOP OM =ρ ρ θ1 4= , = 16OM OP⋅ = 2C cosρ θ= 4 ( 0)ρ > 2C ( ) ( )2 22 4 0x y x− + = ≠ ( )( ), 0B B ρ α ρ > 2, 4cosBOA ρ α= = OAB△ S = 1 3sin 4cos | sin( ) | 2 | sin(2 ) | 2 3.2 3 3 2BOA AOBρ α α απ π⋅ ⋅ ∠ = ⋅ − = − − ≤ + 12 α π= − 2 3+98 所以 面积的最大值为 ． 【思路点拨】（1）设出 P 的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程； （2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的 性质可得 面积的最大值． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距 离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用 极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程． 10．（2017 新课标全国卷Ⅱ理科）已知 ．证明： （1） ； （2） ． 【解析】（1） （2）因为 所以 ，因此 ． 【思路点拨】（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向 靠拢； OAB△ 2 3+ OAB△ 3 30, 0, 2a b a b> > + = 5 5( )( ) 4a b a b+ + ≥ 2a b+ ≤ ( )( )5 5 6 5 5 6a b a b a ab a b b+ + = + + + ( ) ( ) ( ) 23 3 3 3 4 4 22 2 2 4 4. a b a b ab a b ab a b = + − + + = + − ≥ ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 32 4 32 ,4 ab a b a b a b a b = + + +≤ + + += + ( )3 8a b+ ≤ 2a b+ ≤ 3 3 2a b+ =99 （2）利用均值不等式的结论结合题意证得 即可得出结论． 【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和 问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不 等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法． 11．（2017 新课标全国卷Ⅲ理科）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 （t 为参数），直 线 l2 的参数方程为 .设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C. （1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径. 【解析】（1）消去参数 得 的普通方程 ； 消去参数 m 得 l2 的普通方程 . 设 ,由题设得 ，消去 k 得 . 所以 C 的普通方程为 . （2）C 的极坐标方程为 . 联立 得 . 故 ，从而 . 代入 得 ，所以交点 M 的极径为 . ( )3 8a b+ ≤ 2+ ,x t y kt =  = 2 ,x m mmy k = − + = （ 为参数） ( )3 : cos sin 2 0l ρ θ θ+ − = t 1l ( )1 : 2l y k x= − ( )2 1: 2l y xk = + ( ),P x y ( ) ( ) 2 1 2 y k x y xk  = − = + ( )2 2 4 0x y y− = ≠ ( )2 2 4 0x y y− = ≠ ( ) ( )2 2 2cos sin 4 0 2π, πρ θ θ θ θ− = < < ≠ ( ) ( ) 2 2 2cos sin 4, cos sin 2 0 ρ θ θ ρ θ θ  − = + − = ( )cos sin 2 cos sinθ θ θ θ− = + 1tan 3 θ = − 2 29 1cos ,sin10 10 θ θ= = ( )2 2 2cos sin 4ρ θ θ− = 2 5ρ = 5100 【思路点拨】（1）由题意得直线 l1，l2 的普通方程，然后消去参数即可得到曲线 的普通方程； （2）联立两个极坐标方程可得 ，代入极坐标方程进行计算可得极径为 . 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、 线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐 标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 12．（2017 新课标全国卷Ⅲ理科）已知函数 f（x）=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若不等式 的解集非空，求 m 的取值范围. 【解析】（1） ， 当 时， 无解； 当 时，由 得， ，解得 ； 当 时，由 解得 . 所以 的解集为 . （2）由 得 ，而 ， 且当 时， . 故 m 的取值范围为 . C 2 29 1cos ,sin10 10 θ θ= = 5 ( ) 2f x x x m≥ − + ( ) 3 1 2 1 1 2 3 2 ,x f x x , x ,x − < − = − − ≤ ≤  > 1x < − ( ) 1f x ≥ 1 2x− ≤ ≤ ( ) 1f x ≥ 2 1 1x − ≥ 1 2x≤ ≤ 2x > ( ) 1f x ≥ 2x > ( ) 1f x ≥ { }1x x ≥ ( ) 2f x x x m≥ − + 21 2m x x x x≤ + − − − + 2 2 2 3 5 51 2 1 2 2 4 4x x x x x x x x x + − − − + ≤ + + − − + = − + ≤  - 3 2x = 2 51 2 4x x x x+ − − − + = 5 4  ∞  - ，101 【思路点拨】（1）将函数零点分段去绝对值符号，然后求解不等式即可； （2）由题意结合绝对值不等式的性质有 ，则 m 的取值范围是 . 【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 13．（2016 新课标全国卷Ⅰ理科）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cos θ. （1）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （2）直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tan α0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 【解析】（1）消去参数 得到 的普通方程 . 是以 为圆心， 为半径的圆. 将 代入 的普通方程中，得到 的极坐标方程为 . （2）曲线 的公共点的极坐标满足方程组 若 ，由方程组得 ， 由已知 ，可得 ， 从而 ，解得 （舍去）， . 2 51 2 4x x x x+ − − − + ≤ 5 4  ∞  - ， cos 1 sin x a t y a t =  = + t 1C 222 )1( ayx =−+ 1C )1,0( a θρθρ sin,cos == yx 1C 1C 01sin2 22 =−+− aθρρ 21,CC    = =−+− ,cos4 ,01sin2 22 θρ θρρ a 0≠ρ 01cossin8cos16 22 =−+− aθθθ 2tan =θ 0cossin8cos16 2 =− θθθ 01 2 =− a 1−=a 1=a102 时，极点也为 的公共点，在 上. 所以 . 【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数 方程的互化公式及应用. 14．（2016 新课标全国卷Ⅰ理科）已知函数 f(x)=∣x+1∣ ∣2x 3∣. （1）在下图中画出 y= f(x)的图象； （2）求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集. 【解析】（1） 的图象如图所示. 1=a 21,CC 3C 1=a - -        >+− ≤xf { }31 xf       > || | |+ | |a b a b a b≤ ≤- - a b≥ 0ab ≥ 0ab ≤108 （2）若푓(푥) ≤ |푘 ― 1|有解，求实数푘的取值范围. 1．选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数, ），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 . （1）若点 M，N 在曲线 C 上，求 的最大值； （2）若直线 与曲线 C 交于 A，B 两点，且点 满足 ，求 的值. 2．选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数 ， ，其中 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 在区间 上有解，求 的取值范围. 名校预测 1．【解析】（1）因为 ， ， 所以퐶1的极坐标方程为sin휃 ― 3cos휃 = 0，即휃 = 휋 3 (휌 ∈ 퐑)， 퐶2的极坐标方程为휌2 ―2휌cos휃 ― 4휌sin휃 = 0. 即휌 ― 2cos휃 ― 4sin휃 = 0. （2）휃 = π 3代入휌 ― 2cos휃 ― 4sin휃 = 0，解得휌1 = 1 + 2 3. l cos 2 sin x t y t ϕ ϕ =  = + t 0 πϕ≤ < x 2 2 6 3 cos ρ θ= − | |MN l (0,2)P 36| | | | 11PA PB+ = | | | |PA PB⋅ axaxxf +++= )1()( 2 ( ) | |g x x a= − 0a > 1=a )()( xgxf ≥ )()( xgxf ≤ [ 7, 4]− − a cosx ρ θ= siny ρ θ=109 휃 = π 6代入휌 ― 2cos휃 ― 4sin휃 = 0，解得휌2 = 2 + 3. 故훥푂퐴퐵的面积为1 2 × (1 + 2 3) × (2 + 3) × sinπ 6 = 2 + 5 3 4 . 2．【解析】（1）푓(푥) = |푥 + 1| + |푥 ― 2|， 当푥⩽ ― 1时， ―2푥 + 1⩽5.解得： ―2 ≤ 푥 ≤ ―1. 当 ―1 < 푥 < 2时，3 < 5恒成立，即 ―1 < 푥 < 2， 当푥 ≥ 2时，2푥 ― 1 ≤ 5.解得：2 ≤ 푥 ≤ 3. 综合 得不等式푓(푥)⩽5的解集为[ ― 2,3]. （2）由（1）得，푓(푥) = |푥 + 1| + |푥 ― 2| ≥ 3. 所以不等式푓(푥) ≤ |푘 ― 1|有解等价于|푘 ― 1| ≥ 3， 解得푘 ≥ 4或푘 ≤ ―2. 故 k 的取值范围为 . 【名师点睛】绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 专家押题 1． 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 【解析】（1）曲线 C 的极坐标方程为 ，即 ， 化为直角坐标方程可得 ， ① ② ③ ①②③ [4, ) ( , 2]+∞ −∞ − 2 2 6 3 cos ρ θ= − 2 2 23 cos 6ρ ρ θ− = 2 2 23( ) 6x y x+ − =110 即 ，表示的曲线是椭圆， 则 的最大值为椭圆的长轴长，为 . （2）由题意，点 在直线 上. 把 代入 ，整理得 ， 由题意知 ，即 ，∴ . 设 A，B 对应的参数分别为 ，则 , ， 故 ， 结合 ，可得 ， 故 . 2．选修 4-5 ：不等式选讲 【解析】（1）∵ ，∴ ， ， ∴不等式 可化为 ， 当 时， 即 ，此不等式恒成立，则 ； 当 时， 即 ，解得 或 ， 故不等式 的解集为 . 2 2 13 2 x y+ = | |MN 2 3 (0,2)P l cos 2 sin x t y t ϕ ϕ =  = + 2 2 13 2 x y+ = 2 2(2 sin ) 12 sin 6 0t tϕ ϕ+ + + = 0∆ > 2 2144sin 24(2 sin ) 0ϕ ϕ− + > 2 2sin 5 ϕ > 1 2,t t 1 2 2 12sin 2 sint t ϕ ϕ+ = − + 1 2 2 6 02 sint t ϕ= >+ 1 2 1 2 2 12sin 36| | | | | | | | | | | |2 sin 11PA PB t t t t ϕ ϕ+ = + = + = − =+ 0 πϕ≤ < 2sin 3 ϕ = 1 2 2 6 27| | | | 2 sin 11PA PB t t ϕ⋅ = = =+ 1=a 12)( 2 ++= xxxf ( ) | 1|g x x= − )()( xgxf ≥ 2 2 1 | 1|x x x+ + ≥ − 1x ≥ 2 2 1 | 1|x x x+ + ≥ − 022 ≥++ xx 1x ≥ 1