高三数学试卷（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.
2．请将各题答案填写在答题卡上.
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C ．
D．
3．“民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中
果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有 48 种、24 种、30 种、18 种，现从中
抽取一个容量为 40 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取
的动物性食品类种数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
4．若向量 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
i
(1 i)(2 i)
=+ +
3 i
10
− 3 i
10
+ 3 i
10
− + 3 i
10
− −
{ }lnA x y x= = { }3B x x= ∈ ≤N
B A⊆ { }0A B x x= > A B⊆
{ }1,2,3A B =
(1,2)AC = ( 1,4)AB BC− = − AB =
( 1,1)− (0,6)
( 2,2)− (0,3)5．已知圆 ， ， ， ，若从
这 4 个圆中任意选取 2 个，则这 2 个圆的半径相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了 246 个与生
产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一
尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一
端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？
假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列 ， 斤，则 （ ）
A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤
7．已知双曲线 的左焦点为 ，点 的坐标为 ，若直线
的倾斜角为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．在底面为正三角形的三棱柱 中， ， ，该三棱柱的体积的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方
程为（ ）
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为
2 2
1 : 1C x y+ = 2 2
2 :( 2) 1C x y− + = 2 2
3 : ( 1) 1C x y+ − = 2 2
4 : 4C x y+ =
1
6
1
3
1
2
2
3
{ }na 1 4a = 2a =
2.5 2.75 3 3.5
2 2
2 2: 1x yC a b
− = ( 0, 0)a b> > F A (0,2 )b AF
45° C
3 2
2 3 2 3
3 2
2 6 51( ) 2
x x
f x
− + =
( ]0,16 [16, )+∞ 10,16
1 ,16
+∞
1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 3AA =
3 2 3 6 3 3
( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)f x x x x x x= − − − − − ( )y f x= (2,0)
3 6y x= − + 6 12y x= − + 3 6y x= − 6 12y x= −A． B．
C． D．
12．已知函数 ，现有下述四个结论：
① 的最小正周期为 ；②曲线 关于直线 对称；
③ 在 上单调递增；④方程 在 上有 4 个不同的实根.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若 ，则 的最小值为_______.
14．在 ， ， 这 3 个数中，最大的是_______.
15．在公比大于零的等比数列 ， ， ，则 _______，数列 的前
项和 _______.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
16．设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为 内一点， 为
上任意一点.若 的最小值为 3，则 的方程为_______.
25π
4
64π
3
25π 32π
( ) 1 4sin cosf x x x= −
( )f x π ( )y f x=
4x
π= −
( )f x 5,4 12
π π
( ) 2f x = [ , ]−π π
2 1xy = 24x y+
3log 0.6 2log 5 0.43
{ }2na n+ 1 2a = 3 10a = 4a = { }na
n nS =
1F 2F
2 2
2 2: 1( 1)1
x yC aa a
+ = >− (1,1)P C Q C
1PQ QF+ C三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤. 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．（12 分）
设 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边．已知 ，
（1）证明： 是直角三角形．
（2）若 是 边上一点，且 ， ， ，求 的面积．
18．（12 分）
如 图 ， ， ， ， ，
， .
（1）证明： .
（2）若几何体 的体积为 10，求三棱椎 的侧面
积.
19．（12 分）
已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）判断 在 上的零点的个数，并说明理由.（提示： ）
a b c ABC△ A B C cos cosa B b A c= +
ABC△
D AC 3CD = 5BD = 6BC = ABD△
EA ACE⊥ 平面 AB BC⊥ 4AB = 3BC BD= =
AC AD= 3 2CD =
/ /BD ACE平面
EABCD E ABC−
3( ) 4lnf x x xx
= − −
( )f x
( )f x (0,10] ln10 2.303≈20．（12 分）
某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天
的试销，定价为 1000 元/件.试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量（单位：件）
的数据如下表：
日销售量 40 60 80 100
频数 9 12 6 3
（1）若该 4S 店试销期间每个零件的进价为 650 元/件，求试销连续 30 天中该零件日销
售总利润不低于 24500 元的频率.
（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为 1000 元，但生产公司对该款零件
不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有 60 件，批发价为 550 元/件；小箱每箱有 45
件，批发价为 600 元/件，该 4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件
按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店，假设该 4S 店试销后的连续 30 天的日销售量
（单位：件）的数据如下表：
日销售量 50 70 90 110
频数 5 15 8 2
（i）设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，求这 30 天这款零件的总利润；
（ii）以总利润作为决策依据，该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是
两小箱？
21．（12 分）
设抛物线 点为 ，直线 与抛物线交于 ， 两点.
（1）若 过点 ，且 ，求 的斜率；
（2）若 ，且 的斜率为－1，当 时，求 在 轴上的截距的取值范围（用
表示），并证明 的平分线始终与 轴平行.
2 2 ( 0)y px p= > F l M N
l F 3MN p= l
,2
pP p
l P l∉ l y
p MPN∠ y（二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的
第一题计分.
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数），以坐
标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）若 ，求 的极坐标方程；
（2）若 与 恰有 4 个公共点，求 的取值范围.
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）证明： .
xOy C 4 cos
4 sin
x r
y r
θ
θ
= +
= + 0r > θ
x M 2 8 6ρ ρ+ =
4 2r = C
C M r
( ) 4 2f x x= − −
( )f x x>
22 ( ) 8 17 2sinx f x x x x− − ≤ < − + −
微信/支付宝扫码支付