2020 届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）
理 科 数 学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 6 页．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题
卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在
答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 =
A． B. C. D.
2．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．36 B．70 C．72 D．144
3．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合
称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所
对应干支的程序框图．例如公元 1988 年，即输入 ，执行
该程序框图，运行相应的程序，输出 ，从干支表中查出对应
的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元 年，
则该年所对应的干支为
A. 己巳
B. 庚午
C. 壬戌
D. 癸亥
4． 的展开式中， 的系数是
A． B． C． D．
429
{ | ln 0}A x x= < { | 1}B x x= ≤ − A BR
{ | 1 1}x x− < < { | 0 1}x x< < { | 1 1}x x− ≤ < { | 1}x x ≥
{ }na n nS 3 3a = 7 13a = 9S =
1988N =
5x =
( )51 1 2xx
+ −
3x
50− 30− 50 30
开始
输入 N
是
否
1i i= +
输出 x
60x ≤
结束
1i =
3 60*x N i= − −
六十干支表（部分）
5 6 7
戊辰 己巳 庚午
58 59 60
辛酉 壬戌 癸亥5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
6．已知 ，且 ，则
A． B． C． D． 或
7．在复平面内 为坐标原点，复数 ， 对应的
点分别为 ， ，则 的大小为
A． B． C． D．
8．函数 恒成立的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
9．已知 为坐标原点， 是 的直径．若点 满足 ，则
的最小值为
A． B． C． D．
10．方程 的曲线有下列说法：
①该曲线关于 对称； ②该曲线关于点 对称；
③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．
其中正确的是
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
11．如图，四边形 为正方形，四边形 为矩形，
且平面 与平面 互相垂直．若多面体
的体积为 ，则该多面体外接球表面积的最小值为
A． B． C． D．
12．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点． 为
曲线 右支上的点，点 在 外角平分线上，且 ．若 恰为
顶角为 的等腰三角形，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
O
2 3 8 15
3π 9π 12π 36π
,02
θ π ∈ − 3sin 2 cos2 1θ θ= + cosθ =
0 1
2
3
2 0 3
2
O 1 i( 3 i)z = + 1
2 3 i
zz =
−
1Z 2Z 1 2Z OZ∠
5
12
π 1
2
π 7
12
π 11
12
π
( ) ln 0f x ax x= − ≥ ( )a Î R
1,ea ∈ +∞
[ )0,a∈ +∞ [ )1,a∈ +∞ ( ,e]a∈ −∞
AB :C 2 2( 3) ( 4) 1x y− + − = Q 2OQ =
QA QB⋅
( )2 2: 2( 1)( 3) e ex xx x y − −− − = +
2x = (2, 1)−
ABCD EFBD
ABCD EFBD ABCDEF
16
3
16π 12π 8π 6π
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F 2F O P
C M 1 2F PF∠ 2 0F M PM⋅ =
2OF M∆
120
2 3 4 3
3 2 3
E
D
C
B
A
F
4
正视图 侧视图
3
3
俯视图54n
m6533
6
5
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．若抛物线经过点 ， ，则该抛物线的标准方程为___________．
14 ． 记 为 正 项 数 列 的 前 项 和 ， ． 若 ， ， 则
___________．
15．宁德市中学生篮球比赛中，右图为某球队 场比赛得分的茎叶
图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用 标注）.目前得
知这组数据的平均值为 ，则方差 最大时 的值为_________．
16．已知函数 若关于 的不等式 的解集非空，且
为有限集，则实数 的取值集合为___________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共 60 分
17．（12 分）
如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，
.
（1）求 ；
（2）求 的长.
11, 2
− (2,2)
nS { }na n 2
1 2n n na a a+ += ⋅ 1 1a = 3 7S = 5a =
8
,m n
58 2S m n−
1
2
, 0,
( )
, 0.2
1
xx e x
f x
xx
x
+⋅
=
>
+
x 2 ( ) 2 ( ) 2 0f x af x a− + + ≤
a
ABCD AB BC⊥ 3 3AB = 3CD = 1cos 7BDC∠ = −
3C
π∠ =
sin DBC∠
AD18．（12 分）
如图，在棱柱 中，底面 为平行四边形，
, ,且 在底面上的投影 恰为 的中点.
（1）过 作与 垂直的平面 ，交棱 于点 ，试确定点 的位置，并说明理由；
（2）若点 满足 ，试求 的值，使二面角 为 .
19．（12 分）
已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左、右焦点，点
为椭圆 上的一动点， 面积的最大值为 2.
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与椭圆 的另一个交点为 ，点 ，证明：直线 与直线 关
于 轴对称.
20．（12 分）
已知函数 （ ）．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）求证：
．
' ' ' 'ABCD A B C D− ABCD ' 4,DD CD= =
2AD =
3BAD
π∠ = 'D H CD
D H′ BC α BC N N
P D P D Cλ′ ′ ′= λ P BH A− − 3
4
π
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2 1 2,F F
P C 1 2PF F∆
C
2PF C Q ( )2 2,0A PA QA
x
2( ) ln ( 1)2
af x x x a x= − + − a∈R
( )f x
3 2
2
6 (1 ln ) 2 3 5 0
1
x x x x
x
− + − − <
−21．（12 分）
某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年
卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了 2019 年到本市景区
旅游的 1000 个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如下频率分布直方图：
由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分
布 ，其中 近似为样本平均数 （同一组数据用该组区间的中点值作代表）.
(1) 若 2019 年到本市景区旅游游客为 500 万人，试估计 2019 年有多少游客在本市的年
旅游消费支出不低于 1820 元；
(2) 现依次抽取 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件 表示“连续
3 人的旅游消费支出超出 ”．若 表示 的概率，
为常数），且 .
（i）求 ， 及 ， ；
（ii）判断并证明数列 从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．
参考数据： ， ，
2( , 3.2 )N µ µ x
n A
µ nP A
1 2 3
1 ( 3, ,4n n n nP aP P bP n a b− − −= + + ≥ 1210 === PPP
3P 4P a b
{ }nP
( ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < < + ≈ ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− < < + ≈
( 3 3 ) 0.9973)P Xµ σ µ σ− < < + ≈(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的
第一题记分．
22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ．以坐标原点 为
极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ，直线 的极坐标方
程为 ．
(1)求 的直角坐标和 l 的直角坐标方程；
(2)把曲线 上各点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标伸长为原来的 倍，得到曲线
， 为 上动点，求 中点 到直线 距离的最小值．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 . 若存在实数 使得 成立.
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的最小值.
xOy 1C ( )cos ,
sin
x
y
α αα
=
=
为参数 O
x A 1, 2
π
l
cos 2 sin 8 0ρ θ ρ θ+ − =
A
1C 2 3
2C B 2C AB P l
( ) 1 ,f x x m x m ∗= − + + ∈N x ( ) 3f x <
m
, 0α β > ( )( )4 1 1 mα β− − = α β+2020 年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）
数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的
评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的
程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部
分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等
基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数
与方程思想等．满分 12 分．
解：（1）因为 ，
，
所以 .……………………………………2 分
在 中， ，
所以 …………………………………………………………3 分
……………………………………………………4 分
. …………………………………………………………5 分
2 2x y= 16 −8 { 1,3}−
1cos 7BDC∠ = −
2 2sin cos 1BDC BDC∠ ∠+ =
4 3sin 7BDC =∠
BDC∆ ,3C DBC C BDC
π∠ ∠ + ∠ + ∠ = π=
sin sin( )DBC BDC C∠ = ∠ + ∠
sin cos cos sinBDC C BDC C= ∠ ⋅ + ∠ ⋅
4 3 1 1 3 3 3
7 2 7 2 14
= ⋅ − ⋅ =（2）在 中，由正弦定理得 ，…………………………………6 分
即 ，解得 .…………………………………………………………8 分
因为 ， ，
所以 ，……………9 分
在 中， ，根据余弦定理，
…10 分
解得 ．…………………………12 分
18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基
础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满
分 12 分．
解：
解法一：
（1）当点 为棱 的中点时，符合题目要求，………1 分
下面给出证明.
分别连结 ， .
在 中，
所以 ，因此 ，即 ，…………2 分
因为 在底面上的投影 恰为 的中点，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，…………………3 分
又 ， ， 平面 ,
所以 平面 ,
NH ND′
HNC∆ 2 2 2 cos 33NH NC CH NC CH
π= + − ⋅ ⋅ =
BDC∆
sin sin
CD BD
DBC C
=∠
3
3 3 3
14 2
BD=
7BD =
2ABD DBC
π∠ + ∠ = 3 3sin 14DBC∠ =
cos ABD∠ 3 3
14
=
ABD∆ 3 3AB =
2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD ABD= + − ⋅ ∠
2 2 3 3(3 3) 7 2 3 3 7 4914
= + − ⋅ ⋅ ⋅ =
7AD =
N BC
2 2 2HC NC HN= +
2HNC
π∠ = NH BC⊥
'D H CD
D H′ ⊥ ABCD
BC ⊂ ABCD D H BC′ ⊥
NH BC⊥ D H NH H′ = ,D H NH′ ⊂ D HN′
BC ⊥ D HN′
A B
CD H
A' B'
C'D'
N因此，点 即为所求，平面 即为 .…………………5 分
（2）证明：由题（1）知可得 , , ，
所以 ,…………………6 分
分别以 为 轴的正方向，以过 点垂直于平面 的方向为 轴，建立空
间直角坐标系 ，
， ， ， ， ，
， ，.…………………7 分
所以
易得平面 的一个法向量为 .……………8 分
，
设 为平面 的一个法向量，则：
，即得 ，
令 ，得 ，.…………………10 分
因为二面角 为 ，所以 ，即 ，
所以 ，又因为二面角 的大小为钝角，故 ..………………12 分
解法二：
（1）当点 为棱 的中点时，符合题目要求，.…………………1 分
下面给出证明.
分别连结 ， ， .
2
| 2 | 2
24 4
λ
λ
=
+ P BH A− − 1λ =
N D HN′ α
HN BC⊥ / /HN DB / /AD BC
AD BD⊥
,DA DB ,x y D ABCD z
D xyz−
2 3HD′ = (0,0,0)D ( 1, 3,0)H − (0,2 3,0)B ( 1, 3,2 3)D′ −
( 2,2 3,0)C − ( 3,3 3,2 3)C′ −
( 2,2 3,0) ( 2 ,2 3 ,0)D P D Cλ λ λ λ′ ′ ′= = − = −
AHB (0,0,1)m =
(1, 3,0), (0,0,2 3)HB HD ′= =
( 2 ,2 3 ,2 3)HP HD D P λ λ′ ′= + = −
( , , )n x y z= PBH
0
0
n HB
n HP
⋅ = ⋅ =
3 0
2 2 3 2 3 0
x y
x y zλ λ
+ =
− + + =
3x = ( 3, 1,2 )n λ= −
P BH A− − 3
4
π 3| cos , | | cos |4m n
π< > = | | 2| || | | | 2
m n
m n
⋅ = −⋅
N BC
NH ND′ BH
z
yx
D' C'
B'A'
HD C
BA N因为 在底面上的投影 恰为 的中点，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ..…………………2 分
在 中， ,故 为等边三角形，
又点 为棱 的中点，所以 ，.…………………3 分
又 ， ， 平面 ,
所以 平面 ,
因此，点 即为所求，平面 即为 ..…………………5 分
（2）证明：连结 ，
在平行四边形 中，
因为 ,
所以 ，故 ，即 ,…………………6 分
分别以 为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
， ， ， ， ，
，
……7 分
易得平面 的一个法向量为 ……8 分
设 为平面 的一个法向量，则：
，即 ，
令 ，得 ，…………………9 分
因为二面角 为 ，
所以 ，即 ，
'D H CD D H′ ⊥ ABCD
BC ⊂ ABCD D H BC′ ⊥
HBC∆ 2, 3HC BC HCB
π= = ∠ = HBC∆
N BC NH BC⊥
D H BC′ ⊥ D H NH H′ = ,D H NH′ ⊂ D HN′
BC ⊥ D HN′
N D HN′ α
HA
ABCD
22, ,3 3AD DH HC BC HCB ADH
π π= = = = ∠ = ∠ =
,6 3DHA BHC
π π∠ = ∠ =
2AHB
π∠ = HA HB⊥
, ,HA HB HD ′ , ,x y z H xyz−
2 3HD′ = (0,0,0)H (2 3,0,0)A (0,2,0)B (0,0,2 3)D′
( 2 3,2,2 3)C′ −
( 2 3,2,0) ( 2 3 ,2 ,0)D P D Cλ λ λ λ′ ′ ′= = − = −
AHB (0,0,1)m =
( , , )n x y z= PBH
0
0
n HB
n HP
⋅ = ⋅ =
2 0
2 3 2 2 3 0
y
x y zλ λ
=− + + =
1x = (1,0, )n λ=
P BH A− − 3
4
π
3| cos , | | cos |4m n
π< > = | | 2| || | | | 2
m n
m n
⋅ = −⋅
A B
CD H
A' B'
C'D'
x
y
z
N所以 ，又因为二面角 的大小为钝角，解得 .……………12 分
（其他正确建系方法酌情相应给分）
19．本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推
理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题
的能力，满分 12 分．
解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，…………………………… 1 分
因为 面积的最大值为 2，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ， ，……………………………… 3 分
故椭圆 的方程为 .……………………………… 4 分
（2）由（1）得 ，
当直线 的斜率为 时，符合题意，………………… 5 分
当直线 的斜率不为 时，
设直线 的方程为 ，代入 消去 整理得：………………… 6 分
，易得 ，…………………7 分
设 ，则 ，………………… 8 分
记直线 的斜率分别为 ，则
2
| | 2
21
λ
λ
=
+ P BH A− − 1λ =
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2
2
2
ce a
= = 2 22c a= 2 2 2a b c= + b c=
1 2MF F∆ 1 2 22 c b⋅ ⋅ = 2c b⋅ =
b c= 2b c= = 2 4a =
C
2 2
14 2
x y+ =
2 ( 2,0)F
l 0
l 0
l 2x ty= +
2 2
14 2
x y+ = x
2 2( 2) 2 2 2 0t y ty+ + − = 2 2 2(2 2 ) 8( 2) 16 16 0t t t∆ = + + = + >
1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
1 2 2
1 2 2
2 2
2
2
2
ty y t
y y t
−+ = + − = +
,PA QA ,PA QAk k……………11 分
所以 ，因此直线 与直线 关于 轴对称．……………………………… 12 分
20．本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能
力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思
想等．满分 12 分．
解:（1）定义域为 ，
.……………………………1 分
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；………………………… 2 分
当 时，令 ，得 或 ，………………………………………3 分
当 时， 恒成立，
所以函数 的单调递增区间为 ，无减区间；…………………………………4 分
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；………5 分
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．………6 分
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，无减区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
1 ,1a
−
11, a
−
1 ,1a
−
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
2 2( )
2 2 2 2 2 2 ( 2)( 2)
4 4( )2 2 0
( 2)( 2)
PA QA
y y y y ty y y yk k
x x ty ty ty ty
t t
t t
ty ty
− ++ = + = + =
− − − − − −
− −−+ += =
− −
PA QAk k= − PA QA x
(0, )+∞
21 ( 1) 1 ( 1)( 1)( ) ( 1) ax a x ax xf x ax ax x x
− − − + −′ = − + − = − = −
0a ≥ 1 0ax + >
( )f x (0,1) (1, )+∞
0a < ( ) 0f x′ = 1x = 1x a
= −
1a = −
2( 1)( ) 0xf x x
−′ = ≥
( )f x (0, )+∞
1a < − 10 1a
< − <
( )f x 10, a
− (1, )+∞
01 ( ) 0h x >
21 0x− > 1x > 21 0x− <
01 − −
1
4
α > 1β >
1 1 1 5 1 1 5 91 24 1 4 4 1 4 4 4 1 4 4
α β α α αα α α
+ = + + = − + + ≥ − ⋅ + = − − −
3 3,4 2
α β= = 9
4
( )( )4 1 1 1α β− − =
4 4 0αβ α β− − =
1 1 14α β+ =
, 0α β >
( ) 1 1 1 5 91 24 4 4 4 4 4
β α β αα β α β α β α β
+ + = + + + ≥ ⋅ + =
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