黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学试题 PDF版含答案.pdf

2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第1页 共 8 页 2020 年哈三中高三学年第一次模拟考试 数学试卷（理工类） 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考 试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第 I 卷 （选择题, 共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．) 1. 已知全集 RU = ，集合 }043{ 2 −−= xxxA ， }05{ −= x xxB ，那么集合 =BACU )( A. }41{ − xx B. }40{  xx C. }50{  xx D. }51{ − xx 2. i 为虚数单位，满足 izi += 2 的复数 z 的虚部是 A.1 B．i C． 2− D． 2i− 2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第2页 共 8 页 3. 3 4 2 3       − xx 的展开式中的常数项为 A． 33− B． 33 C． 9− D．9 4. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容 异”．意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个 几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为 3 ，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为 A． 3 3 B．1 C． 3 D． 32 5. 某商场每天的食品销售额 x (万元)与该商场的总销售额 y (万元)具有相关关系, 且回 归方程为 4.27.9ˆ += xy . 已知该商场平均每天的食品销售额为 8 万元, 估计该商场 平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为. A. 10 1 B. 9 1 C. 8 1 D. 7 1 6. 已知 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，且 3S 是 4S 与 5S 的等差中项，则数列 na 的公 比为 A． 2− B． 2 1− C． 2 1 D． 2或1 7. 某地区有 10 000 名高三学生参加了网上模拟考试, 其中数学分数服从正态分布 )9,120(N , 成绩在( 126,117 之外的人数估计有 （附：若 X 服从 ),( 2N ，则 =+− )(  XP 0.682， =+− )22(  XP 0.954 5） A． 1814 人 B．3 173 人 C． 5 228 人 D．5 907 人 2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第3页 共 8 页 8. 以 ( ) ( )122,0 , 2,0FF− 为焦点的椭圆与直线 2 2 0xy− + = 有公共点，则满足条 件的椭圆中长轴最短的为（ ） A. 22 164 xy+= B. 2 2 13 x y+= C. 22 153 xy+= D. 22 142 xy+= 9. 已知某同学每次射箭射中的概率为 p ，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭 3 次射中多于 1 次的概率为0.784 , 则 =p A. 5.0 B. 6.0 C. 7.0 D. 8.0 10. 已知函数 xy 2log= 和函数 )2(log 2 −= xy 的图象分别为曲线 21,CC , 直线 ky = 与 21,CC 分别交于 NM , 两点, P 为曲线 1C 上的点. 如果 PMN 为正三角形, 则实 数 k 的值为 A. )12(log 3 2 − B. )12(log 3 2 −− C. 2 1 3 )12( − D. 2 1 3 )12( −− 11. 将一枚骰子抛掷 3 次, 则最大点数与最小点数之差为 3 的概率是 A. 3 1 B. 4 1 C. 5 1 D. 6 1 12. 已知函数 ( )    + ++− = 0,1)ln( 0,11 xx ex xx xf ，若方程  )00)()( 2 =+− nnxmfxf （ 有 7 个 不同的实数解，则 23mn的取值范围 A . ( )6,2 B. ( )96， C. ( )21,2 D.( )13,4 2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第4页 共 8 页 2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 已知函数 mxxxf −−= cos)6 5cos(4)(  在     2,0  上有两个不同的零点, 则实数 m 的取值范围是______________. 14. 已知点 P 为圆( ) ( )226 8 1xy− + − = 上任一点， 12,FF分别为椭圆 22 143 xy+=的两 个焦点，求 12PF PF 的取值范围______________________． 15. 若直线 y kx b=+是曲线 lnyx= 的切线，也是曲线 2xye−= 的切线，则 k = ________. 16. 已知双曲线 22 221( 0, 0)xy abab− =   的焦距为 2c ， 12,AA是实轴顶点，以 12AA 为直 径的圆与直线 0bx cy bc+ − = 在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率 的 取值范围是_________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ，且 caAb =+ 2 3cos ． （1）若 2cossinsin 2 ACB = ，求C 的大小； （2）若 AC 边上的中线 BM 的长为 31+ ，求 ABC 面积的最大值． 2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第5页 共 8 页 18.（本小题满分 12 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 ABCDP − 中， ⊥PA 平面 ABCD ， 1== CDAD , = 120ADC ， 3=== BCABPA , 点 M 是 AC 与 BD 的交点． (1) 求二面角 BPCA −− 的余弦值； (2) 若点 N 在线段 PB 上且 MN∥ 平面 PDC ，求直线 MN 与平面 PAC 所成角的 正弦值． 19. （本小题满分 12 分） 哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔, 并且有非常明确的判断一盒粉笔是 “优质产品”和“非优质产品”的方法. 某品牌的粉笔整箱出售, 每箱共有 20 盒, 根 据以往的经验, 其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品. 并且每 箱含有 0, 1, 2 盒非优质产品粉笔的概率为 7.0 , 2.0 和 1.0 . 为了购买该品牌的粉笔, 校总务主任设计了一种购买的方案: 欲买一箱粉笔, 随机查看该箱的 4 盒粉笔, 如果 没有非优质产品, 则购买, 否则不购买. 设 “买下所查看的一箱粉笔” 为事件 A ， “箱中有i 件非优质产品”为事件 )2,1,0( =iBi . (1) 求 )( 0BAP , )( 1BAP , )( 2BAP ; (2) 随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒, 设 X 为非优质产品的盒数, 求 X 的分布 列及期望; (3) 若购买 100 箱该品牌粉笔, 如果按照主任所设计方案购买的粉笔中, 箱中每盒粉 笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期 望大 10, 则所设计的方案有效. 讨论该方案是否有效. A B C D P M N 2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第6页 共 8 页 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 + m 2lnf x x x x=+. （1）讨论 ( )fx在定义域内的极值点的个数； （2）若对 0x , ( ) 22 3 0xf x e x− −  恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）证明：若 (0, )x + ，不等式 2 1( 1) 1 0xe x e x x+ − + + −  成立. 2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第7页 共 8 页 21.（本小题满分 12 分） 过 x 轴 正 半 轴 上 一 点 ( ),0Mm 做 直 线 与 抛 物 线 2:E y x= 交 于 ( ) ( )1 1 2 2 1 2, , , ,( 0 )A x y B x y y y 两点，且满足0< 2OA OB ，过定点 ( )4,0N 与 点 A 做直线 AC 与抛物线交于另一点C ，过点 ( )4,0N 与点 B 做直线 BD 与抛物线 交于另一点 D .设三角形 AMN 的面积为 1S ，三角形 DMN 的面积为 2S . （1）求正实数 m 的取值范围； （2）连接 ,CD两点，设直线CD 的斜率为 0k ; （i）当 4 3m = 时，直线 AB 在 y 轴的纵截距范围为 84,33 −− ， 则求 0k 的取值范围； （ii）当实数 m 在（1）取到的范围内取值时，求 2 1 S S 的取值范围. 2020 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第8页 共 8 页 请考生在第 22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 2 3 cos ( 6 sin x y     = = 为参数），以原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为 ）为参数（      += += t ty tx , 2 23 2 21 . （1）写出曲线 C 的极坐标方程以及直线l 的普通方程； （2）若点 (1 3)A ， ，直线 l 与曲线 C 交于 QP, 两点，弦 QP, 的中点为 M ，求 AP AQ AM  的值． 23. （本小题满分 10 分） 设函数 ( ) 1 3f x x x= + + − . （1）求 ( ) 5fx 的解集; （2）若 , ( )x R f x m  使 恒成立的 m 的最大值为 n.正数 ,ab满足 11 23na b a b+=++ ，求34ab+ 的最小值.