4.5月考试卷.pdf

高三数学（理） 第 1 页(共 8 页) 高三数学（理） 第 2 页(共 8 页) 密 封 线 学校 班级 姓名 学号 密 封 线 内 不 得 答 题 太原五中 2019—2020 学年度第二学期 4 月模拟考试（一） 高 三 数 学（理） 命题、校对：张福兰 王 琪 (2020.4.5) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个正确选项。 1.已知集合 1{ | ( ) 1}2 xAx， 2{ | 2 8 0}B x x x    ，则 AB （ ） A．{ | 2 0}xx   B．{ | 2 4}xx C．{ | 0 4}xx D．{ | 2}xx 2.若复数 1z ， 2z 在复平面内对应的点关于 y 轴对称，且 1 2zi，则复数 1 2 z z 在复平面 内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.下列关于命题的说法错误的是（ ） A. 命题“若 2 3 2 0xx   ，则 2x  ”的逆否命题为“若 2x  ，则 2 3 2 0xx   ”； B. “ 2a  ”是“函数 ( ) logaf x x 在区间(0, ) 上为增函数”的充分不必要条件 C. 若命题 : ,2 1000np n N   ，则 : ,2 1000np n N    ； D. 命题“  ,0 ,2 3xxx   ”是假命题. 4. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前 300 年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算 法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示 a 除以b 的余数）， 若输入的 , 分别为 675,125，则输出的 =（ ） A. 0 B. 25 C. 50 D. 75 5. 已知公差不为 0 的等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2 5 9,,a a a 成等比数列， 则 5 7 7 5 S S  （ ） A. 5 7 B. 7 9 C. 10 11 D. 11 23 6.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜 的概率均为 2 3 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三 局的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 4 5 7. 已知函数 ( ) sin ( 0)f x x ，满足 3( ) ( )44ff ，且在 3[ , ]44 内恰有 一个最大值点和一个最小值点，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示， 该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 43的正方体的六个面所截后 剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为 4 ， 则该球的半径是（ ） A. 2 B. 4 C. 26 D. 46 9．已知 AB 是圆  2 2: 1 1C x y   的直径，点 P 为直线 10xy   上任意一点，则 PA PB   的最小值是（ ） A．1 B．0 C． 2 D． 21 10.已知直线  0y kx k与双曲线   22 221 0, 0xy ab ab     交于 A ，B 两点，以 AB 为直 径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若 ABF△ 的面积为 24a ，则双曲线的离心率为 （ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 高三数学（理） 第 3 页(共 8 页) 高三数学（理） 第 4 页(共 8 页) 密 封 线 内 不 得 答 题 11. 数列 na 满足 111, ( 1) ( 1)nna na n a n n     ，且 nnba cos 2 3 n ，记 nS 为数 列 nb 的前n 项和，则 24S  ( ) A. 294 B. 174 C. 470 D. 304 12.已知以 4 为周期的函数 ()fx满足，当 13x   时 21 , ( 1,1]() 1 | 2 |, (1,3] m x xfx xx         ， 其中 0m  ，若方程3 ( ) 0f x x恰有 5 个根，则实数 m 的取值范围是（ ） A. 4 ,73   B. 48,33   C. 15 ,73   D. 15 8,33   二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知 ()fx为奇函数，当 0x  时， ( ) ln 3f x x x，则 ( 1)f  的值为 14.设实数 ,xy满足 20 2 5 0 20 xy xy y          ，则 yu x 的取值范围是_________． 15.二项式 1 ( 0, 0) n ax a bbx    的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，且展开 式中的第 3 项的系数是第 4 项的系数的 3 倍，则 ab 的值为________. 16.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 F 是线段 1BC 上的动点，则下列说法正确的是 （填序号） ①无论点 F 在 上怎么移动，都有 11A F B D ②无论点 F 在 1BC 上怎么移动，异面直线 1AF与 CD 所成 角都不可能是 30º ③当点 F 移动至 1BC 中点时，直线 与平面 1BDC 所成角最大. ④当点 F 移动至 1BC 中点时，才有 与 1BD 相交于一点，记为点 E，且 1 2AE EF  三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ 3 cosA=0, 27a  , 2b  . （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积． 18.（12 分） 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E 在 AB 上,AE=2EB=2,且 DE⊥AB.以 DE 为折 痕把 ΔADE 折起，使点 A 到达点 F 的位置，且∠FEB=60º （1）求证：平面 BFC⊥平面 BCDE； （2）若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 15 5 ，求二面角 E-DF-C 的正弦值． 高三数学（理） 第 5 页(共 8 页) 高三数学（理） 第 6 页(共 8 页) 密 封 线 学校 班级 姓名 学号 密 封 线 内 不 得 答 题 19.（12 分） 已知圆 C： 221( 1) 4xy   ，一动圆与直线 1 2x  相切且与圆 C 外切． （1）求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程； （2）若经过定点 (6,0)Q 的直线 l 与曲线 T 相交于 A、B 两点，M 是线段 AB 的中点， 过 M 作 x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N，试问是否存在直线 l，使得 NA⊥NB，若存 在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由． 20.（12 分） 已知函数 () mxf x xe . （1）若函数 ()fx的图象在点 ( 1, ( 1))f 处的切线平行于 x 轴，求函数 ()fx 在 [ 2,2] 上的最小值； （2）若关于 x 的方程 1()fx x 在 (0, ) 上有两个解，求实数 m 的取值范围． 21. （12 分） 冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重 急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV） 是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸 道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性 呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡． 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 *()n n N 份血液样本， 有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验 n 次． 方式二：混合检验，将其中 *( 2)k k N k且 份血液样本分别取样混合在一起检 验，若不是阳性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪 几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 1k  . 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结果的概率为 (0 1)pp.现取其中 份血液样 本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1 ，采用混合检验方式，样本需 要检验的总次数为 2 （1）若 12( ) ( )EE ，试求 p 关于 k 的函数关系式 ()p f k ； （2）若 与干扰素计量 nx 相关，其中 12, , ( 2)nx x x n ， 是不同的正实数，满足 1 1x  且 *( 2)n N n   都有 1 22 2 13 22 1 2 2 3 1 2 1 1 1 1()n n nn xxxex x x x x x x x      成 立． （i）求证：数列{}nx 为等比数列； （ii）当 3 4 11p x  时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值 比逐份检验的总次数的期望值更少，求 k 的最大值． （ln 4 1.3863,ln5 1.6094） （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做第 一题记分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 1 cos 1 cos (2sin 1 cos x y           为参数） .以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 00( ( ), )= R    0, ， 将曲线 C1 向左平移 2 个单位长度得到曲线 C． （1）求曲线 C 的普通方程和极坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 11 | | | |OA OB 的取值范围． 23.（10 分）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 高三数学（理） 第 7 页(共 8 页) 高三数学（理） 第 8 页(共 8 页) 密 封 线 内 不 得 答 题 已知函数 ( ) | 2 7 | | 2 5|f x x x    ． （1）解不等式 ( ) 6fx ； （2）设函数 ()fx的最小值为 m，已知 a，b 为正实数，且 221max{ , }abk a b a b   ， 证明： 2 1km