提分专练02　与二次函数相关的长度、面积问题.docx

提分专练(二)　与二次函数相关的长度、面积问题 ‎|类型1|　二次函数与线段、周长的有关问题 ‎1.已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).‎ ‎(1)求抛物线的对称轴.‎ ‎(2)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标.‎ ‎(3)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的一个点,且CD∥x轴,若四边形ABCD的面积为9,求D点坐标.‎ 图T2-1①‎ ‎(4)求此抛物线的解析式.‎ ‎(5)点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5∶2的点,如果点E在(4)中的抛物线上,且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧,求E点的坐标.‎ 图T2-1②‎ ‎(6)在此抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图T2-1③‎ ‎(7)若点H是抛物线上位于AD下方的一点,过点H作y轴的平行线,交AD于点K,设点H的横坐标为h,线段HK=d.‎ ‎①求d关于h的函数关系式;‎ ‎②求d的最大值及此时H点的坐标.‎ 图T2-1④‎ ‎|类型2|　二次函数与面积的有关问题 ‎2.如图T2-2①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ 图T2-2①‎ ‎(2)若在抛物线上存在点M,使得△MAB的面积与△ABC的面积相等,求点M的坐标.‎ ‎(3)设抛物线的顶点为D,求D点的坐标.‎ ‎(4)在(3)的条件下,连接CD,BD,求四边形ACDB和△CBD的面积.‎ 图T2-2②‎ ‎(5)在直线BC上方的抛物线上求一点N,使△NBC的面积为1.‎ 图T2-2③‎ ‎(6)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC的面积最大.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.解:(1)抛物线y=ax2+4ax+m的对称轴为直线x=-2.‎ ‎(2)因为该抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),且对称轴为直线x=-2,‎ 所以抛物线与x轴的另一个交点为B(-3,0).‎ ‎(3)由题意可知点D的坐标为(0,m),‎ 根据抛物线的对称性,可知点C的坐标为(-4,m),‎ S四边形ABCD=‎1‎‎2‎(AB+CD)·OD=‎1‎‎2‎×(2+4)m=9,‎ 解得m=3,‎ 所以点D坐标为(0,3).‎ ‎(4)因为A(-1,0),B(-3,0),所以设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x+1),‎ 因为点D(0,3)在抛物线上,‎ 所以3=3a,解得a=1,‎ 所以抛物线的解析式为y=x2+4x+3.‎ ‎(5)由点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5∶2的点,可设点E的坐标为(-2n,5n),‎ 因为点E在抛物线y=x2+4x+3上,‎ 所以5n=4n2-8n+3,解得n=‎1‎‎4‎或n=3.‎ 当n=‎1‎‎4‎时,点E-‎1‎‎2‎,‎5‎‎4‎;‎ 当n=3时,点E(-6,15)(不符合题意,舍去).‎ 故点E的坐标为-‎1‎‎2‎,‎5‎‎4‎.‎ ‎(6)存在.点A关于对称轴直线x=-2对称的点为点B,△PAE的周长=PE+AP+AE=PE+PB+AE,AE的长为定值,要使△PAE的周长最小,即使PB+PE最小,根据两点之间线段最短,可知连接BE,BE与对称轴的交点即为点P(如图),‎ 设过点B(-3,0)和点E-‎1‎‎2‎,‎5‎‎4‎的直线为y=kx+b,‎ 则‎5‎‎4‎‎=-‎1‎‎2‎k+b,‎‎0=-3k+b,‎解得k=‎1‎‎2‎,‎b=‎3‎‎2‎.‎ 所以直线BE的解析式为y=‎1‎‎2‎x+‎3‎‎2‎,‎ 当x=-2时,y=‎1‎‎2‎,所以点P的坐标为-2,‎1‎‎2‎.‎ ‎(7)①设过点A(-1,0),D(0,3)的直线的解析式为y=k1x+b1,则‎-k‎1‎+b‎1‎=0,‎b‎1‎‎=3,‎ 解得k‎1‎‎=3,‎b‎1‎‎=3,‎∴直线AD的解析式为y=3x+3,‎ 当x=h(-1≤h≤0)时,‎ d=(3h+3)-(h2+4h+3)=-h2-h.‎ ‎②d=-h2-h=-h2+h+‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎=-h+‎1‎‎2‎2+‎1‎‎4‎.‎ 当h=-‎1‎‎2‎时,d有最大值‎1‎‎4‎.‎ 当h=-‎1‎‎2‎时,y=h2+4h+3=‎5‎‎4‎,‎ 所以H-‎1‎‎2‎,‎5‎‎4‎.‎ ‎2.解:(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,1)分别代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=0,‎‎9a+3b+c=0,‎c=1,‎解得a=-‎1‎‎3‎,‎b=‎2‎‎3‎,‎c=1,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-‎1‎‎3‎x2+‎2‎‎3‎x+1.‎ ‎(2)当y=1时,-‎1‎‎3‎x2+‎2‎‎3‎x+1=1,‎ 解得x1=0(舍去),x2=2;‎ 当y=-1时,-‎1‎‎3‎x2+‎2‎‎3‎x+1=-1,‎ 解得x3=1+‎7‎,x4=1-‎7‎.‎ ‎∴符合条件的M点坐标是(2,1),(1+‎7‎,-1),(1-‎7‎,-1).‎ ‎(3)y=-‎1‎‎3‎x2+‎2‎‎3‎x+1=-‎1‎‎3‎(x-1)2+‎4‎‎3‎,‎ ‎∴D点坐标为1,‎4‎‎3‎.‎ ‎(4)设抛物线对称轴与x轴的交点为E.OA=1,OB=3,OC=1,DE=‎4‎‎3‎,OE=1,‎ S四边形ACDB=S△AOC+S四边形COED+S△BDE=‎1‎‎2‎×1×1+‎1‎‎2‎×1+‎4‎‎3‎×1+‎1‎‎2‎×2×‎4‎‎3‎=‎1‎‎2‎‎+‎7‎‎6‎+‎‎4‎‎3‎=‎3+7+8‎‎6‎=3.‎ S△CBD=S四边形ACDB-S△ABC=3-‎1‎‎2‎×4×1=1.‎ ‎(5)∵B(3,0),C(0,1),‎ ‎∴直线BC的解析式为y=-‎1‎‎3‎x+1,‎ 作NF⊥x轴于点F,交直线BC于H,‎ 设Nx,-‎1‎‎3‎x2+‎2‎‎3‎x+1,‎ 易得Hx,-‎1‎‎3‎x+1.‎ ‎∴NH=-‎1‎‎3‎x2+‎2‎‎3‎x+1--‎1‎‎3‎x+1=-‎1‎‎3‎x2+x.‎ ‎∴S△NBC=S△NHC+S△NHB=‎1‎‎2‎NH(xB-xC)=‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎x2+x(3-0)=-‎1‎‎2‎x2+‎3‎‎2‎x.‎ ‎∵S△NBC=1,∴-‎1‎‎2‎x2+‎3‎‎2‎x=1,∴x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.‎ ‎∴N11,‎4‎‎3‎,N2(2,1).‎ ‎(6)由题意可知P点横坐标x满足0