提分专练04　解直角三角形的应用.docx

提分专练(四)　解直角三角形的应用 ‎|类型1|　仰角、俯角问题 ‎1.[2019·天津]如图T4-1,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).‎ ‎(参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)‎ 图T4-1‎ ‎2.[2019·永州]为了测量某山(如图T4-2所示)的高度,甲在山顶A测得C处的俯角为45°,D处的俯角为30°,乙在山下测得C,D之间的距离为400米.已知B,C,D在同一水平面的同一直线上,求山高AB.(可能用到的数据:‎2‎≈1.414,‎3‎≈1.732)‎ 图T4-2‎ ‎|类型2|　坡度、坡角问题 ‎3.[2019·潍坊]自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多.为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如图T4-3①所示的坡路进行改造.如图②所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1∶‎3‎.将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1∶4.求斜坡CD的长.(结果保留根号)‎ 图T4-3‎ ‎4.[2019·天水]某地的一座人行天桥如图T4-4所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,文化墙PM在天桥底部正前方8米(PB的长)处,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶‎3‎.(参考数据:‎2‎≈1.414,‎3‎≈1.732)‎ ‎(1)若新坡面坡角为α,求坡角α的度数;‎ ‎(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.‎ 图T4-4‎ ‎|类型3|　方位角问题 ‎5.[2019·海南]图T4-5是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.‎ ‎(1)填空:∠BAC=　　　　度,∠C=　　　　度; ‎ ‎(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).‎ 图T4-5‎ ‎6.[2019·资阳]如图T4-6,南海某海域有两艘外国渔船A,B在小岛C的正南方向同一处捕鱼.一段时间后,渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处.‎ ‎(1)求渔船B航行的距离;‎ ‎(2)此时,在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船,其中B渔船在点D的南偏西60°方向,A渔船在点D的西南方向,我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域.请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离.(注:结果保留根号)‎ 图T4-6‎ ‎|类型4|　实物模型类问题 ‎7.[2019·嘉兴]某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图T4-7①,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图②).工作时如图③,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线上时,斗杆顶点D升至最高点(示意图④).‎ ‎(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数;‎ ‎(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米?(精确到0.1米)‎ ‎(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,‎3‎≈1.73)‎ 图T4-7‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.解:根据题意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30,‎ ‎∵在Rt△ACD中,tan∠CAD=CDAD,‎ ‎∴AD=CDtan31°‎.‎ ‎∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=CDBD,‎ ‎∴BD=CDtan45°‎=CD,‎ ‎∵AD=BD+AB,‎ ‎∴CDtan31°‎=30+CD,∴CD=45.‎ 答:这座灯塔的高度CD约为45 m.‎ ‎2.解:由题意知:∠ACB=45°,∠ADB=30°,‎ 设AB=x,则BC=x,‎ 在Rt△ABD中,tan∠ADB=ABBD,‎ ‎∴tan30°=xx+400‎,‎ ‎∴‎3‎‎3‎=xx+400‎,‎ 解得x=200‎3‎+200≈546.4.‎ 答:山高AB为546.4米.‎ ‎3.解:在Rt△ABE中,‎ ‎∵tan∠ABE=1∶‎3‎,‎ ‎∴∠ABE=30°.‎ ‎∵AB=200米,‎ ‎∴AE=‎1‎‎2‎AB=100米.‎ ‎∵AC=20米,‎ ‎∴CE=100-20=80(米).‎ 在Rt△CDE中,‎ ‎∵tanD=1∶4,‎ ‎∴sinD=‎17‎‎17‎.‎ ‎∴CECD=‎17‎‎17‎.‎ ‎∴CD=80‎17‎(米).‎ 答:斜坡CD的长是80‎17‎米.‎ ‎4.解:(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1∶‎3‎,‎ ‎∴tanα=‎1‎‎3‎=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴α=30°.‎ ‎(2)该文化墙PM不需要拆除.‎ 理由:作CD⊥AB于点D,则CD=6米,‎ ‎∵新坡面的坡度为1∶‎3‎,‎ ‎∴tan∠CAD=CDAD=‎6‎AD=‎1‎‎3‎,‎ 解得AD=6‎3‎(米),‎ ‎∵坡面BC的坡度为1∶1,CD=6米,‎ ‎∴BD=6米,‎ ‎∴AB=AD-BD=(6‎3‎-6)米,‎ 又∵PB=8米,‎ ‎∴PA=PB-AB=8-(6‎3‎-6)=14-6‎3‎≈14-6×1.732≈3.6(米)>3米,‎ ‎∴该文化墙PM不需要拆除.‎ ‎5.解:(1)30　45　[解析]∵小岛C在码头A的北偏西60°方向上,‎ ‎∴∠BAC=30°,‎ 在△ABC中,∠ABC=90°+15°=105°,‎ ‎∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°.‎ ‎(2)设BP=x海里,则在Rt△BCP中,CP=BP=x,‎ 在Rt△ABP中,AP=‎3‎BP=‎3‎x,‎ ‎∵AC=10,∴‎3‎x+x=10,‎ ‎∴x=5‎3‎-5.‎ 答:观测站B到AC的距离为(5‎3‎-5)海里.‎ ‎6.解:(1)由题意得,∠CAB=30°,∠ACB=90°,BC=20,‎ ‎∴AB=2BC=40海里.‎ 答:渔船B航行的距离是40海里.‎ ‎(2)如图,过B作BE⊥AE于E,过D作DH⊥AE于H,延长CB交DH于G,‎ 则四边形AEBC和四边形BEHG都是矩形,‎ ‎∴BE=GH=AC=20×‎3‎=20‎3‎,AE=BC=20,‎ 设BG=EH=x,则AH=x+20,‎ 由题意得,∠BDG=60°,∠ADH=45°,‎ ‎∴DG=‎3‎‎3‎x,DH=AH,‎ ‎∴20‎3‎‎+‎‎3‎‎3‎x=x+20,解得:x=20‎3‎,‎ ‎∴BG=20‎3‎,AH=20+20‎3‎,‎ ‎∴BD=BG‎3‎‎2‎=40,AD=‎2‎AH=20‎2‎+20‎6‎.‎ 答:中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里,到外国渔船A的距离是(20‎2‎+20‎6‎)海里.‎ ‎7.解:(1)如图①,过点C作CG⊥AM于点G,‎ ‎∵AB⊥AM,DE⊥AM,∴AB∥DE∥CG,‎ ‎∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.‎ ‎∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=30°.‎ ‎∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.‎ ‎∴动臂BC与AB的夹角∠ABC为150°.‎ ‎(2)如图②,过点C作CP⊥DE于点P,过点B作BQ⊥DE于点Q,交CG于点N.‎ 在Rt△CPD中,DP=CD·cos70°≈0.51(米),‎ 在Rt△BCN中,CN=BC·sin60°≈1.04(米),‎ ‎∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35(米),‎ 如图③,过点D作DH⊥AM于点H,过点C作CK⊥DH于点K.‎ 在Rt△CKD中,DK=CD·sin50°≈1.16(米),‎ ‎∴DH=DK+KH=3.16(米),‎ ‎∴DH-DE≈0.8(米).‎ ‎∴斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.‎