2020年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）预测卷数学试题.pdf

2020 年普通高等学校全国统一招生考试 (江苏卷)预测卷 数学 I 参考公式: 1. 样本数据 12, , , nc x xL 的方差 22 1 1 () n i i s x xn   ,其中 1 1 n i i xxn    ; 2.圆柱的体积 V=Sh,其中 S 是圆柱的底面圆面积,h 是高. 一､填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A={x|x 0 时, 2( ) log 3f x x,则 f(f(-16))的值为_____ 9.某品牌汽车4S店一年销售汽车4000辆,每次从汽车公司购置x辆,运费为4万元/次,一年的总储存费用为0.4x 万元.要使一年的总运费与总储存费用之和最小的,则 x 的值为_____. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 2 20y px p的准线 1 与双曲线 2 2 2 1x yaa  >0 的两条渐 近线围成等边三角形,且面积为 3,则 p+a=_____. 11.如图,在正四棱柱形容器内盛有水和相同高度的实心圆柱(其中圆柱底面内切于正四棱柱底面,水面恰与正 四棱柱上底面齐平),将实心圆柱拿去后,则水面高度与正四棱高度比为____. (不计水的损耗) 12.如图,△ABC 中, M 为 AB 中点, AB=5, CM=3, EF 为圆心为 C,半径为 1 的圆的动直径,则 BE AF uuur uuur 的取值范 围是_____ 13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 22 1 :4O x y与圆 2 2 2 2 :( 4) ( 0)O x y r r    ,在圆 2O 上存在点 Q,过 点 Q 作圆 1O 的切线,切点为 P, N,使得 5 ,9QP QN uuur uuur 则实数 r 的最小值为___. 14.已知函数 3 , 1,() , 1, x a xfx x ax x    若函数 y=f[f(x)]恰有 5 个不同零点,则实数 a 的取值范围是____. 二､解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边作两个钝角α ,β ,它们的终边分别与单位圆交于 A,B 两点.已 知 A,B 的横坐标分别为 3 10 2,.10 10 求: (1) cos( α-β )的值; (2) 2α-β 的值. 16. (本小题满分 14 分) 如图,三棱锥 P- ABC 中,已知 PA⊥底面 ABC,AC⊥BC,且 PA= AC,点 E, F 分别是棱 PC,PB 的中点. (1)求证:AE⊥BC ; (2)点 G 为棱 AB 上一点,满足 2,GB GA 求证:AE //平面 CFG. 17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 22 221( 0),xy abab    圆C: 2 22( ) .4 bx y b   A, B 分别为椭圆的左 ､右顶点,直线 AC 交圆 C 于 D, P 两点(D 在线段 AC 上),且 2.AD DC uuur uuur (1)求椭圆的离心率; (2)直线 BP 与椭圆相交于点 Q, 直线 AQ 被圆 C 截得弦长为 6 ,3 求椭圆的标准方程. 18. (本小题满分 16 分) 如图为某野生动物园一角,∠MOK 内区域为陆地动物活动区,∠NOK 内区域为水上动物活动区.为满足游客游 览需要,现欲在 OM,ON 上分别选一处 A,B,修建一条贯穿两区域的直路 AB, AB 与 KO 相交于点 P.若 PA 段,PB 段每 百米修路费用分别为 1 万元和 2 万元,已知∠NOK=30°,OM⊥OK, OP=2 百米,设∠PAO=α. (1)试将修路费用表示为α 的函数 ()S  (2)求修路费用 ()S  的最小值. 19. (本小题满分 16 分) 设等差数列{}na 的前 n 项和为 ,nS 且 7 1 46 , 54.a a S (1)求数列{}na 的通项公式; (2)是否存在正整数 m, k,使得 31, 1, 1m m ka a a   依次成等比数列?并说明理由; (3)设数列{}nb 满足 2*1( ) ( ),5 n n abnN 将{}na 和{}nb 中相同的项按照从小到大的顺序依次排列,得到 数列{ },nc 求数列{}nc 的通项公式. 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 y= f(x) 的定义域为 D,若满足∀x∈D,(x-1)f(x)≥0,则称函数 f(x)为“L 型函数”. (1)判断函数 xye 和 y=lnx 是否为“L 型函数”,并说明理由; (2)设函数 f(x)=(x+1)lnx-(x-1)lna (a>0 ),记 ( ) ( ).g x f x ①若函数 g(x)的最小值为 1,求 a 的值; ②若函数 f(x)为“L 型函数”,求 a 的取值范围. 21. [选做题]本题包括 A､B､C 三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题 评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. A.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵记 1040, 101 0 2 AB     记 M=AB,求 1.M B.选修 4 -4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 1, 12 xl yl        (l 为参数)与曲线 cos , cos 2 x y      (θ 为参数)的交点为 A,B, 求线段 AB 的长. C.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知 x, y, z 均是正实数,且 2 2 29 4 36.xyz,求证: x+y+z≤7. [必做题]第 22､23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或 演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图 1,某电视台一档综艺节目的游戏挑战项目“蜂巢迷宫”的道具,游戏规定挑战者必须“蒙眼”进行现简 化模型如图 2 所示,共有 A,B,C,D, E, F 六个房间组成,每个房间各有六扇门分别与相邻房间或与外部相通,假设打开 每扇门都是等可能的.现挑战者从房间 A 出发,要求到达房间 E. (1)求挑战者“打开两扇门完成挑战”的概率; (2)一次游戏中规定“只要走出道具外部或打开超过四扇门(含四扇)挑战失败”,得 0 分;“打开三扇门完成挑 战”,得 1 分,“打开两扇门完成挑战”,得 2 分.挑战者共挑战 1 次,得分设为 X,求随机变量 X 的概率分布和数学期 望 E(X). 23. (本小题满分 10 分) (1)用数学归纳法证明二项式定理: 0 1 1()n n n nna b C a C a b    2 2 2 *,.n r n r r n n n n nC a b C a b C b n    LL N (2)利用二项式定理求证: 2 2 0 () n kn nn k CC  