山东省烟台市招远第一中学2020届高考诊断性测试数学试卷答案.doc

高三数学参考答案 一、单项选择题 ‎1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 6. D 7.A 8.C ‎ 二、多项选择题 ‎9.BC 10.AC 11.BC 12. ABD 三、填空题 ‎ 13. 14. 15. 16. ，‎ 四、解答题 ‎17.解：（1）因为，由正弦定理得 ‎ 所以, …………………………1分 即 ， …………………………2分 又，所以 所以， …………………………3分 而，‎ 所以，‎ ‎ 所以. …………………………4分 ‎ （2）因为 …………………………5分 ‎ 将，，代入，得.…………………………6分 由余弦定理得，‎ 于是， …………………………8分 即 ，解得或. …………………………10分 ‎18.解：设等比数列的公比为（），则，，‎ 于是， …………………………2分 即，解得，（舍去）. …………………………4分 若选①：则，，‎ 解得， …………………………6分 所以， …………………………8分 ‎， …………………………9分 于是……10分 令，解得，因为为正整数，所以的最小值为. ……12分 若选②：则，，解得.‎ 下同①.‎ 若选③：则，，解得.………………6分 于是， ………………8分 ‎， ………………9分 于是 ‎， ………………10分 令，得，‎ 注意到为正整数，解得，所以的最小值为. ………………12分 ‎19.解：（1）证明：延长交于点,点为的中点，‎ 因为分别是棱的中点, ‎ 所以是的中位线，所以， ………………2分 又，，‎ 所以. ‎ 同理可证. ………………3分 又，，‎ 所以平面， ………………4分 因为，所以. ………………5分 ‎（2）连接，因为，是的中点，所以，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.‎ 以为坐标原点，以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向，以与向量垂直的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.………6分 设，则，，， ，‎ ‎，， . ………7分 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得，，于是取 ………9分 又平面的一个法向量为 ，‎ 则，即，‎ 令，得，，‎ 于是取 ………11分 设平面与平面的所成的角二面角的大小为，‎ 则.‎ 所以平面与平面的所成的锐二面角的余弦值为. ………12分 ‎20.解：（1）由调查数据，问卷得分不低于分的比率为 ‎， ‎ 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于分的概率为.……………………2分 不太了解 比较了解 男性 ‎250‎ ‎330‎ 女性 ‎150‎ ‎270‎ ‎（2）由题意得列联表如下：‎ ‎……………3分 的观测值 ………5分 因为5.542 ‎ 所以有的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 ‎（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性人，女性人. ………………7分 随机变量的所有可能取值为，‎ 其中，,,, ………………9分 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ………………10分,‎ 可得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得. ………………12分 ‎21解：（1）‎ 由可得，，‎ 令，则， ………………1分 当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得最大值， ………………3分 要使，只需，‎ 故的取值范围为， ………………4分 显然，当时，有，即不等式在上成立，‎ 令，则有，‎ 所以，‎ 即：； ………………6分 ‎（2）由可得，，即，‎ 令，则， ………………8分 当时，，单调递增，当时，，单调递减，‎ 故在处取得最大值， ………………10分 又当时，，当时，， ………………11分 所以，当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解. ………………12分 ‎22.解：（1）将点的坐标代入椭圆的方程得 ‎，解得，所以椭圆的方程为．……3分 ‎（2）设.因为以为直径的圆恒过点，‎ 所以，即. ………4分 因为点在椭圆上，所以.‎ ‎（i）将代入椭圆，得，，‎ 于是,. ………5分 因为 当且仅当，即时，取等号.‎ 所以的取值范围为. ……………………………………7分 ‎（ii）存在.定圆的方程为. ‎ 假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.‎ 因为，所以直线方程为 ‎，‎ 整理可得， …………………8分 所以到直线的距离，…………………9分 由（i）知，，得，，‎ ‎，注意到，知.‎ 所以，…………………10分 又 ‎， ………………………11分 所以，‎ 因此，直线与圆恒相切.…………………………………………12分