2020年长宁区高三数学在线学习效果评估
参考答案与评分标准
说明：
1．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11． 12．
二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．C 14．B 15．B 16．D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）解：如图，由题意得 ，．
在中，，即该圆锥的高． ……………………3分
由圆锥的体积公式得 ．即该圆锥的体积为 ．……………………6分
（2）解法1：联结，如图所示，
由为线段的中点，得∥，
所以异面直线与所成的角就是直线与
所成的角． …………………3分
因为，
所以 ，．
在中，，
所以为等边三角形，即 ． …………………………………6分
因此异面直线与所成的角的大小为 ． ………………………………8分
4
解法2：以为坐标原点，以、、为 轴、轴、轴的正半轴，建立如图所示的
空间直角坐标系，可得，，，， ………2分
因为为线段的中点， 得，
所以，．…………………4分
设直线与所成的角为，向量与的夹角为，
则，……………6分
又 ，所以．
即异面直线与所成的角的大小为．………8分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）由，得 ，
因为为的内角，所以 ．……………………………………………………3分
由余弦定理得
所以 ． ………………………………………………………6分
（2）由题意得
………………………………………4分
………………………………………6分
因为，所以的最大值为 ． ………………………………………8分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）由题意，(单位：天)时刻后水中含有物质N的量为
． ………………………………………2分
解，得． …………………………………………4分
4
所以若在水中首次投放个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用天．……………6分
（2）设第（）天水中所含物质N的量为 mol/L，
则 ……………………………4分
…………………6分
当且仅当 ，即 时，等号成立．即当时，．
所以第天至第天，水中所含物质N的量始终不超过 mol/L． …………………8分
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
解：（1）由题意得 ，， …………………………………2分
解得 ，，
所以所求椭圆的方程为 . …………………………………4分
（2）由题意点的坐标为 ，设点.
因为， 所以， …………………………3分
又
解得 或 或 （舍去）
所以所求点的坐标为 或. ……………………………6分
（3）设 ，，直线的方程为.
由方程组 ，得 .
所以， ……………………2分
直线的方程为 ，得
直线的方程为 ，得 ………………4分
所以
因为，得，
所以为定值 . ………………………6分
4
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
（1）解：数列具有“性质” ． …………………………………1分
设数列的公比为，则，. …………………………………2分
对任意正整数，，
因为 ，所以.
所以数列具有“性质”. ……………………………………4分
（2）证明：由已知 ……………………………………1分
①若，则，，
所以不存在正整数，使得； ……………………………………3分
②若，则当时，，
，所以不存在正整数，使得；
综上，当时，数列不具有“性质” …………………………………6分
（3）解：设数列的公差为，则 .
由已知，对任意，都存在正整数，使得，
即 ，
所以，且 ① …………………………2分
对任意，设，，,
所以 ，得 ，
因此 ② ……………………4分
由（2）知，又由①、②可得或. ………………………………6分
当时，，，不满足要求，
所以，.
可以验证满足要求. …………………………………………8分
4
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