【参考答案】2020届江苏省南通市高三年级第三次模拟考试高考全真冲刺模拟卷 数学试题 .pdf

数学（答案全解全析）第 1 页（共 12 页） 绝密★启用前 2020 届江苏省南通市高三年级第三次模拟考试高考全真冲刺模拟卷 数学 参考答案与解析 数学Ⅰ卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1. (本小题满分 5 分) 【答案】4 2. (本小题满分 5 分) 【答案】 5 ； 3. (本小题满分 5 分) 【答案】50 4. (本小题满分 5 分) 【答案】( 0)， 5. (本小题满分 5 分) 【答案】12 6. (本小题满分 5 分) 【答案】3 7. (本小题满分 5 分) 【答案】 22 15 20 yx  8. (本小题满分 5 分) 【答案】 23 3 【解析】对于椭圆，显然 31, 2 cb a，所以椭圆方程为 2 2 14 x y，设 00( , )N x y ，则由 AN NM 得 00(2 1,2 )M x y ．因为点 M 在双曲线上，点 N 在椭圆上，所以 2 20 0 14 x y， 2 20 0 (2 1) 414 x y ， 解得， 00 1 ,32xy   ，故直线l 的斜率 23 3k  ． 9. (本小题满分 5 分) 数学（答案全解全析）第 2 页（共 12 页） 【答案】 1 3 解析一：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－1 2＝sin xcosx＋cos2x－1 2＝1 2sin 2x＋1＋cos 2x 2 －1 2＝1 2sin 2x＋1 2 cos 2x＝ 2 2 sin 2x＋π 4 ，因为 2() 6f  ，所以 1sin(2 )43    ，所以 1cos( 2 ) cos (2 ) sin(2 )4 2 4 4 3              。 解析二：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－1 2＝sin xcosx＋cos2x－1 2＝1 2sin 2x＋1＋cos 2x 2 －1 2＝1 2sin 2x＋1 2 cos 2x， 因为 2() 6f  ，所以 sin 2α＋cos 2α＝ 2 3 ， 所以  2 2 2 1cos( 2 ) cos cos2 sin sin 2 cos2 sin 24 4 4 2 2 3 3                。 10. (本小题满分 5 分) 【答案】 (0 2)， 【解析】 10 () 4102 x fx xx      ≥， ， ， ， 所以 )(xf 在 ( 0)， 上单调递增，在[0 )， 上为常数函数，则 2 2 22 20 x x x xx      ， 解得 20  x ． 11. (本小题满分 5 分) 【答案】 1sin 【 解析】 由 题 可 知 sin 0x ax b   恒成立，即sinx ax a a b   恒 成 立 ， 令 g( ) sinx x ax a   ， 所以 g ( ) cos 0x x a   ，所以 在 ]1,1[ 上 是 减 函 数 ， 所 以 1sin)1(  gba ， 即 ab 的最大值为 1sin ． 12. (本小题满分 5 分) 【答案】 2 4 数学（答案全解全析）第 3 页（共 12 页） 【解析】设 35 21 15 1 kCA AB AB BC BC CA       ，所以 35 , 21 , 15 , CA AB k AB BC k BC CA k       所以 cos 35 , cos 21 , cos 15 , bc A k ac B k ab C k    即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 35 , 21 , 15 , a b c k b c a k c a b k             所以 2 2 2 36 , 50 , 56 , ak bk ck       所以 2 2 2 36 50 56 2cos 242 6 5 2 a b cC ab        ． 13. (本小题满分 5 分) 【答案】 2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意， ( 1 1)B ， ， (7 1)C ， ， 设 ()D x y， ，所以 ( 1 1)AB   ， ， (7 1)AC ， ， ()AD x y ， ， 所以 ( ) ( ) ( )(7 ) 4AB AD AC AD x y x y        ， 即 ( )( 7 ) 4x y y x   ，令 7 x y m y x n    ，则 1 ()8 1 (7 )8 x m n y m n     ，所以 mn=4， 所以 2 2 2 2 2 211( ) (7 ) 50 2 1288AD x y m n m n m n mn         222225 24 10 24 288m n mn    ≥ ． 当且仅当 5m=n= 25 时，AD 取得最小值 ． 14. (本小题满分 5 分) 【答案】1009 【解析】因为偶函数  y f x 满足 ( 2) (2 )f x f x   ，所以 ( 4) ( ) ( )f x f x f x    ， 所以函数 是最小正周期为 4 的偶函数，且在  2,0x 时，   2 1f x x   ， 所以函数 的值域为[﹣3，1]，对任意 xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi） －f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使 xn 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，…，m）取 得最高点，且 f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为 120 nx x x  ≤ ，且        1 2 2 3f x f x f x f x       1 2017nnf x f x   ， 根据 2017 4 504 1   ，相应的 xn 最小值为 1009． C x y A B D （第 14 题） 数学（答案全解全析）第 4 页（共 12 页） A B O D y x 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 （1）因为 ()fx的最小值是－2，所以 A＝2． 又由 的图象经过点 ( ,1)3M  ，可得 ( ) 13f   ， 1sin( )32 ， 所以 236k     或 236k      ， 又 0    ，所以 2  ， 故 ( ) 2sin( )2f x x ，即 ( ) 2cosf x x ． （2）由（1）知 ，又 8() 5f   ， 24() 13f   ， 故 8 242cos ,2cos5 13，即 4 12cos ,cos5 13， 又因为 , (0, )2  ，所以 35sin ,sin5 13， 所以 ( ) 2cos( ) 2(cos cos sin sin )f             4 12 3 5 1262( )5 13 5 13 65     ． 16．(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 （1）在四棱锥 P ABCD 中，因为 90BAD  ， 所以 AB AD ． 又 AB PA ，且 AP PAD AD PAD平面 ， 平面 ， AD AP A ， 所以 AB  平面 PAD． 又 AB  平面 ABCD，所以平面 PAD 平面 ． （2）取 AP 的中点 F，连 EF，BF． 在△PAD 中，EF∥AD，且 1 2EF AD ，又 AD BC∥ ， 1 2BC AD ， 所以 EF∥BC，且 EF BC ，所以四边形 BCEF 为平行四边形， 所以 CE∥BF． 因为CE  平面 PAB， BF  平面 PAB， 所以CE∥平面 PAB ． 17．(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则 (0, 2)D ． （1）小路的长度为OA OB AB，因为 ,OA OB 长为定值， 故只需要 AB 最小即可． 数学（答案全解全析）第 5 页（共 12 页） 作OM AB 于 M ，记OM d ，则 2 2 22 2 4AB OA OM d    ， 又 2d OD ≤ ，故 2 4 2 2 2AB ≥ ， 此时点 D 为 AB 中点． 故小路的最短长度为 4 2 2 (百米)． （2）显然，当广场所在的圆与△ ABO 内切时， 面积最大，设△ 的内切圆的半径为 r ， 则△ 的面积为 11()22ABOS AB AO BO r AB d       ， 由弦长公式 224AB d可得 2 2 4 4 ABd  ，所以 22 2 2 (16 ) 4( 4) AB ABr AB   ， 设 AB x ，则 2 2 2 2 2 (16 ) (4 )() 4 4 4( 4) x x x xr f x xx      （ ） ， 所以 3 2 2 22 2 8 32 2 ( 4 16)'( ) 4( 4) 4( 4) x x x x x xfx xx        ， 又因为0 d OD ≤ ，即02d ≤ ，所以 22 4 2 2,4x AB d     ， 所以 2 2 2 ( 4 16)'( ) 04( 4) x x xfx x     ，所以 max( ) (2 2) 6 4 2f x f   ， 即△ ABC 的内切圆的面积最大值为(6 4 2)． 18．(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 （1） 3AF  ，点 F 与椭圆C 左准线的距离为5， 2 22 3, 5, , ac ac c c a b         解得 2, 3, a b    椭圆 的方程为 22 143 xy． （2）①法一：显然 ( ,0)Aa ， ( ,0)Ba ， ( ,0)Fc ，设 11( , )M x y ， 22( , )N x y ， 则 点 M 在椭圆C 上， 2 2 2 2 2 21 1122(1 ) ( )x by b x aaa      ， 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 MA MB y y y bkk x a x a x a a         (i) ， 设直线 MN : x my c， 与椭圆 22 22: 1( 0)xyC a bab    联立方程组消去 x 得： 2 2 2 2 2 4( ) 2 0a m b y cmb y b    ，其两根为 1y ， 2y ， 2 12 2 2 2 4 12 2 2 2 2 , , cmbyy a m b byy a m b         (*) 1 2 1 2 1 2 1 2 BM BN y y y ykk x a x a my c a my c a           数学（答案全解全析）第 6 页（共 12 页） 12 22 1 2 1 2( )( ) ( ) yy m y y m c a y y c a      ， 将 (*) 代入上式化简得： 4 22()BM BN bkk a a c    (ii) 又 2 MA BNkk (iii) 由 (i) 得： 24 2 2 2 2 () bb a a a c    ， 224 3 0a ac c    ，即 23 4 1 0ee   ，解得 1 3e  或 1e  ， 又 01e， 1 3e ，即椭圆C 的离心率为 1 3 ． 分 法二：显然 ( ,0)Aa ， ( ,0)Ba ， ( ,0)Fc ， 2 MA BNkk ， 设直线 MA 的方程为 ()y k x a，直线 NB 的方程为 2 ( )y k x a， 由 22 22 ( ), 1 y k x a xy ab   得 2 2 2 3 2 4 2 2 2( ) 2 ( ) 0a k b x a k x a k a b     ， 注意到其一根为 xa ，另一根为 3 2 2 2 2 2 a k abx a k b   ， 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2()a k ab kaby k aa k b a k b      ，即 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , )a k ab kabMa k b a k b  ． …… 6 分 同理由 22 22 2 ( ), 1 y k x a xy ab   得 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 44( , )44 a k ab kabN a k b a k b   ． 由 M ， N ， F 三点共线得： //FM FN ，  3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2( )( ) ( ) 044 a k ab kab a k ab kabcca k b a k b a k b a k b          ， 化简得： 2 2 2( 3 )(2 ) 0a c a k b   ， 3ac ， 1 3 ce a   ，即椭圆 的离心率为 ． ②由① 3ac ，又椭圆 C 的焦距为 2， 1c， 3a， 2 2 2 8b a c    ， 由①方法一得 12 2 12 2 16 ,98 64 ,98 myy m yy m         AMN 面积 2 1 2 1 2 1 2 114 ( ) 422S AF y y y y y y      2 2 96 1 ,R98 m mm  令 2 1, Rt m m   ，则 2 96 ,118 tStt ， 2 22 96(1 8 ) 0(1 8 ) tS t   ， 2 96 18 tS t 在[1, ) 为减函数， 数学（答案全解全析）第 7 页（共 12 页） 1t，即 0m  时， max 32 3S  ，即 AMN 面积的最大值为 32 3 ． 19．(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 （1）由条件知 1 3nnbb ，即 2 3nnaa ， 所以数列{}na 的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为 3． 由 1aa ， 3 22aa，所以 31 23aaa    ，即 1a  ， 所以 1 1a  ， 2 2a  ． 所以 2 2 ( 1) ( 1)3 2 3 322n n n n nS n n n                ． （2）① 由 2 nTn ，得 1 21n n nb T T n    （ 2n≥ ）， 由于 1 1b  符合上式，所以 21nbn（ n N ）， 所以 1 21nna a n   ． 所以 1( 1) ( )nna n a n     ，即 1 1( 1) n n an an    ， 所以数列 ( 1)nan 为等比数列，且公比为 1 ， 因为 1 0aa，所以 1( 1) ( 1)n na a n     （ ）． ② 不等式 1( 1)( 1) 2(1 )nna a n  ≥ 即为 11( ) 1 2(1 )n n n na a a a n   ≥ ， 由于 ，所以不等式即为 1 0nnaa ≥ ． 当 n 是奇数时， ( 1)na a n   ， 1na a n    ， 所以   2 1 ( 1) ( ) ( 1) 0nna a a n a n a a n n            ≥ ， 即 2 ( 1)a a n n   ≥ 对 n N ，且 2n≥ 恒成立， 所以 2 6aa  ≥ ，解得 23a ≤ ≤ ． 当 n 为偶数时， ( 1)na a n    ， 1na a n ， 由 ，得 2 ( 1)a a n n   ≥ 对 且 恒成立， 所以 2 2aa  ≥ ，解得 21a ≤ ≤ ， 数学（答案全解全析）第 8 页（共 12 页） 因为 0a  ，所以 a 的取值范围是01a ≤ ． 20．(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 （1） 当 1k  时， ( ) lnf x x x ，所以 ( ) 1 lnf x x  ． （ⅰ） 设切点为 00()P x y， ，则 0 0 0 0 00 1 ln ln 1 xc y x x y cx      ① ② ③ 由②③得， 0 0 01 lncx x x ④ 由①得 0ln 1xc代入④得， 001 ( 1)cx x c   所以 0 11xc， ． （ⅰⅰ） 由题意，得方程 ln 1x x cx有正实数根， 即方程 1ln 0xcx   有正实数根， 记 1( ) lnh x x cx   ，令 22 1 1 1() xhx x xx     ， 当 01x时， ( ) 0hx  ；当 1x  时， ( ) 0hx  ； 所以 ()hx在 (0 1)， 上为减函数，在(1 )，+ 上为增函数； 所以 min( ) (1) 1h x h c   ． 若 1c  ，则 ( ) (1) 1 0h x h c  ≥ ，不合； 若 1c  ，由①知适合； 若 1c  ，则 (1) 1 0hc   ，又 11(e ) 0ee c cch c c     ， 所以 (1) (e ) 0chh，由零点存在性定理知 在(1 e ) (0 )c   ， ， 上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1 )，+ ． （2） 由题意得，当 2k≥ 时， ln 1kx x cx ≥ 对于任意正实数 x 恒成立， 所以当 时， 1 1lnkc x x x  ≤ 对于任意正实数 x 恒成立， 数学（答案全解全析）第 9 页（共 12 页） 由（1）知， 1ln 1x x ≥ ， 两边同时乘以 x 得， ln 1x x x ≥ ①， 两边同时加上 1 x 得， 11ln 1 2x x xxx  ≥ ≥ ②， 所以 1ln 1xxx ≥ （*），当且仅当 1x  时取等号． 对（*）式重复以上步骤①②可得， 2 1ln 1xxx ≥ ， 进而可得， 3 1ln 1xxx ≥ ， 4 1ln 1xxx ≥ ，……， 所以当 2k≥ ， *Nk  时， 1 1ln 1kxxx   ≥ ，当且仅当 时取等号． 所以 1c≤ ． 当 c 取最大值 1 时， 2ln 1kx x ax bx x≥ ≥ 对于任意正实数 x 恒成立， 令上式中 1x  得， 00ab≥ ≥ ，所以 0ab， 所以 2 1ax ax x≥ 对于任意正实数 x 恒成立， 即 2 ( 1) 1 0ax a x   ≥ 对于任意正实数 x 恒成立， 所以 0a  ，所以函数 2 ( 1) 1y ax a x    的对称轴 1 02 ax a ， 所以 2( 1) 4 0aa    ≤ ，即 2( 1) 0a  ≤ ，所以 1a  ， 1b  ． 又由 2 1ln 1kxxx   ≥ ，两边同乘以 x2 得， 2lnkx x x x ≥ ， 所以当 ， 时， 2lnkx x ax bx≥ 也恒成立， 综上，得 ， ． 数学Ⅱ卷（附加题） 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题。 A．[选修 4—2：矩阵与变换](本小题满分 10 分) 【答案与解析】 0 1 1 2 0 1 1 0 0 1 1 2                 ． 设 ( , )A a b ，则由 0 1 3 1 2 4 a b                 ，得 3, 2 4. b ab      ． 数学（答案全解全析）第 10 页（共 12 页） 所以 2, 3, a b    即 ( 2,3)A  ． B．[选修 4—4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 【答案与解析】 以极点为原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy ． 因为  πsin 33，所以  31 sin cos 322  ， 将其化为普通方程，得 3x  y  6  0． 将曲线 C： 2  化为普通方程，得 x2  y2  4． 所以圆心  00O ， 到直线 l： 3x y 6 0 的距离 d  6 31   3． 所以 P 到直线 l 的最大距离为 d  2  5． C．[选修 4—5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 【答案与解析】 由于 , , 0abc ， 所以 3 2 1 3 3 2 1( 3 )( )2a b ca b c a b c       223 3 2 1( 3 ) ( 3 3 3) 272aca b c       当且仅当 3 32 3 2 1 bac a b c ，即 : : 3: 2:1abc 时，等号成立. 所以 3 2 1 a b c的最小值为 27. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分． 22. (本小题满分 10 分) 【答案与解析】 因为在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB AC ，所以分别以 AB 、 AC 、 1AA 所在的直线 为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 1 1 1(0,0,0), (2,0,0), (0,4,0), (0,0,3), (2,0,3), (0,4,3)A B C A B C ． 因为 D 是 BC 的中点，所以 (1,2,0)D ， （1）因为 1 1 1(0,4,0), (1,2, 3)AC A D   ，设平面 11AC D 的法向量 1 1 1 1( , , )n x y z ， 数学（答案全解全析）第 11 页（共 12 页） 则 1 1 1 11 0 0 n AC n A D    ，即 1 1 1 1 40 2 3 0 y x y z      ，取 1 1 1 3 0 1 x y z      ， 所以平面 11AC D 的法向量 1 (3,0,1)n  ，而 1 (1, 2,3)DB  ， 所以 11 11 11 3 35cos , 35 n DBn DB n DB     ， 所以直线 1DB 与平面 所成角的正弦值为 3 35 35 ． （2） 11 (2,0,0)AB  ， 1 (1, 2,3)DB  ，设平面 11B A D 的法向量 2 2 2 2( , , )n x y z ， 则 2 1 1 21 0 0 n A B n DB    ，即 2 2 2 2 20 2 3 0 x x y z      ，取 2 2 2 0 3 2 x y z      ，平面 的法向量 2 (0,3,2)n  ， 所以 12 12 12 130cos , 65 nnnn nn     ， 二面角 1 1 1B A D C的大小的余弦值 130 65 ． 23．(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 （1）由 1 1 ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1) ! ( 1)! kk nn k n n n n k n n n kkC n nCkk              所以 1 1()kk n k n kkC n k C     ． 法二：证明也可直接用组合数定义证明，如下： 1 1 ( )! ( 1)!( ) ( )! ( 2 )! ( 1)!( 2 )! kk n k n k n k n kkC k n k n k Ck n k k n k                 （2） 1008 0 1 2 3 1008 2017 2017 2016 2015 2014 1009 0 ( 1) 1 1 1 1 1 2017 2017 2016 2015 2014 1009 n n n n C C C C C Cn         0 1 2 3 1008 2017 2016 2015 2014 1009 1 1 2 3 1008(1 ) (1 ) (1 ) (1 )2017 2016 2015 2014 1009C C C C C         0 1 2 3 1008 1 2 3 1008 2017 2016 2015 2014 1009 2016 2015 2014 1009 1 1 2 3 1008( ) ( )2017 2016 2015 2014 1009C C C C C C C C C         由（1）得， 1 11 kk n n k k CCnk     ，n=2017,k 依次取 1,2，……， 则有 1 0 2 1 1008 1007 2016 2015 2015 2014 1009 1008 1 2 1008,,2016 2015 1009C C C C C C   数学（答案全解全析）第 12 页（共 12 页） 所以，…… 原式 0 1 2 3 1008 0 1 2 1007 2017 2016 2015 2014 1009 2015 2014 2013 1008 1 ( ) ( )2017 C C C C C C C C C         …… 6 分 构造数列 na ，令 0 1 2 2 1 2 3n n n n na C C C C       则 0 1 2 2 1 1 1 2n n n n na C C C C        所以 0 1 2 2 0 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2( ) ( )n n n n n n n n n na a C C C C C C C C                 0 0 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n nC C C C C C C C              0 1 2 1 2 3 1n n n nC C C a          所以 11n n na a a ，即 2 1 1 1()n n n n n n na a a a a a a          ， 即 3nnaa  ，所以 63n n na a a   ，即数列 是周期为 6 的数列． 又因为 1 2 3 4 5 6 2017 1 2015 51, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0a a a a a a a a a a            所以   1008 2017 2017 2015 0 ( 1) 1 1 2017 2017 2017 n n n n C a an       ．