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长郡中学 2020 届高三适应性考试（四）
数学（文科）试卷
本试题卷共 8 页，23 题（含选考题）．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对
应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已如集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，复数 ．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 在区间 内单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
5．函数 的部分图象大致为（ ）
2| 1 ,A x x
= ≤ − { 3, 2, 1,1,2,3}B = − − − A B∩ =
{ 2, 1,1,2,3}− − { 2, 1}− − { 1,1,2,3}− { 3, 2}− −
i 1 2
2 i ( )i , iz z a a
−= = + ∈R 1 2z z> a
( 2,2)− (0,2) (2, )+∞ ( ,2)−∞
| |2 x ay += (1, )+∞
1a − 2a − 1a > − 2a > −
{ }na n nS 13
13
4S
π= 2 2 2
5 7 9cos cos cosa a a+ + =
3
2
5
2
1( ) ( 3sin 2 | | cos2 | |)2f x x x= −- 2 -
A． B．
C． D．
6．已知某组合体的正视图和侧视图如图 1 所示，其俯视图的直观图如图 2（粗线部分）所示，其中四边形
为平行四边形， 轴， 为边 的中点，则平行四边形 的面积为（ ）
A． B． C．16 D．8
7．已知函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 之间的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线 ，圆 ，圆 与 轴相切，过 的焦点 的直线
从上至下依此交 ， 于 ，且 ， 为坐标原点，则 在 方向上的投影为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知实数 满足约束条件 ，其中 ，若 的最大值为 40，则 （ ）
A B C D′ ′ ′ ′ B C x′ ′ ′∥ O′ A B′ ′ A B C D′ ′ ′ ′
4 2 8 2
2( ) | ln( 1 ) |f x x x= + − 1
9
log 4a f
=
( )5log 2b f= ( )0.21.8c f= a b c
a b c< < b c a< < c a b< < b a c< <
2
1 : 2 ( 0)C y px p= >
2
2
2 : 12
pC x y − + = 2C y 1C F
1C 2C , , ,A B C D | | | |AB BD= O DA OF
,x y | 2 |
0
y x
mx y m
≥ −
− + ≥
0 1m< < 2 2 2x y y+ + m =- 3 -
A． B． C． D．
10．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股
树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．图 1 所示是第 1 代“勾股树”，
重复图 1 的作法，得到第 2 代“勾股树”（如图 2），如此继续．若“勾股树”上共得到 8191 个正方形，设
初始正方形的边长为 1，则最小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
11．定义“互倒函数”为对于定义域内每一个 ，都有 ，已知函数 是定义在 上的
“互倒函数”，且当 时， ，若函数 （其中 ）恰有 2 个不同的零
点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．数列 满足 ，则数列 的前 40 项和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．从某班 五人中随机选取两人参加学校的问卷调查，则 两人中至少有一人被选中的概率
为________．
14．甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下：
第一步：先由四人看着平面直角坐标系中方格内的 16 个棋子（如图所示），甲从中记下某个棋子的坐标：
第二步：甲分别告诉其他三人：告诉乙棋子的横坐标，告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐
标相等；
第三步：由乙、丙、丁依次回答，对话如下：“乙先说我无法确定，丙接着说我也无法确定，最后丁说我
知道”．
则甲记下的棋子的坐标为________．
2
2
3
2
1
2
1
3
1
16
1
64
2
128
2
32
x 1( )f x f x
= ( )f x 1 ,22
[1,2]x∈
2
1 1( ) 2f x x
= + 2[ ( )] 1y f f x a= − − 0a ≥
a
1 20, 4 2
∪
10, 4
10, 4
1 20, 4 2
∪
{ }na 1 cos 2n
n na n aπ+ = ⋅ + { }na
402 1
3
− 412 2−
( )404 2 1
3
− ( )402 2 1
3
−
, , , ,A B C D E ,A B- 4 -
15．已知双曲线 的右焦点为 ，过 作一条渐近线的垂线，垂足为 ， 在第一象
限，线段 交双曲线于点 ，如果 ，则双曲线的离心率等于________．
16 ．已知 为 的垂心，且 ， ， ， ，则
________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形
区域为生活区， 为横穿村庄的一条道路， 区域为休闲公园， ， ，
的外接圆直径为 ．
（Ⅰ）求道路 的长；
（Ⅱ）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大
值．
18．已知鲜切花 的质量等级按照花枝长度 进行划分，划分标准如下表所示．
花枝长度
鲜花等级 三级 二级 一级
某鲜切花加工企业分别从甲、乙两个种植基地购进鲜切花 ，现从两个种植基地购进的鲜切花 中分别随
机抽取 30 个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示．
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F F M M
MF N 1
2MN NF=
H ABC△ CH xCB yCA= + AH mAB nAC= + 3 1x y+ = 4 1m n+ = B =
ABCD
AC ADE△ 200BC m= 60ACB AED∠ = ∠ = °
ABC△ 200 57
3 m
AC
A L
/L cm 30L < 30 45L≤ < 45L ≥
A A- 5 -
（Ⅰ）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花 的花枝长度的平均值及分散程度（不要求计算具体值，给出
结论即可）；
（Ⅱ）若从等级为三级的样品中随机选取 2 个进行新产品试加工，求选取的 2 个全部来自乙种植基地的概
率；
（Ⅲ）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自甲种植基地的鲜切花 的加工产品的单件利润为 4
元；来自乙种植基地的鲜切花 的加工产品的单件成本为 10 元，销售率（某等级产品的销量与产量的比值）
及单价如下表所示．
三级花加工产品 二级花加工产品 一级花加工产品
销售率
单价/（元/件） 12 16 20
由于鲜切花 加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的 50%处理完毕．用样本估计总体，如果
仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花 ？
19．如图 1，在长方形 中， ， ， 分别为 、 的中点， 为 的中点，点
在线段 上，且满足 ．将正方形 沿 折起，使得直线 与平面 间的距离为
1，得到如图 2 所示的三棱柱 ．
（1）求证： 平面 ：
（l）若三棱锥 的体积为 ，求 的值．
20．已知椭圆 ，点 在椭圆 上，过点 作斜率为 的直线恰好与椭
圆 有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设点 为椭圆 的长轴上的一个动点，过点 作斜率为 的直线交椭圆 于不同的两点 ， ，
是否存在常数 ，使 成等差数列？若存在，求出 的值：若不存在，请说明理由．
A
A
A
2
5
2
3
8
9
A
A
ABCD 1 22AB BC= = E F AD BC G ED
H AF AH AFλ= ABFE EF EF ABCD
AED BFC−
AF ⊥ BED
G HFC− 2
6
λ
2 2
2 2: 1 ( 0)x yE a ba b
+ = > > (0,1)M E (2,0)N 2
2
E
E
P E P ( 0)k k ≠ E A B
k
2
2 21| | , ,| |2
aPA PB
+
k- 6 -
21．己知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 的极值；
（Ⅱ）当 时，函数 的图象与函数 的图象有唯一的交点，求 的取值集合．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用 2B 铅笔在答题卡把
所选题号涂黑。
22．选修 4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 ，以极点 为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建
立平面直角坐标系 ．
（Ⅰ）求圆 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 与圆 交于 两点，求圆 夹在 两
点间的劣弧 的长．
23．选修 4—5：不等式选讲
已知函数 ．
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若函数 的最小值为 ．求证： ， 恒成立．
长郡中学 2020 届高三适应性考试（四）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C B D A D A C B A D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 14． 15． 16．45°
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
18．解：（Ⅰ）由茎叶图可以看出，乙种植基地鲜切花 的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花 的
花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花 的花枝长度相对于乙种植基地来说更为集中．
2( ) 2 2( 1)x xf x ae a e= + +
1
2a = − ( )f x
(0, )a∈ +∞ ( )f x 4 xy e x= + a
1C 2 4 (cos sin )p p θ θ= + O x
xOy
1C
2C 2
2 | |
x t
y t
= +
= t 2C 1C ,A B 1C ,A B
AB
( ) | 2 1| | 5|f x x x= − + +
( ) 7f x >
( )f x 3
2m + , (0, )p q∀ ∈ +∞ 1 1 m
p q p q
+ ≥ +
7
10 (5,5) 5
500m 600m
A A
A- 7 -
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）来自乙种植基地的鲜切花 的加工产品的单件平均利润为
（元）．
因为 ，所以该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花 ．
19．解：（Ⅰ）证明略；（Ⅱ） ．
20．解：（Ⅰ）椭圆 的标准方程为 ；（Ⅱ）存在满足条件的常数 ，且 ．
21．解：（Ⅰ）函数 的极大值是 ，无极小值；
（Ⅱ） 的取值集合为 ．
22．解：（Ⅰ）圆 的直角坐标方程为 ；
（Ⅱ）圆 夹在 两点间的劣弧 的长为 ．
23．解：（Ⅰ）不等式 的解集为 或 ；（Ⅱ）证明略．
3
10
A
1 8 8 10 11 80 4.8810 5 15 3 30 9
× − + × + × ≈
4.88 4> A
1
2
λ =
E
2
2 12
x y+ = k 2
2k = ±
( )f x 2( ln 2) ln 2 1 1 1( ln 2) 4 2 4f e e− −− = − + = − + =
a 1
2
1C 2 2( 2) ( 2) 8x y− + − =
1C ,A B AB 1 2 2 2 24
π π× × =
( ) 7f x > { | 1x x < − 1}x >
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