提分专练(03)　以四边形为背景的计算题与证明题.docx

提分专练(三)　以四边形为背景的计算题与证明题 ‎|类型1|　特殊四边形的综合 ‎1.[2017·酒泉] 如图T3-1,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.‎ ‎(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;‎ ‎(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.‎ 图T3-1‎ ‎|类型2|　动点问题 ‎2.[2019·徐州树人一模]如图T3-2,在菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,对角线BD长为12.‎ ‎(1)求菱形ABCD的周长.‎ ‎(2)动点P从点A出发,沿A→B的方向,以每秒1个单位长度的速度向点B运动;在点P出发的同时,动点Q从点D出发,沿D→C→B的方向,以每秒2个单位长度的速度向点B运动.设运动时间为t(s).‎ ‎①当PQ恰好被BD平分时,试求t的值;‎ ‎②连接AQ,试求:在整个运动过程中,当t取怎样的值时,△APQ恰好是一个直角三角形?‎ 图T3-2‎ ‎|类型3|　四边形的折叠 ‎3.[2019·金华] 将一张正方形纸片按如图T3-3步骤,通过折叠得到图④,再沿虚线剪去一个角,展开铺平后得到图⑤,其中FM,GN是折痕,若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等,则FMGF的值是 (　　)‎ 图T3-3‎ A.‎5‎‎-‎‎2‎‎2‎ B.‎2‎-1 ‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎4.[2019·杭州] 如图T3-4,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A'点,D点的对称点为D'点,若∠FPG=90°,△A'EP的面积为4, △D'PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于　　　　. ‎ 图T3-4‎ ‎5.[2019·青岛] 如图T3-5,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4 cm,则CF的长是　　　　 cm. ‎ 图T3-5‎ ‎6.[2016·连云港] 如图T3-6①,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图②,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N.若AD=2,则MN=　　　　　. ‎ 图T3-6‎ ‎7.[2014·淮安] 如图T3-7,在△ABC中,AD平分∠BAC,将△ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF.求证:四边形AEDF是菱形.‎ 图T3-7‎ ‎8.如图T3-8,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=‎3‎,点E在边CD上移动,连接AE,将四边形ABCE沿直线AE折叠,得到四边形AB'C'E,点B,C的对应点分别为点B',C'.‎ ‎(1)当B'C'恰好经过点D时(如图①),求线段CE的长;‎ ‎(2)若B'C'分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°(如图②),求△DFG的面积;‎ ‎(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C'运动的路径长.‎ 图T3-8‎ ‎9.[2017·威海] 如图T3-9,四边形ABCD为一个矩形纸片,AB=3,BC=2,动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止.△ADP以直线AP为轴翻折,点D落到点D1的位置.设DP=x,△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.‎ ‎(1)当x为何值时,直线AD1过点C?‎ ‎(2)当x为何值时,直线AD1过BC的中点E?‎ ‎(3)求出y与x的函数关系式.‎ 图T3-9‎ ‎|类型4|　四边形的平移、旋转 ‎10.[2019·绍兴] 如图T3-10,正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D,在点E从点A移动到点B的过程中,矩形ECFG的面积 (　　)‎ 图T3-10‎ A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变 ‎11.问题:如图T3-11①,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系.‎ ‎【发现证明】‎ 小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图①证明上述结论.‎ ‎【类比引申】‎ 如图②,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在边BC,CD上,则当∠EAF与∠BAD满足　　　　　关系时,仍有EF=BE+FD. ‎ ‎【探究应用】‎ 如图③,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC,CD上分别有景点E,F,且AE⊥AD,DF=40(‎3‎-1)米,现要在E,F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:‎2‎≈1.41,‎3‎≈1.73).‎ 图T3-11‎ ‎12.[2019·德州] (1)如图T3-12①,菱形AEGH的顶点E,H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD∶GC∶EB的结果(不必写计算过程).‎ ‎(2)将图①中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图②,求HD∶GC∶EB.‎ ‎(3)把图②中的菱形都换成矩形,如图③,且AD∶AB=AH∶AE=1∶2,此时HD∶GC∶EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.‎ ‎①　　　　　　②　　　　　　　　③‎ 图T3-12‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,‎ ‎∴AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF,‎ 又∵∠BOE=∠DOF,‎ ‎∴△BOE≌△DOF(ASA),‎ ‎∴EO=FO,‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形.‎ ‎(2)当四边形BEDF是菱形时,‎ 设BE=x则DE=x,AE=6-x,‎ 在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,‎ ‎∴x2=42+(6-x)2,‎ ‎∴x=‎13‎‎3‎,‎ ‎∴S菱形BEDF=BE·AD=‎13‎‎3‎×4=‎52‎‎3‎=‎1‎‎2‎BD·EF,‎ 又∵BD=AB‎2‎+AD‎2‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=2‎13‎,‎ ‎∴‎1‎‎2‎×2‎13‎·EF=‎52‎‎3‎,∴EF=‎4‎‎13‎‎3‎.‎ ‎2.解:(1)连接AC,交BD于点O.则∠AOB=90°,BO=6.在△ABO中,求得AB=4‎3‎,∴菱形ABCD的周长为16‎3‎.‎ ‎(2)①当点Q在CD边上时,‎ 设PQ交BD于M,则PM=QM,‎ ‎∵AB∥CD,∴BPDQ=PMQM=1,‎ ‎∴BP=DQ,‎ 根据题意得:AP=t,DQ=2t,则BP=4‎3‎-t,‎ ‎∴4‎3‎-t=2t,解得t=‎4‎‎3‎ ‎3‎;‎ 当点Q在CB边上时,不存在.‎ ‎②当点Q在CD边上时,若∠PAQ=90°,‎ 如图①所示:‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠AQD=∠PAQ=90°,‎ ‎∴∠DAQ=30°,‎ ‎∴DQ=‎1‎‎2‎AD=2‎3‎,‎ 即2t=2‎3‎,‎ 得t=‎3‎.‎ 若∠APQ=90°,如图②,作AN⊥CD于N,则∠PAN=90°,NQ=AP=t,∠DAN=30°,‎ ‎∴DN=‎1‎‎2‎AD=2‎3‎.‎ ‎∵DQ=DN+NQ,‎ ‎∴2t=2‎3‎+t,‎ 解得:t=2‎3‎;‎ 当点Q在CB边上时,如图③所示:‎ 根据题意得:AP=t,BP=4‎3‎-t,CQ=2t-4‎3‎,‎ ‎∴BQ=4‎3‎-(2t-4‎3‎)=8‎3‎-2t,‎ ‎∴BP=‎1‎‎2‎BQ.‎ 作QH⊥BP于H,‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴∠BQH=30°,‎ ‎∴BH=‎1‎‎2‎BQ=4‎3‎-t,‎ ‎∴BP=BH,即H与P重合,‎ ‎∴∠BPQ=90°,‎ 即∠APQ=90°恒成立.‎ ‎∴当2‎3‎