提分专练(05)　几何中的计算问题.docx

提分专练(五)　几何中的计算问题 ‎|类型1|　与面积相关的计算 ‎1.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高为 (　　)‎ A.5 B.3 C.1.2 D.2.4‎ ‎2.等腰三角形的腰长是13,底边长是10,则腰上的高等于　　　　. ‎ ‎3.等边三角形的边长为6,内部任意一点O到三边的距离之和为　　　　. ‎ ‎4.如图T5-1,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,角平分线AD,BE相交于点O,点O到AB边的距离为　　　　. ‎ 图T5-1‎ ‎5.如图T5-2,在菱形ABCD中,AE是菱形的高,若对角线AC,BD的长分别是12,16,则AE的长是　　　　. ‎ 图T5-2‎ ‎6.如图T5-3,在△ABC中,CE∶EB=1∶2,DE∥AC,若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为　　　　. ‎ 图T5-3‎ ‎7.如图T5-4,等腰三角形ABC的底边BC上的高AD等于18 cm,腰AC上的中线BM等于15‎ ‎ cm,则这个等腰三角形的面积等于　　　　. ‎ 图T5-4‎ ‎8.[2015·盐城]设△ABC的面积为1,如图T5-5①,将边BC,AC分别2等分,BE1,AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;如图②,将边BC,AC分别3等分,BE1,AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;…;以此类推,则Sn可表示为　　　　.(用含n的代数式表示,其中n为正整数) ‎ 图T5-5‎ ‎|类型2|　借助全等求线段长 ‎9.如图T5-6,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于D,则DE的长为 (　　)‎ 图T5-6‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎5‎ ‎10.[2018·南京]如图T5-7,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD,若CE=a,BF=b,EF=c,则AD 的长为 (　　)‎ 图T5-7‎ A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c ‎11.[2018·临沂]如图T5-8,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是 (　　)‎ 图T5-8‎ A.‎3‎‎2‎ B.2‎ C.2‎2‎ D.‎‎10‎ ‎|类型3|　借助勾股定理求线段长 ‎12.[2018·贺州]如图T5-9,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为 (　　)‎ 图T5-9‎ A.3‎2‎ B.3‎3‎ C.6 D.6‎‎2‎ ‎13.[2018·绵阳]如图T5-10,在△ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于O点,则AB=　　　　. ‎ 图T5-10‎ ‎14.[2018·襄阳]已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=‎3‎,AD=1,AB=2AC,则BC的长为　　　　. ‎ ‎|类型4|　借助相似求线段长 ‎15.[2018·永州]如图T5-11,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为 (　　)‎ 图T5-11‎ A.2 B.4 ‎ C.6 D.8‎ ‎16.[2018·恩施州]如图T5-12所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为 (　　)‎ 图T5-12‎ A.6 B.8 ‎ C.10 D.12‎ ‎17.[2018·阜新]如图T5-13,在矩形ABCD中,点E为AD中点,BD和CE相交于点F,如果DF=2,那么线段BF的长度为　　　　. ‎ 图T5-13‎ ‎18.[2018·南充]如图T5-14,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=　　　　. ‎ 图T5-14‎ ‎19.[2018·上海]如图T5-15,已知正方形DEFG的顶点D,E在△ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是　　　　. ‎ 图T5-15‎ ‎20.[2018·泰州]如图T5-16,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=‎5‎‎13‎,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A'B'上的动点,以点P为圆心,PA'长为半径作☉P,当☉P与△ABC的边相切时,☉P的半径为　　　　. ‎ 图T5-16‎ ‎|类型5|　借助三角函数求线段长 ‎21.[2018·贺州]如图T5-17,AB是☉O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin∠CDB=‎3‎‎5‎,BD=5,则AH的长为 (　　)‎ 图T5-17‎ A.‎25‎‎3‎ B.‎16‎‎3‎ C.‎25‎‎6‎ D.‎‎8‎‎3‎ ‎22.[2018·包头]如图T5-18,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为 (　　)‎ 图T5-18‎ A.‎2‎‎5‎ ‎3‎ B.‎2‎‎3‎ ‎3‎ C.‎3‎‎4‎ ‎3‎ D.‎4‎‎5‎ ‎‎3‎ ‎23.[2018·陕西]如图T5-19,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为 (　　)‎ 图T5-19‎ A.‎4‎‎3‎ ‎2‎ B.2‎2‎ C.‎8‎‎3‎ ‎2‎ D.3‎‎2‎ ‎24.[2018·沈阳]如图T5-20,△ABC是等边三角形,AB=‎7‎,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH,CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=　　　　. ‎ 图T5-20‎ ‎25.[2016·盐城]如图T5-21,已知菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,点E,F分别在边AB,AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=　　　　. ‎ 图T5-21‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.D　2.‎120‎‎13‎　3.3‎3‎　4.2　5.9.6‎ ‎6.‎2‎‎9‎S　[解析]设CE=k,∵CE∶EB=1∶2,∴EB=2k,‎ ‎∵DE∥AC,BE∶BC=2k∶3k=2∶3,∴S‎△BDES=‎2‎‎3‎2,S△BDE=‎4‎‎9‎S.‎ ‎∵DE∥AC,∴ADBD‎=CEBE=‎‎1‎‎2‎,∴S‎△ADES‎△BDE‎=ADBD=‎‎1‎‎2‎,则S△ADE=‎1‎‎2‎S△BDE=‎2‎‎9‎S.‎ ‎7.144 cm2　[解析]作MN⊥BC于N,∵AM=MC,AD⊥BC,∴MN=‎1‎‎2‎AD=9,在Rt△BMN中,BM=15,MN=9,∴BN=12,而BD=DC=2DN,∴3DN=12,DN=4,∴BC=16,∴S△ABC=‎1‎‎2‎AD·BC=‎1‎‎2‎×18×16=144(cm2).‎ ‎8.‎‎1‎‎2n+1‎ ‎9.A　[解析]过P作PF∥BC交AC于F,如图所示.‎ ‎∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形,‎ ‎∴AP=PF=AF,‎ ‎∵PE⊥AC,∴AE=EF.‎ ‎∵AP=PF,AP=CQ,‎ ‎∴PF=CQ.‎ 在△PFD和△QCD中,‎‎∠PFD=∠QCD,‎‎∠PDF=∠QDC,‎PF=CQ,‎ ‎∴△PFD≌△QCD(AAS),‎ ‎∴FD=CD,‎ ‎∵AE=EF,‎ ‎∴EF+FD=AE+CD,‎ ‎∴AE+CD=DE=‎1‎‎2‎AC,‎ ‎∵AC=1,‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎.‎ 故选A.‎ ‎10.D　[解析]∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,‎ ‎∴∠AFB=∠CED=90°,‎ ‎∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,‎ ‎∴∠A=∠C,‎ ‎∵AB=CD,‎ ‎∴△ABF≌△CDE,‎ ‎∴AF=CE=a,BF=DE=b,‎ ‎∵EF=c,‎ ‎∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c,‎ 故选D.‎ ‎11.B　[解析]∵BE⊥CE,AD⊥CE,‎ ‎∴∠E=∠ADC=90°,‎ ‎∴∠EBC+∠BCE=90°,‎ ‎∵∠BCE+∠ACD=90°,‎ ‎∴∠EBC=∠DCA,‎ 在△CEB和△ADC中,‎‎∠E=∠ADC,‎‎∠EBC=∠DCA,‎BC=AC,‎ ‎∴△CEB≌△ADC(AAS),‎ ‎∴BE=DC=1,CE=AD=3.‎ ‎∴DE=EC-CD=3-1=2.‎ 故选B.‎ ‎12.D　[解析]∵AD=ED=3,AD⊥BC,‎ ‎∴△ADE为等腰直角三角形,‎ 根据勾股定理得:AE=‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎2‎,‎ ‎∵Rt△ABC中,E为BC的中点,‎ ‎∴AE=‎1‎‎2‎BC,‎ 则BC=2AE=6‎2‎,‎ 故选D.‎ ‎13.‎5‎　[解析]∵AD,BE分别为BC,AC边上的中线,‎ ‎∴BD=‎1‎‎2‎BC=2,AE=‎1‎‎2‎AC=‎3‎‎2‎,点O为△ABC的重心,‎ ‎∴AO=2OD,OB=2OE,‎ ‎∵BE⊥AD,‎ ‎∴BO2+OD2=BD2=4,OE2+AO2=AE2=‎9‎‎4‎,‎ ‎∴BO2+‎1‎‎4‎AO2=4,‎1‎‎4‎BO2+AO2=‎9‎‎4‎,‎ ‎∴‎5‎‎4‎BO2+‎5‎‎4‎AO2=‎25‎‎4‎,‎ ‎∴BO2+AO2=5,‎ ‎∴AB=BO‎2‎+AO‎2‎‎=‎‎5‎.‎ 故答案为‎5‎.‎ ‎14.2‎3‎或2‎7‎　[解析]分两种情况:‎ ‎①当△ABC是锐角三角形时,如图①,‎ ‎∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠CDA=90°,‎ ‎∵CD=‎3‎,AD=1,‎ ‎∴AC=2,‎ ‎∵AB=2AC,‎ ‎∴AB=4,‎ ‎∴BD=4-1=3,‎ ‎∴BC=CD‎2‎+BD‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=2‎3‎;‎ ‎②当△ABC是钝角三角形时,如图②,‎ 同理得:AC=2,AB=4,∴BD=4+1=5.‎ ‎∴BC=CD‎2‎+BD‎2‎‎=‎‎(‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎5‎‎2‎=2‎7‎.‎ 综上所述,BC的长为2‎3‎或2‎7‎.故答案为:2‎3‎或2‎7‎.‎ ‎15.B　[解析]∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,‎ ‎∴△ADC∽△ACB,‎ ‎∴ACAB‎=‎ADAC,‎ ‎∴AC2=AD·AB=2×8=16,‎ ‎∵AC>0,‎ ‎∴AC=4,‎ 故选B.‎ ‎16.D　[解析]∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,‎ ‎∴△ABF∽△GDF,‎ ‎∴AFGF‎=‎ABGD=2,‎ ‎∴AF=2GF=4,‎ ‎∴AG=6.‎ ‎∵CG∥AB,AB=2CG,‎ ‎∴AG=GE=6,∴AE=12.‎ 故选:D.‎ ‎17.4　[解析]∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD∥BC,AD=BC,‎ ‎∴△DEF∽△BCF,‎ ‎∴DFBF‎=‎DEBC,‎ ‎∵点E为AD中点,‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎AD,‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎BC,‎ ‎∴DFBF‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴BF=2DF=4.‎ ‎18.‎2‎‎3‎　[解析]∵DE∥BC,‎ ‎∴∠F=∠FBC,‎ ‎∵BF平分∠ABC,‎ ‎∴∠DBF=∠FBC,‎ ‎∴∠F=∠DBF,‎ ‎∴DB=DF,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴ADAD+DB‎=‎DEBC,即‎1‎‎1+2‎‎=‎DE‎4‎,‎ 解得:DE=‎4‎‎3‎,‎ ‎∵DF=DB=2,‎ ‎∴EF=DF-DE=2-‎4‎‎3‎‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎19.‎12‎‎7‎　[解析]作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,‎ ‎∵△ABC的面积是6,‎ ‎∴‎1‎‎2‎BC·AH=6,‎ ‎∴AH=‎2×6‎‎4‎=3.‎ 设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3-x,‎ ‎∵GF∥BC,‎ ‎∴△AGF∽△ABC,‎ ‎∴GFBC‎=‎AMAH,即x‎4‎‎=‎‎3-x‎3‎,解得x=‎12‎‎7‎,‎ 即正方形DEFG的边长为‎12‎‎7‎.‎ 故答案为‎12‎‎7‎.‎ ‎20.‎156‎‎25‎或‎102‎‎13‎　[解析]由sinA=‎5‎‎13‎,AC=12可知BC=5,AB=13.如图①中,当☉P与直线AC相切于点Q时,连接PQ.‎ 设PQ=PA'=r,‎ ‎∵PQ∥CA',‎ ‎∴PQCA'‎‎=‎PB'‎A'B'‎,‎ ‎∴r‎12‎‎=‎‎13-r‎13‎,‎ ‎∴r=‎156‎‎25‎.‎ 如图②中,当☉P与AB相切于点T时,易证A',B',T共线,‎ 易得△A'BT∽△ABC,‎ ‎∴A'TAC‎=‎A'BAB,‎ ‎∴A'T‎12‎‎=‎‎17‎‎13‎,‎ ‎∴A'T=‎204‎‎13‎,‎ ‎∴r=‎1‎‎2‎A'T=‎102‎‎13‎.‎ 综上所述,☉P的半径为‎156‎‎25‎或‎102‎‎13‎.‎ ‎21.B　[解析]连接OD,如图所示.‎ ‎∵AB是☉O的直径,且经过弦CD的中点H,‎ ‎∴AB⊥CD,‎ ‎∴∠OHD=∠BHD=90°,‎ ‎∵sin∠CDB=‎3‎‎5‎,BD=5,‎ ‎∴BH=3,‎ ‎∴DH=BD‎2‎-BH‎2‎=4,‎ 设OH=x,则OD=OB=x+3,‎ 在Rt△ODH中,由勾股定理得:x2+42=(x+3)2,‎ 解得:x=‎7‎‎6‎,‎ ‎∴OH=‎7‎‎6‎,‎ ‎∴AH=OA+OH=‎7‎‎6‎‎+‎‎7‎‎6‎+3=‎16‎‎3‎,‎ 故选B.‎ ‎22.D　[解析]如图,在Rt△BDC中,BC=4,∠DBC=30°,‎ ‎∴BD=2‎3‎,‎ 连接DE,‎ ‎∵∠BDC=90°,点E是BC中点,‎ ‎∴DE=BE=CE=‎1‎‎2‎BC=2,‎ ‎∵∠DBC=30°,‎ ‎∴∠BDE=∠DBC=30°,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC,‎ ‎∴∠ABD=∠BDE,‎ ‎∴DE∥AB,‎ ‎∴△DEF∽△BAF,‎ ‎∴DFBF‎=‎DEAB,‎ 在Rt△ABD中,∠ABD=30°,BD=2‎3‎,‎ ‎∴AB=3,‎ ‎∴DFBF‎=‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴DFBD‎=‎‎2‎‎5‎,‎ ‎∴DF=‎2‎‎5‎BD=‎2‎‎5‎×2‎3‎‎=‎‎4‎‎3‎‎5‎,故选D.‎ ‎23.C　[解析]∵AD⊥BC,‎ ‎∴∠ADC=∠ADB=90°.‎ 在Rt△ADC中,AC=8,∠C=45°,‎ ‎∴AD=‎2‎‎2‎AC=4‎2‎.‎ 在Rt△ADB中,AD=4‎2‎,∠ABD=60°,‎ ‎∴BD=‎3‎‎3‎AD=‎4‎‎6‎‎3‎.‎ ‎∵BE平分∠ABC,‎ ‎∴∠EBD=30°.‎ 在Rt△EBD中,BD=‎4‎‎6‎‎3‎,∠EBD=30°,‎ ‎∴DE=‎3‎‎3‎BD=‎4‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴AE=AD-DE=‎8‎‎2‎‎3‎.‎ 故选C.‎ ‎24.‎1‎‎3‎　[解析]作AE⊥BH交BH的延长线于E,BF⊥AH交AH的延长线于F,如图,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,∠BAC=60°,‎ ‎∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°,∠BAH+∠CAH=60°,‎ ‎∴∠ABH=∠CAH.‎ 在△ABE和△CAH中,‎ ‎∠AEB=∠AHC,‎‎∠ABE=∠CAH,‎AB=CA,‎ ‎∴△ABE≌△CAH,‎ ‎∴BE=AH,AE=CH.‎ 在Rt△AHE中,∠AHE=∠BHD=60°,‎ ‎∴sin∠AHE=AEAH,HE=‎1‎‎2‎AH,‎ ‎∴AE=AH·sin60°=‎3‎‎2‎AH,‎ ‎∴CH=‎3‎‎2‎AH,‎ 在Rt△AHC中,AH2+‎3‎‎2‎AH2=AC2=(‎7‎)2,解得AH=2,‎ ‎∴BE=2,HE=1,AE=CH=‎3‎,‎ ‎∴BH=BE-HE=2-1=1,‎ 在Rt△BFH中,HF=‎1‎‎2‎BH=‎1‎‎2‎,BF=‎3‎‎2‎,‎ ‎∵BF∥CH,‎ ‎∴△CHD∽△BFD,‎ ‎∴HDFD‎=CHBF=‎‎3‎‎3‎‎2‎=2,‎ ‎∴DH=‎2‎‎3‎HF=‎2‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 故答案为‎1‎‎3‎.‎ ‎25.‎7‎‎21‎‎20‎　[解析]延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB,BD,延长MF交AB于H点,易知MH⊥AB,如图所示,‎ ‎∵∠A=60°,四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴∠MDF=60°,‎ ‎∴∠MFD=30°,‎ 设MD=x,则DF=2x,FM=‎3‎x,FG=FA=2-2x.‎ ‎∵DG=1,‎ ‎∴MG=x+1,‎ 在Rt△MFG中,MG2+MF2=FG2,即(x+1)2+(‎3‎x)2=(2-2x)2,‎ 解得:x=0.3,‎ ‎∴DF=0.6,AF=1.4,‎ ‎∴AH=‎1‎‎2‎AF=‎7‎‎10‎,FH=AF·sinA=1.4×‎3‎‎2‎‎=‎‎7‎‎3‎‎10‎,‎ ‎∵CD=BC,∠BCD=60°,‎ ‎∴△DCB是等边三角形,‎ ‎∵G是CD的中点,∴BG⊥CD,‎ ‎∴∠GBE=90°.‎ ‎∵BC=2,GC=1,∴BG=‎3‎,‎ 设BE=y,则GE=AE=2-y,‎ ‎∴(‎3‎)2+y2=(2-y)2,‎ 解得:y=‎1‎‎4‎,‎ ‎∴AE=‎7‎‎4‎,‎ ‎∴EH=AE-AH=‎7‎‎4‎‎-‎7‎‎10‎=‎‎21‎‎20‎,‎ ‎∴EF=EH‎2‎+FH‎2‎‎=‎(‎21‎‎20‎)‎ ‎‎2‎+(‎7‎‎3‎‎10‎)‎‎ ‎‎2‎=‎‎7‎‎21‎‎20‎.‎ 故答案为:‎7‎‎21‎‎20‎.‎