数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）1
淮南市 2020 届高三第二次模拟考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
第 I 卷
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B B C B C A C C B D
第Ⅱ卷
二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 12 n
na .14. 1
2a .15. 2
9|AB|
16．
4
2cos SEF .
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60 分.
17.（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）由 sin 2sin 3 cosA B A ，得 3 1sin cos sin2 2B A A
πsin sin 3B A
. ………… ……………………………… ……… 2 分
所以 π
3B A ，或 π 2ππ3 3B A B A
. …………………… 3 分
因为 B 为锐角，所以 π
3B A ，即 π
3B A ，故 2π
3C . ………… 5 分数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）2
（Ⅱ）由 8 BCAB ，得 cos(π ) 8 cos 8ca B ca B .
因为 2a ，所以 cos 4c B ①. ……………………………………………………………7 分
根据正弦定理，
sin sin
a c
A C
，及 π
3A B ， 2
3C ， 2a ，
得 2
3sin 3 2
c
B
，所以 πsin 33c B
，
3 1cos sin 32 2c B c B ②. …………………………………………10 分
①代入②，得 12 3 sin 32 c B ，所以 sin 2 3c B .
所以 ABC 的面积等于 1 1sin 2 2 3 2 32 2ac B . ……………………12 分
另解（酌情给分）：由 8 BCAB ，得 cos(π ) 8 cos 8ca B ca B .
因为 2a ，所以 cos 4c B ……………………………………………………………7 分
作 BCAD 交 BC 延长线于 D ，则 4cos BcBD ， 2 BCADCD
在 ACDRt 中，
33
2 ACD ，由
CA
CDACD cos 得 4AC
所以 ABC 的面积等于 1 1sin 2 2 3 2 32 2ac B . …………………………12 分
18.（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）如图 1，取线段 1BC 的中点 F ，连接 EF 、 DF .数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）3
因为 E 为 1 1B C 的中点，所以 EF // 1BB ，且 1
1
2EF BB .
又 D 为 1A A 的中点，所以 1A D // 1BB ，且 1 1
1
2A D BB ，所以 EF // 1A D ，且 EF = 1A D ，
所以四边形 1A DFE 是平行四边形，所以 1A E // DF .
又 DF 平面 1BC D ， 1A E 平面 1BC D ，所以 1A E //平面 1BC D . ……………4 分
（Ⅱ）作 1AO AC 于点 O ，因为 1 60A AC °，所以 1 30AAO °，所以
1
1 1
2 2AO A A AC ，即O 为 AC 的中点.
因为 1 90ACB C CB °，所以 1, CCBCCABC ,又 CCCCA 1 ,所以 BC
平面 1 1A ACC ，
所以 1BC AO ，又 ,1 CAOA CBCCA 所以 1AO 平面 ABC .……………6 分
故可以点O 为原点，射线OA 、 1OA 分别为 x 轴和 z 轴的正半轴，以平行于 BC 的直线
为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图 2.
令 1 2AA AC BC a ，则 ( 0 0)A a，， ， ( 2 0)B a a ， ， ， 1(0 0 3 )A a，， ，
1( 2 0 3 )C a a ，， ， 1 302 2D a a
， ， ，所以
aaaBD 2
3,2,2
3 ，
aaDC 2
3,0,2
5
1 .………………………………………………………… 7 分数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）4
设平面 1BC D 一个法向量为 ),,( zyxm ，则
3 3( ) 2 02 2
5 3( ) 0 02 2
x y z a a a
x y z a a
， ， ， ，
， ， ， ，
，
得
3 32 02 2
5 3 02 2
x y z
x z
，
.取 3x ， 2 3y ， 5z ，所以 )5,32,3(m .……9 分
又平面 ABC 的一个法向量为 )3,0,0(1 aOA ………………………………… 10 分
设平面 1BC D 与平面 ABC 所成锐二面角为 ，则 .4
10
340
35cos
1
1
a
a
OAm
OAm
所以平面 1BC D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 10
4
． ……………12 分
19.（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）由
2 2
2 2
2
2
1 2 3
31 1
a b
a
a b
，
，得 2 4a ， 2 2b ，
所以椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 2
x y ． …………5 分
（Ⅱ）根据题意可设直线 AB 的方程为 y x n ，联立 2 2
14 2
y x n
x y
，
，
整理得 2 23 4 2( 2) 0x nx n ， ………………………………6 分数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）5
由 2 2( 4 ) 4 3 2( 2) 0n n ，得 2 6n ．
设 1 1( )A x x n， ， 2 2( )B x x n， ，则 1 2
4
3
nx x ， 2
1 2
2 2
3
n
x x
.
又设 AB 的中点为 0 0( )M x x n， ，则 1 2
0
2
2 3
x x nx ， 0 3
nx n .
由于点 M 在直线 y x m 上，所以 2
3 3
n n m ，得 3n m ，代入 2 6n ，
得 29 6m ，所以 6 6
3 3m ①. ………………………………8 分
因为 )3,( 11 nxxQA ， )3,( 22 nxxQB ，所以
2
2121 )3())(3(2 nxxnxxQBQA
2 2
24( 2) 4 ( 3) 3 6 19( 3)3 3 3
n n n n nn . …………………………… …10 分
由 283 QBQA ，得 23 6 19 28 1 3n n n ，所以 1 3 3m ，
即 11 3m ②. ………………………………11 分
又由①②得 6 1
3 3m . 故实数 m 的取值范围为 6 1
3 3
， . …………12 分
20.（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）（1）由茎叶图知 302
3129 m ． …………1 分
根据茎叶图可得： 5a ， 15b ， 15c ， 5d . …………3 分
（2）由于 635.61020202020
)151555(40 2
2
K ，所以有 99%的把握认为连续正常
运行时间有差异． …………6 分
（Ⅱ）生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产
线需保障维护的概率为
4
1
20
5 p . 设一个生产周期内需保障维护的次数为 次，数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）6
则 )4
14(~ ，B ， …………7
分
（正常维护费为 245.0 万元，
保障维护费为 1.01.02
)1(2.0 2 万元.
故一个生产周期内需保障维护 次时的生产维护费为 21.01.0 2 万元.）
设一个生产周期内的生产维护费为 X 万元，则 X 的可能取值为 2，2.2，2.6，3.2，4
（万元）， ……………8 分
则
256
81)4
11()2( 4 XP
64
27
4
1)4
11()2.2( 31
4 CXP
128
27)4
1()4
11()6.2( 222
4 CXP
64
3)4
1()4
11()3.2( 313
4 CXP
256
1)4
1()4( 4 XP ……………10 分
则分布列为
X 2 2.2 2.6 3.2 4
P 256
81
64
27
128
27
64
3
256
1
则
)(XE 256
1464
32.3128
276.264
272.2256
812
275.2256
4.582
256
44.384.1406.237162 万元.
故一个生产周期内生产维护费的期望值为 2.275 万元 …………12 分
21.（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ） axxf x e)(' ，若 )(xf 为 R 上的增函数，则 0e)(' ≥axxf x 恒成
立，即 axx ≥e 恒成立.设 xxF x e)( ，则 1e)(' xxF ，当 )0,(x 时，数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）7
0)(' xF ，当 ),0( x 时， 0)(' xF ，所以 )(xF 在 )0,( 上单调递减，在 ),0(
上单调递增，所以 1)0()( FxF ≥ ，故 1≤a ，所以 1≥a . …………5 分
（Ⅱ）若 0a ，由（Ⅰ）知 )(xf 为 R 上的增函数.由于 2)0( f ，已知 21 xx ，且
4)()( 21 xfxf ，不妨设 21 0 xx . …………6 分
设函数 )()()( xfxfxh ， )0,(x ，则
)12
1e(12
1e)( 22 axxaxxxh xx 2ee 2 xxx ，则
)(' xh xxx 2ee ，设 )(' xhx ）（ ，则 02ee)(' ≥ xxx ，由于 )0,(x ，
所以 )(' xh 为 ）（ 0, 上的增函数，所以 0)0(')(' hxh ，所以 )(xh 为 ）（ 0, 上的减
函数 ………… ……………………………………………………10 分
所以 4)0()()()( 111 hxfxfxh ，所以 )()(4)( 112 xfxfxf ，
而 )(xf 为 R 上的增函数，所以 12 xx ，故 021 xx .
从而 2)0()( 21 fxxf .故 2)( 21 xxf . …………12 分
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.
22．（本小题满分 10 分）选修 4–4 坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ）由条件知消去参数 得到曲线 1C 的普通方程为 2 23 9x y .
因 4cos 0 可 化 为 2 4 cos 0 ， 又 2 2 2 , cosx y x ， 代 入 得
2 2 4 0x y x ，于是曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0x y x . ………5 分
（Ⅱ）由条件知曲线 1 2,C C 均关于 x 轴对称，而且外切于原点O，数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）8
不妨设 1, 0 2A
，则 2 , 2B
，
因曲线 1C 的极坐标方程为 6cos ，
所以 1 26cos , 4cos 4sin2
，
于是 1 2
1 1 6cos 4sin 6sin 2 62 2AOBS ，
所以当
4
时， AOB 面积的最大值为 6. ………10 分
23.（本小题满分 10 分）选修 4–5 不等式选讲
解析：（Ⅰ）由条件知 1m 时，
12 , 12
1 3 11 , 12 2 2
1 12 ,2 2
x x
f x x x x
x x
于是原不等式可化为①
1
12 32
x
x
；②
1 12
3 32
x
；③
1
2
12 32
x
x
解①得 71 4x ；解②得 1 12 x ；解③得 5 1
4 2x ，
所以不等式 3f x 的解集为 5 7,4 4
…………5 分
（Ⅱ）由已知得
1 1 1
1 1 1f x x m xm m m m m
1 1 1 1
1 1 1 1x m x mm m m m m m
1 1 1 1 21 1m mm m m m
数学试题答案（理科）第 页（共 9 页）9
当且仅当 1m 时，等号成立，于是原不等式得证. ………10 分
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