2020届二模理数试卷.pdf

数学试题（理科）第 页（共 6 页）1 淮南市 2020 届高三第二次模拟考试 数学（理科）试题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。 2．答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可选用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写．．．．．．．． 的答案无效．．．．．，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1. 已知集合  2≤)1(  xxxA ，  ＞11 xxB ，则 A∩B= A. )01[ ， B. )02[ ， C. ]10( ， D. ]20( ， 2．i 是虚数单位，复数 2i 2 i az   是纯虚数，则实数 a  A. 1 B. 1 C. 4 D. 4 3．函数 sin cosy x x  在 π π ， 上的图象是数学试题（理科）第 页（共 6 页）2 第 7 题图 4. 在如图所示的算法框图中，若输入的 5 4x ，则输出结果为 A. 5 1 B． 5 2 C． 5 3 D． 5 4 5. 设公差不为 0 的等差数列 na 的前 n 项和为 nS .若 17 18S S ，则在 18a ， 35S ， 1917 aa  ， 19 16S S 这四个值中，恒等于 0 的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．为了得到正弦函数 siny x 的图象，可将函数 πsin 3y x     的图象向右平移 m 个单位 长度，或向左平移 n 个单位长度（ 0m  ， 0n  ），则 m n 的最小值是 A. π 3 B. 2π 3 C. 4π 3 D. 5π 3 7．如图，网格纸上的小正方形的边长均为 1，粗线画的是一个几 何体的三视图，则该几何体的体积是 A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 9 2 8. 设 6log 2 1a ， 12log 4 1b ， 15log 5 1c ，则 A. cba  B. abc  C. cab  D. bac  9. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的 项目其他同学不报，则 4 位同学所报选项各不相同的概率等于 A. 18 1 B. 32 3 C. 9 2 D. 9 8数学试题（理科）第 页（共 6 页）3 10. 在平行四边形 ABCD 中， 2 2 3AB AD  ， E 是 BC 的中点， F 点在边CD 上，且 2CF FD ，若 2 17 BFAE ，则 DAB  A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 11. 双曲线 1169: 22  yxC 的右支上一点 P 在第一象限， 1F ， 2F 分别为双曲线C 的左、右 焦点，I 为△ 1 2PF F 的内心，若内切圆 I 的半径为 1，直线 1IF ， 2IF 的斜率分别为 1k ， 2k ， 则 1 2k k+ 的值等于 A. 8 3 B. 8 3 C. 8 5 D. 8 5 12. 定义在 R 上函数 ( )f x 满足 )(2 1)1( xfxf  ，且当 x  0 1， 时， ( ) 1 2 1f x x   . 则使得 1( ) 16f x  在 +m ， 上恒成立的 m 的最小值是 A. 7 2 B. 9 2 C. 13 4 D. 15 4 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横 线上） 13. 已知公比不为 1 的等比数列  na ,且 7 2 3 aa  ， 546 32 aaa  ,则数列的通项公式 na  _________. 14．在   51a x x  展开式中， x 的偶数次幂项的系数之和为8 ，则 a  . 15．过抛物线 2 4y x 焦点 F 的直线交抛物线于点 A 、 B ，交准线于点 P ，交 y 轴于点Q ， 若 FBPQ  ，则弦长 AB .数学试题（理科）第 页（共 6 页）4 第 16 题图 16．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面 的四棱锥”. 现有阳马 ABCDS  , SA 平面 ABCD ， 1AB , 3AD ， 3SA . BC 上有一点 E ，使截面 SDE 的周长最短，则 SE 与CD 所成角的余弦值等 于 . 三、解答题：（本大题满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 在△ ABC 中，三内角 A ， B ，C 对应的边分别为 a ，b ， c ，若 B 为锐角，且 sin 2sin 3 cosA B A  . （Ⅰ）求C ； （Ⅱ）已知 2a  ， 8 BCAB ，求△ ABC 的面积. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 90ACB C CB    °， 1 60A AC  °，D ，E 分 别为 1A A 和 1 1B C 的中点，且 1AA AC BC  ． （Ⅰ）求证： 1A E //平面 1BC D ； （Ⅱ）求平面 1BC D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值． 19.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   （ 0a b  ）的离心率是 2 2 ，原点到直线 1x y a b   的距离 等于 2 3 3 ，又知点 (0 3)Q ， ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若椭圆 C 上总存在两个点 A 、 B 关于直线 y x m  对称，且 283 QBQA ， 求实数 m 的取值范围． S A B C D E 第 18 题图数学试题（理科）第 页（共 6 页）5 20.（本小题满分 12 分） 为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后 的效果，采集了生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据， 并绘制了如下茎叶图： （Ⅰ）（1）设所采集的 40 个连续正常运行时间的中位数 m ，并将连续正常运行时间超 过 m 和不超过 m 的次数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 改造前 a b 改造后 c d 试写出 a，b，c，d 的值； （2）根据（1）中的列联表，能否有 99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运 行时间有差异？ 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ， （Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护. 工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护 费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第 kT 天（ *Nk  ） 进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护 周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保 障维护费.经测算，正常维护费为 0.5 万元/次；保障维护费第一次为 0.2 万元/周期，此后每增 加一次则保障维护费增加 0.2 万元. 现制定生产线一个生产周期（以 120 天计）内的维护方 案： 30T ， 4321 ，，，k . 以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周  2P K k≥ 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828数学试题（理科）第 页（共 6 页）6 期内生产维护费的分布列及期望值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 12 1e)( 2  axxxf x ， Ra . （Ⅰ）若 )(xf 为 R 上的增函数，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 0a ， 21 xx  ，且 4)()( 21  xfxf ，证明： 2)( 21  xxf . 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请 写清题号 22．（本小题满分 10 分）选修 4–4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 3cos 3sin x y       （其中 为参数）， 以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4cos 0   . （Ⅰ）求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 ,A B 分别是曲线 1 2,C C 上两动点且 2AOB   ，求 AOB 面积的最大值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4–5 不等式选讲 已知函数   1 1f x x m x m      （其中实数 0m  ） （Ⅰ）当 1m  ，解不等式   3f x  ； （Ⅱ）求证：     1 21f x m m   .