2020年中考数学热点专题冲刺4实际应用问题（江苏版）

热点专题 4 实际应用问题 实际应用问题，是每年中考中必考点，也是热点．一般涉及到实际应用的题目数量为 2 －3 个．其中基本上必有一道解答题．这几乎成了各大城市命题的一般规律，当然这也是课 程标准的要求．这种题型主要考查的知识有一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元 一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数、二次函数、反比例函数在实际生活中的应 用．这里以解答题形式考查的主要是一元二次方程和分式方程或者不等式、一次函数、二次 函数、反比例函数等． 课程标准要求学生掌握一定的建模能力，根据实际生活中的问题背景建立 相应的模型，能应用相关知识分析、解决问题．中考 要求 能灵活运用一元一次方程、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式 （组）的相关知识解决实际生活中的问题。 考向 1 一次方程（组）的实际应用 1. (2019 江苏省宿迁市)下面 3 个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体， 则第三个天平右盘中砝码的质量为　 　． 【解析】设“△”的质量为 x，“□”的质量为 y，由题意得： ， 解得： ， ∴第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝2×4+2＝10； 故答案为：10． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据 题意列出方程组是解题的关键． 2. (2019 江苏省淮安市)某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车皮数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨） 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？ 【解析】设每节火车车皮装物资 x 吨，每辆汽车装物资 y 吨， 根据题意，得 ， ∴ ， ∴每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨； 点评本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解 方程组是关键． 3. (2019 江苏省盐城市)体育器材室有A、B 两种型号的实心球，1 只 A 型球与 1 只 B 型球的 质量共 7 千克，3 只 A 型球与 1 只 B 型球的质量共 13 千克． （1）每只 A 型球、B 型球的质量分别是多少千克？ （2）现有 A 型球、B 型球的质量共 17 千克，则 A 型球、B 型球各有多少只？【解析】 （1）设每只 A 型球、B 型球的质量分别是 x 千克、y 千克，根据题意可得： ， 解得： ， 答：每只 A 型球的质量是 3 千克、B 型球的质量是 4 千克； （2）∵现有 A 型球、B 型球的质量共 17 千克， ∴设 A 型球 1 个，设 B 型球 a 个，则 3+4a＝17， 解得：a＝ （不合题意舍去）， 设 A 型球 2 个，设 B 型球 b 个，则 6+4b＝17， 解得：b＝ （不合题意舍去）， 设 A 型球 3 个，设 B 型球 c 个，则 9+4c＝17， 解得：c＝2， 设 A 型球 4 个，设 B 型球 d 个，则 12+4d＝17， 解得：d＝ （不合题意舍去）， 设 A 型球 5 个，设 B 型球 e 个，则 15+4e＝17， 解得：a＝ （不合题意舍去）， 综上所述：A 型球、B 型球各有 3 只、2 只． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键． 考向 2 分式方程的实际应用1. (2019 江苏省苏州市)小明 5 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面 笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买 到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为 元，根据题意可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】 找到等量关系为两人买的笔记本数量 故选 A 2. (2019 江苏省常州市)甲、乙两人每小时共做 30 个零件，甲做 180 个零件所用的时间与乙 做 120 个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 【解析】 设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件， 由题意得： ＝ ， 解得：x＝18， 经检验：x＝18 是原分式方程的解， 则 30﹣18＝12（个）． 答：甲每小时做 18 个零件，则乙每小时做 12 个零件． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系， 列出方程，注意检验． 3. (2019 江苏省扬州市) “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承 担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道 1500 米，且甲整治 3600 米河道用的时 间与乙工程队整治 2400 米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？ 【解析】设甲工程队每天修 x 米，则乙工程队每天修（1500﹣x）米，根据题意可得： ＝ ， x 15 24 3x x = + 15 24 3x x = − 15 24 3x x =+ 15 24 3x x =− 15 24 3x x ∴ = +解得：x＝900， 经检验得：x＝900 是原方程的根， 故 1500﹣900＝600（m）， 答：甲工程队每天修 900 米，乙工程队每天修 600 米． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 考向 3 函数的实际运用 1. (2019 江苏省连云港市)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中∠C＝ 120°．若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（　　） A．18m2 B．18 m2 C．24 m2 D． m2 【解析】如图，过点 C 作 CE⊥AB 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°， 则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x， 在 Rt△CBE 中，∵∠CEB＝90°， ∴BE＝ BC＝6﹣ x， ∴AD＝CE＝ BE＝6 ﹣ x，AB＝AE+BE＝x+6﹣ x＝ x+6， ∴梯形 ABCD 面积 S＝ （CD+AB）•CE＝ （x+ x+6）•（6 ﹣ x）＝﹣ x2+3 x+18 ＝﹣ （x﹣4）2+24 ，∴当 x＝4 时，S 最大＝24 ． 即 CD 长为 4m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24 m2； 故选：C． 【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含 30°角的直角三角形的性质、勾股定理、 二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键． 2. (2019 江苏省淮安市)快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在 同一条公路上匀速行驶，途中快车休息 1.5 小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为 x 小 时，快车行驶的路程为 y1 千米，慢车行驶的路程为 y2 千米．如图中折线 OAEC 表示 y1 与 x 之间的函数关系，线段 OD 表示 y2 与 x 之间的函数关系． 请解答下列问题： （1）求快车和慢车的速度； （2）求图中线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式； （3）线段 OD 与线段 EC 相交于点 F，直接写出点 F 的坐标，并解释点 F 的实际意义．【解析】（1）快车的速度为：180÷2＝90 千米/小时， 慢车的速度为：180÷3＝60 千米/小时， 答：快车的速度为 90 千米/小时，慢车的速度为 60 千米/小时； （2）由题意可得， 点 E 的横坐标为：2+1.5＝3.5， 则点 E 的坐标为（3.5，180）， 快车从点 E 到点 C 用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时）， 则点 C 的坐标为（5.5，360）， 设线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式是 y1＝kx+b， ，得 ， 即线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式是 y1＝90x﹣135； （3）设点 F 的横坐标为 a， 则 60a＝90a﹣135， 解得，a＝4.5， 则 60a＝270， 即点 F 的坐标为（4.5，270），点 F 代表的实际意义是在 4.5 小时时，甲车与乙车行驶的路 程相等． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数 形结合的思想解答． 3. (2019 江苏省连云港市)某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500 吨，每生产 1 吨甲产品可 获得利润 0.3 万元，每生产 1 吨乙产品可获得利润 0.4 万元．设该工厂生产了甲产品 x （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为 y（万元）．（1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）若每生产 1 吨甲产品需要 A 原料 0.25 吨，每生产 1 吨乙产品需要 A 原料 0.5 吨．受市 场影响，该厂能获得的 A 原料至多为 1000 吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种 产品各为多少吨时，能获得最大利润． 【解析】（1）y＝0.3x+0.4（2500﹣x）＝﹣0.1x+1000 因此 y 与 x 之间的函数表达式为：y＝﹣0.1x+1000． （2）由题意得： ∴1000≤x≤2500 又∵k＝﹣0.1＜0 ∴y 随 x 的增大而减少 ∴当 x＝1000 时，y 最大，此时 2500﹣x＝1500， 因此，生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨时，利润最大． 【点评】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求 利润 y 与甲产品生产的吨数 x 的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值 范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一． 4. (2019 江苏省泰州市)小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解， 一次性批发这种水果不得少于 100kg，超过 300kg 时，所有这种水果的批发单价均为 3 元 /kg．图中折线表示批发单价 y（元/kg）与质量 x（kg）的函数关系． （1）求图中线段 AB 所在直线的函数表达式； （2）小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是多少？【解析】（1）设线段 AB 所在直线的函数表达式为 y＝kx+b，根据题意得 ，解得 ， ∴线段 AB 所在直线的函数表达式为 y＝﹣0.01x+6（100≤x≤300）； （2）设小李共批发水果 m 吨，则单价为﹣0.01m+6， 根据题意得：﹣0.01m+6＝ ， 解得 m＝200 或 400， 经检验，x＝200，x＝400（不合题意，舍去）都是原方程的根． 答：小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是 200 千克． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 5. (2019 江苏省宿迁市)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定， 该种玩具每件利润不能超过 60 元），每天可售出 50 件．根据市场调查发现，销售单价每增 加 2 元，每天销售量会减少 1 件．设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件． （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 【解析】（1）根据题意得，y＝﹣ x+50；（2）根据题意得，（40+x）（﹣ x+50）＝2250， 解得：x1＝50，x2＝10， ∵每件利润不能超过 60 元， ∴x＝10， 答：当 x 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元； （3）根据题意得，w＝（40+x）（﹣ x+50）＝﹣ x2+30x+2000＝﹣ （x﹣30）2+2450， ∵a＝﹣ ＜0， ∴当 x＜30 时，w 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝20 时，w 增大＝2400， 答：当 x 为 20 时 w 最大，最大值是 2400 元． 【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关 键． 6. (2019 江苏省镇江市)学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动． 在相距 150 个单位长度的直线跑道 AB 上，机器人甲从端点 A 出发，匀速往返于端点 A、B 之 间，机器人乙同时从端点 B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 B、A 之间．他们到达端 点后立即转身折返，用时忽略不计． 兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在 端点处相遇这两种． 观察 ①观察图 1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 30 个单位 长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为　 　个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 40 个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为　 　个单位长度； 发现 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们第二 次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度．兴趣小组成员发现了 y 与 x 的 函数关系，并画出了部分函数图象（线段 OP，不包括点 O，如图 2 所示）． ①a＝　 　； ②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图 2 中补全函数图象； 拓展 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们第三 次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度． 若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 y 不超过 60 个单位长度， 则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 x 的取值范围是　 　．（直接写出 结果） 【解析】观察①∵相遇地点与点 A 之间的距离为 30 个单位长度， ∴相遇地点与点 B 之间的距离为 150﹣30＝120 个单位长度， 设机器人甲的速度为 v， ∴机器人乙的速度为 v＝4v，∴机器人甲从相遇点到点 B 所用的时间为 ， 机器人乙从相遇地点到点 A 再返回到点 B 所用时间为 ＝ ，而 ， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点 A，返回到点 B，再返回向 A 时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点 A 为 m 个单位， 根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30）， ∴m＝90， 故答案为：90； ②∵相遇地点与点 A 之间的距离为 40 个单位长度， ∴相遇地点与点 B 之间的距离为 150﹣40＝110 个单位长度， 设机器人甲的速度为 v， ∴机器人乙的速度为 v＝ v， ∴机器人乙从相遇点到点 A 再到点 B 所用的时间为 ＝ ， 机器人甲从相遇点到点 B 所用时间为 ，而 ， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点 A，再到点 B，返 回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点 A 为 m 个单位， 根据题意得，40+150+150﹣m＝ （m﹣40）， ∴m＝120，故答案为：120； 发现①当点第二次相遇地点刚好在点 B 时， 设机器人甲的速度为 v，则机器人乙的速度为 v， 根据题意知，x+150＝ （150﹣x）， ∴x＝50， 经检验：x＝50 是分式方程的根， 即：a＝50， 故答案为：50； ②当 0＜x≤50 时，点 P（50，150）在线段 OP 上， ∴线段 OP 的表达式为 y＝3x， 当 v＜ v 时，即当 50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点 B 返回向点 A 时， 设机器人甲的速度为 v，则机器人乙的速度为 v， 根据题意知，x+y＝ （150﹣x+150﹣y）， ∴y＝﹣3x+300， 即：y＝ ， 补全图形如图 2 所示， 拓展如图，由题意知，x+y+150+150＝ （150﹣x+150﹣y）， ∴y＝﹣5x+300，∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 y 不超过 60 个单位长度， ∴﹣5x+300≤60， ∴x≥48， ∵x＜75， ∴48≤x＜75， 故答案为 48≤x＜75． 【点评】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应 用，正确的理解题意是解题的关键． 考向 4 不等式的实际运用 1. (2019 江苏省无锡市)某工厂为了要在规定期限内完成 2160 个零件的任务，于是安排 15 名工人每人每天加工 个零件 为整数），开工若干天后，其中 3 人外出培训，若剩下的工 人每人每天多加工 2 个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知 的值至少为 　　 a (a a ( )A．10 B．9 C．8 D．7 【解析】 设原计划 m 天完成，开工 n 天后有人外出，则 15am＝2160，am＝144，15an＋12(a＋2)(m－n)＜2160， 化简可得：an＋4am＋8m－8n＜720， 将 am＝144 代入得 an＋8m－8n＜144， an＋8m－8n＜am， a(n－m)＜8(n－m)， 其中 n－m＜0，a＞8, 至少为 9 ， 因此本题选 B