2020年中考数学热点专题冲刺5三角形四边形问题（江苏版）

热点专题 5 三角形四边形问题 三角形四边形是平面几何中的基本图形，自然也是中考中的重要内容，它是中考数学中 必考内容之一．中考中对三角形和特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形）的考查 选择题、填空题、解答题各种题型都会出现，所占的比重也是很大的，主要的问题形式有证 明，计算线段长度，求角度，计算某个角的三角函数值等形式． 熟练掌握三角形，尤其是特殊三角形直角三角形，等腰三角形，等边三角 形，等腰直角三角形的性质和判定方法． 中考 要求 掌握特殊四边形平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定方法。 考向 1 三角形的性质 1. (2019 江苏省淮安市)下列长度的 3 根小木棒不能搭成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm 【解析】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意； B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意； C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意； D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B． 2. (2019 江苏省泰州市)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A、B、C、D、E、 F、G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（　　） A．点 D B．点 E C．点 F D．点 G 【解析】 根据题意可知，直线 CD 经过△ABC 的 AB 边上的中线，直线 AD 经过△ABC 的 BC 边 上的中线， ∴点 D 是△ABC 重心． 故选：A． 3. (2019 江苏省徐州市)下列长度的三条线段，能组成三角形的是 　　 A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10 【解析】 ， ，2，4 不能组成三角形，故选项 错误， ， ，6，12 不能组成三角形，故选项 错误， ， ，7，2 不能组成三角形，故选项 错误， ， ，8，10 能组成三角形，故选项 正确， 故选： ． 4. (2019 江苏省盐城市)如图，点 D、E 分别是△ABC 边 BA、BC 的中点，AC＝3，则 DE 的长 为（　　） ( ) 2 2 4+ = 2∴ A 5 6 12+  6∴ D DA．2 B． C．3 D． 【解析】∵点 D、E 分别是△ABC 的边 BA、BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE＝ AC＝1.5． 故选：D． 5. (2019 江苏省南京市)如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分 ∠ACB．若 AD＝2，BD＝3，则 AC 的长　 　． 【解析】∵BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D， ∴CD＝BD＝3， ∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5， ∵CD 平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ＝ ， ∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10， ∴AC＝ ． 故答案为： ． 考向 2 等腰三角形的性质与判定 1. (2019 江苏省徐州市)函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 在 轴上．若 为等腰三角形，则满足条件的点 共有　　个． 【解析】以点 为圆心， 为半径作圆，与 轴交点即为 ； 以点 为圆心， 为半径作圆，与 轴交点即为 ； 作 的中垂线与 轴的交点即为 ； 故答案为 3； 2. (2019 江苏省镇江市)如图，直线a∥b，△ABC 的顶点 C 在直线 b 上，边 AB 与直线 b 相交 于点 D．若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝　 　°． 【解析】∵△BCD 是等边三角形， ∴∠BDC＝60°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠BDC＝60°， 由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°， 故答案为：40． 1y x= + x y A B C x ABC∆ C A AB x C B AB x C AB x C3. (2019 江苏省连云港市)如图，在△ ABC 中，AB＝AC．将△ABC 沿着 BC 方向平移得到 △DEF，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC 相交于点 O． （1）求证：△OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵△ABC 平移得到△DEF， ∴AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， ∴∠ACB＝∠DEC， ∴OE＝OC， 即△OEC 为等腰三角形； （2）解：当 E 为 BC 的中点时，四边形 AECD 是矩形，理由是：∵AB＝AC，E 为 BC 的中点， ∴AE⊥BC，BE＝EC， ∵△ABC 平移得到△DEF， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴AD∥EC，AD＝EC， ∴四边形 AECD 是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴四边形 AECD 是矩形． 考向 3 全等三角形的性质与判定 1. (2019 江苏省南京市)如图，D 是△ABC 的边 AB 的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC 与 DE 相交 于点 F．求证：△ADF≌△CEF． 【解析】证明：∵DE∥BC，CE∥AB， ∴四边形 DBCE 是平行四边形， ∴BD＝CE， ∵D 是 AB 的中点，∴AD＝BD， ∴AD＝EC， ∵CE∥AD， ∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E， ∴△ADF≌△CEF（ASA）． 2. (2019 江苏省泰州市)如图，线段 AB＝8，射线 BG⊥AB，P 为射线 BG 上一点，以 AP 为边 作正方形 APCD，且点 C、D 与点 B 在 AP 两侧，在线段 DP 上取一点 E，使∠EAP＝∠BAP，直 线 CE 与线段 AB 相交于点 F（点 F 与点 A、B 不重合）． （1）求证：△AEP≌△CEP； （2）判断 CF 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）求△AEF 的周长． 【解析】（1）证明：∵四边形 APCD 正方形， ∴DP 平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°， ∴△AEP≌△CEP（AAS）； （2）CF⊥AB，理由如下： ∵△AEP≌△CEP， ∴∠EAP＝∠ECP， ∵∠EAP＝∠BAP， ∴∠BAP＝∠FCP， ∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP， ∴∠AMF+∠PAB＝90°， ∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB； （3）过点 C 作 CN⊥PB． ∵CF⊥AB，BG⊥AB， ∴FC∥BN， ∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB， 又 AP＝CP， ∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN＝PB＝BF，PN＝AB， ∵△AEP≌△CEP， ∴AE＝CE， ∴AE+EF+AF ＝CE+EF+AF ＝BN+AF ＝PN+PB+AF ＝AB+CN+AF ＝AB+BF+AF ＝2AB ＝16． 3. (2019 江苏省无锡市)如图，在 中， ，点 、 分别在 、 上， ， 、 相交于点 ． （1）求证： ； （2）求证： ． 【解析】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC ABC∆ AB AC= D E AB AC BD CE= BE CD O DBC ECB∆ ≅ ∆ OB OC=在 ，∵ ∴ （2）证明：由（1）知 ∴∠DCB=∠EBC ∴OB=OC 4. (2019 江苏省镇江市)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E、F 分别在 AD、BC 上，AE＝ CF，过点 A、C 分别作 EF 的垂线，垂足为 G、H． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）连接 AC，线段 GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由． 【解析】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF， ∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE， ∴∠AEG＝∠CFH， 在△AGE 和△CHF 中， ， 中与 ECBDBC ∆∆ ECB CBBC DBC CEBD ∠    = =∠ = ECBDBC ∆≅∆ ECBDBC ∆≅∆∴△AGE≌△CHF（AAS）； （2）解：线段 GH 与 AC 互相平分，理由如下： 连接 AH、CG，如图所示： 由（1）得：△AGE≌△CHF， ∴AG＝CH， ∵AG∥CH， ∴四边形 AHCG 是平行四边形， ∴线段 GH 与 AC 互相平分． 考向 4 平行四边形的性质与判定 1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在点 C′处， BC′与 AD 相交于点 E． （1）连接 AC′，则 AC′与 BD 的位置关系是　 　； （2）EB 与 ED 相等吗？证明你的结论． 【解析】（1）连接 AC′，则 AC′与 BD 的位置关系是 AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB 与 ED 相等． 由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 2. (2019 江苏省淮安市)已知：如图，在▱ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点．求证： BE＝DF． 【解析】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点 E、F 分别是▱ABCD 边 AD、BC 的中点， ∴DE＝ AD，BF＝ BC， ∴DE＝BF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形， ∴BE＝DF．3. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重 合，点 落在点 处，折痕为 ．求证： （1） ； （2） ． 【解析】证明：（1） 四边形 是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ， ， ； （2） 四边形 是平行四边形， ， ， 由折叠可得， ， ， ， ， 又 ， ． ABCD A C D G EF ECB FCG∠ = ∠ EBC FGC∆ ≅ ∆  ABCD A BCD∴∠ = ∠ A ECG∠ = ∠ BCD ECG∴∠ = ∠ BCD ECF ECG ECF∴∠ − ∠ = ∠ − ∠ ECB FCG∴∠ = ∠  ABCD D B∴∠ = ∠ AD BC= D G∠ = ∠ AD CG= B G∴∠ = ∠ BC CG= ECB FCG∠ = ∠ ( )EBC FGC ASA∴∆ ≅ ∆4. (2019 江苏省扬州市)如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠DAB，已知 CE＝6，BE＝8， DE＝10． （1）求证：∠BEC＝90°； （2）求 cos∠DAE． 【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC＝AB＝，AD＝BC，DC∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE 平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA ∴AD＝DE＝10， ∴BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16， ∵CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2， ∴△BCE 是直角三角形，∠BEC＝90°；（2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEC＝90°， ∴AE＝ ＝ ＝8 ， ∴cos∠DAE＝cos∠EAB＝ ＝ ＝ ． 考向 5 矩形的性质与判定 1. (2019 江苏省徐州市)如图，矩形 中， 、 交于点 ， 、 分别为 、 的中点．若 ，则 的长为　　． 【解析】 、 分别为 、 的中点， ． 四边形 是矩形， ． 故答案为 16． 2. (2019 江苏省宿迁市)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点 E、F 分别在 AB、CD 上， 且 BE＝DF＝ ． （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）求线段 EF 的长． ABCD AC BD O M N BC OC 4MN = AC M N BC OC 2 8BO MN∴ = =  ABCD 2 16AC BD BO∴ = = = 【解析】（1）证明：∵在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2， ∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°， ∵BE＝DF＝ ， ∴CF＝AE＝4﹣ ＝ ， ∴AF＝CE＝ ＝ ， ∴AF＝CF＝CE＝AE＝ ， ∴四边形 AECF 是菱形； （2）解：过 F 作 FH⊥AB 于 H， 则四边形 AHFD 是矩形， ∴AH＝DF＝ ，FH＝AD＝2， ∴EH＝ ﹣ ＝1， ∴EF＝ ＝ ＝ ． 考向 6 菱形的性质与判定1. (2019 江苏省苏州市)如图，菱形 的对角线 ， 交于点 ， ， 将 沿点 到点 的方向平移，得到 ，当点 与点 重合时，点 与点 之 间的距离为（ ） A． B． C． D． 【解析】由菱形的性质得 ， 为直角三角形 故选 C 2. (2019 江苏省无锡市)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是 　　 A．内角和为 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【解析】本题考查了矩形和菱形的性质，显然对角线相等是矩形有而菱形不一定有的． 故选 C 考向 7 正方形的性质与判定 1. (2019 江苏省扬州市)如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF，M、N 分别是 DC、DF 的中点，连接 MN．若 AB＝7，BE＝5，则 MN＝　 　． O' O A C（A') D B B' ABCD AC BD O 4 16AC BD= =， ABO A C A B C′ ′ ′ A′ C A B′ 6 8 10 12 2 8AO OC CO BO OD B O′ ′ ′= = = = = =， 90AOB AO B′ ′∠ = ∠ =  AO B′ ′∴ 2 2 2 26 8 10AB AO B O′ ′ ′ ′∴ = + = + = ( ) 360°【解析】连接 CF， ∵正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，AB＝7，BE＝5， ∴GF＝GB＝5，BC＝7， ∴GC＝GB+BC＝5+7＝12， ∴ ＝13． ∵M、N 分别是 DC、DF 的中点， ∴MN＝ ＝ ． 故答案为： ． 2．(2019 山东省东营市)如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，过点 O 作 射线 OM、ON 分别交 BC、CD 于点 E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF 交于点 G．给出下列结论： ①△COE≌△DOF； ②△OGE∽△FGC； ③ 四 边 形 CEOF 的 面 积 为 正 方 形 ABCD 面 积 的 ； ④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（　　）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 【解析】①∵四边形 ABCD 是正方形， ∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°， ∵∠MON＝90°， ∴∠COM＝∠DOF， ∴△COE≌△DOF（ASA）， 故①正确； ②∵∠EOF＝∠ECF＝90°， ∴点 O、E、C、F 四点共圆， ∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG， ∴OGE∽△FGC， 故②正确； ③∵△COE≌△DOF， ∴S△COE＝S△DOF， ∴ ， 故③正确；④）∵△COE≌△DOF， ∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°， ∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴∠OEG＝∠OCE＝45°， ∵∠EOG＝∠COE， ∴△OEG∽△OCE， ∴OE：OC＝OG：OE， ∴OG•OC＝OE2， ∵OC＝ AC，OE＝ EF， ∴OG•AC＝EF2， ∵CE＝DF，BC＝CD， ∴BE＝CF， 又∵Rt△CEF 中，CF2+CE2＝EF2， ∴BE2+DF2＝EF2， ∴OG•AC＝BE2+DF2， 故④错误， 故选：B．