2020年中考数学热点专题冲刺6图形折叠问题（江苏版）

热点专题 6 图形折叠问题 图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题者的青睐．近年来很多 城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受 欢迎的还是矩形的折叠，因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好 的性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多，考的也最多．还有对 正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等，甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不 错的题目． 图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，会产生很不错的性质， 值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能 力，采用运动变化的观点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学 试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题． 掌握轴对称图形的性质． 学会在运动变化中寻求不变的图形性质． 中考 要求 培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题． 考向 1 矩形的折叠 1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝2 AB．将矩形 ABCD 对折，得到折 痕 MN；沿着 CM 折叠，点 D 的对应点为 E，ME 与 BC 的交点为 F；再沿着 MP 折叠，使得 AM 与 EM 重合，折痕为 MP，此时点 B 的对应点为 G．下列结论：①△CMP 是直角三角形； ②点 C、E、G 不在同一条直线上； ③PC＝ MP； ④BP＝ AB； ⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心，其中正确的个数为（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【解析】 ∵沿着 CM 折叠，点 D 的对应点为 E， ∴∠DMC＝∠EMC， ∵再沿着 MP 折叠，使得 AM 与 EM 重合，折痕为 MP， ∴∠AMP＝∠EMP， ∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝ 180°＝90°， ∴△CMP 是直角三角形；故①正确； ∵沿着 CM 折叠，点 D 的对应点为 E， ∴∠D＝∠MEC＝90°， ∵再沿着 MP 折叠，使得 AM 与 EM 重合，折痕为 MP， ∴∠MEG＝∠A＝90°， ∴∠GEC＝180°， ∴点 C、E、G 在同一条直线上，故②错误； ∵AD＝2 AB， ∴设 AB＝x，则 AD＝2 x， ∵将矩形 ABCD 对折，得到折痕 MN； ∴DM＝ AD＝ x， ∴CM＝ ＝ x， ∵∠PMC＝90°，MN⊥PC， ∴CM2＝CN•CP， ∴CP＝ ＝ x， ∴PN＝CP﹣CN＝ x， ∴PM＝ ＝ x，∴ ＝ ＝ ， ∴PC＝ MP，故③错误； ∵PC＝ x， ∴PB＝2 x﹣ x＝ x， ∴ ＝ ， ∴PB＝ AB，故④， ∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD， ∴CE＝EG， ∵∠CEM＝∠G＝90°， ∴FE∥PG， ∴CF＝PF， ∵∠PMC＝90°， ∴CF＝PF＝MF， ∴点 F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确； 故选：B． 2. (2019 江苏省淮安市)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，H 是 AB 的中点，将△CBH 沿 CH 折叠，点 B 落在矩形内点 P 处，连接 AP，则 tan∠HAP＝　 　．【解析】 如图，连接 PB，交 CH 于 E， 由折叠可得，CH 垂直平分 BP，BH＝PH， 又∵H 为 AB 的中点，∴AH＝BH， ∴AH＝PH＝BH， ∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB， 又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APB＝∠HEB＝90°， ∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE， 又∵Rt△BCH 中，tan∠BHC＝ ＝ ， ∴tan∠HAP＝ ， 故答案为： ． 3. (2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD ＝　 　°．【解析】延长 DC， 由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°， 则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案为：128． 4．(2019 江苏省盐城市)如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （Ⅰ）将矩形纸片沿 DF 折叠，使点 A 落在 CD 边上点 E 处，如图②； （Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 C 再次折叠，使得点 B 落在边 CD 上点 B′处，如图③， 两次折痕交于点 O； （Ⅲ）展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、FD，如图④． 探究 （1）证明：△OBC≌△OED； （2）若 AB＝8，设 BC 为 x，OB2 为 y，求 y 关于 x 的关系式． 【解析】（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，∠BCO＝∠DCO＝∠ADO＝∠CDO＝45°∴BC＝DE，∠COD＝90°，OC＝OD， 在△OBC≌△OED 中， ， ∴△OBC≌△OED（SAS）； （2）过点 O 作 OH⊥CD 于点 H． 由（1）△OBC≌△OED， OE＝OB， ∵BC＝x，则 AD＝DE＝x， ∴CE＝8﹣x， ∵OC＝OD，∠COD＝90° ∴CH＝ CD＝ AB＝ ＝4， OH＝ CD＝4， ∴EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4 在 Rt△OHE 中，由勾股定理得 OE2＝OH2+EH2， 即 OB2＝42+（x﹣4）2， ∴y 关于 x 的关系式：y＝x2﹣8x+32． 考向 2 平行四边形的折叠1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′ 与 AD 相交于点 E． （1）连接 AC′，则 AC′与 BD 的位置关系是　 　； （2）EB 与 ED 相等吗？证明你的结论． 【解析】 （1）连接 AC′，则 AC′与 BD 的位置关系是 AC′∥BD， 故答案为：AC′∥BD； （2）EB 与 ED 相等． 由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 2. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重 合，点 落在点 处，折痕为 ．求证： ABCD A C D G EF（1） ； （2） ． 【解析】证明：（1） 四边形 是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ， ， ； （2） 四边形 是平行四边形， ， ， 由折叠可得， ， ， ， ， 又 ， ． 考向 3 正方形的折叠 1．(2019 江苏省连云港市)问题情境：如图 1，在正方形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点（不与 点 B、C 重合），垂直于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB、AE、CD 于点 M、P、N．判断线段 DN、 ECB FCG∠ = ∠ EBC FGC∆ ≅ ∆  ABCD A BCD∴∠ = ∠ A ECG∠ = ∠ BCD ECG∴∠ = ∠ BCD ECF ECG ECF∴∠ − ∠ = ∠ − ∠ ECB FCG∴∠ = ∠  ABCD D B∴∠ = ∠ AD BC= D G∠ = ∠ AD CG= B G∴∠ = ∠ BC CG= ECB FCG∠ = ∠ ( )EBC FGC ASA∴∆ ≅ ∆MB、EC 之间的数量关系，并说明理由． 问题探究：在“问题情境”的基础上． （1）如图 2，若垂足 P 恰好为 AE 的中点，连接 BD，交 MN 于点 Q，连接 EQ，并延长交边 AD 于点 F．求∠AEF 的度数； （2）如图 3，当垂足 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上时，连接 AN，将△APN 沿着 AN 翻折， 点 P 落在点 P'处，若正方形 ABCD 的边长为 4，AD 的中点为 S，求 P'S 的最小值． 问题拓展：如图 4，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 AB、CD 上的点，将正 方形 ABCD 沿着 MN 翻折，使得 BC 的对应边 B'C'恰好经过点 A，C'N 交 AD 于点 F．分别过点 A、F 作 AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为 G、H．若 AG＝ ，请直接写出 FH 的长． 【解析】线段 DN、MB、EC 之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD， 过点 B 作 BF∥MN 分别交 AE、CD 于点 G、F，如图 1 所示： ∴四边形 MBFN 为平行四边形， ∴NF＝MB， ∴BF⊥AE， ∴∠BGE＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF， ∵DN+NF+CF＝BE+EC， ∴DN+MB＝EC； 问题探究： 解：（1）连接 AQ，过点 Q 作 HI∥AB，分别交 AD、BC 于点 H、I，如图 2 所示： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴四边形 ABIH 为矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ 是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，∵MN 是 AE 的垂直平分线， ∴AQ＝QE， 在 Rt△AHQ 和 Rt△QIE 中， ， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE 是等腰直角三角形， ∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （2）连接 AC 交 BD 于点 O，如图 3 所示： 则△APN 的直角顶点 P 在 OB 上运动， 设点 P 与点 B 重合时，则点 P′与点 D 重合；设点 P 与点 O 重合时，则点 P′的落点为 O′， ∵AO＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠ODA＝∠ADO′＝45°， 当点 P 在线段 BO 上运动时，过点 P 作 PG⊥CD 于点 G，过点 P′作 P′H⊥CD 交 CD 延长线于 点 H，连接 PC， ∵点 P 在 BD 上， ∴AP＝PC， 在△APB 和△CPB 中， ， ∴△APB≌△CPB（SSS），∴∠BAP＝∠BCP， ∵∠BCD＝∠MPA＝90°， ∴∠PCN＝∠AMP， ∵AB∥CD， ∴∠AMP＝∠PNC， ∴∠PCN＝∠PNC， ∴PC＝PN， ∴AP＝PN， ∴∠PNA＝45°， ∴∠PNP′＝90°， ∴∠P′NH+PNG＝90°， ∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°， ∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H， 由翻折性质得：PN＝P′N， 在△PGN 和△NHP'中， ， ∴△PGN≌△NHP'（ASA）， ∴PG＝NH，GN＝P'H， ∵BD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠PDG＝45°， 易得 PG＝GD，∴GN＝DH， ∴DH＝P'H， ∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°， ∴点 P'在线段 DO'上运动； 过点 S 作 SK⊥DO'，垂足为 K， ∵点 S 为 AD 的中点， ∴DS＝2，则 P'S 的最小值为 ； 问题拓展： 解：延长 AG 交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 Q，延长 FH 交 CD 于 P，如图 4： 则 EG＝AG＝ ，PH＝FH， ∴AE＝5， 在 Rt△ABE 中，BE＝ ＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝1， ∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE， ∴ ＝ ＝3， ∴QE＝ AE＝ ， ∴AQ＝AE+QE＝ ， ∵AG⊥MN， ∴∠AGM＝90°＝∠B， ∵∠MAG＝∠EAB， ∴△AGM∽△ABE， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：AM＝ ， 由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°， ∴B'M＝ ＝ ，AC'＝1， ∵∠BAD＝90°， ∴∠B'AM＝∠C'FA， ∴△AFC'∽△MAB'， ∴ ＝ ＝ ， 解得：AF＝ ， ∴DF＝4﹣ ＝ ，∵AG⊥MN，FH⊥MN， ∴AG∥FH， ∴AQ∥FP， ∴△DFP∽△DAQ， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：FP＝ ， ∴FH＝ FP＝ ． 考向 4 三角形的折叠 (2019 江苏省扬州市)如图，已知等边△ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 1 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 1 折叠，点 B 的对应点是点 B′． （1）如图 1，当 PB＝4 时，若点 B′恰好在 AC 边上，则 AB′的长度为　 　； （2）如图 2，当 PB＝5 时，若直线 1∥AC，则 BB′的长度为　 　； （3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 1 始终垂直于 AC，△ACB′的面积是否变 化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积； （4）当 PB＝6 时，在直线 1 变化过程中，求△ACB′面积的最大值． 【解析】（1）如图 1 中，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ∵PB＝4， ∴PB′＝PB＝PA＝4， ∵∠A＝60°， ∴△APB′是等边三角形， ∴AB′＝AP＝4． 故答案为 4． （2）如图 2 中，设直线 l 交 BC 于点 E．连接 BB′交 PE 于 O． ∵PE∥AC， ∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB 是等边三角形， ∵PB＝5，∴∵B，B′关于 PE 对称， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴OB＝PB•sin60°＝ ， ∴BB′＝5 ． 故答案为 5 ． （3）如图 3 中，结论：面积不变． ∵B，B′关于直线 l 对称， ∴BB′⊥直线 l， ∵直线 l⊥AC， ∴AC∥BB′， ∴S△ACB′＝S△ACB＝ •82＝16 ． （4）如图 4 中，当 B′P⊥AC 时，△ACB′的面积最大，设直线 PB′交 AC 于 E， 在 Rt△APE 中，∵PA＝2，∠PAE＝60°， ∴PE＝PA•sin60°＝ ， ∴B′E＝6+ ， ∴S△ACB′的最大值＝ ×8×（6+ ）＝4 +24．