2020年中考数学热点专题冲刺7与圆相关问题（江苏版）

热点专题 7 与圆相关问题 圆，是中考中相对来讲比较重要的一块内容，涉及到的内容也比较多，所占分值约二十 分左右．当然各个城市的略有不同．一般选择或填空或解答题都会有与圆相关的题目，比较 重要的内容主要有圆周角定理、弦、角、弧之间关系定理、切线的性质和判定定理等、扇形 面积及弧长公式、圆锥的侧面积计算等． 掌握圆周角定理、弦、角、弧之间关系定理、切线的性质和判定定理等、 扇形面积及弧长公式、圆锥的侧面积计算． 会利用数形结合的思想解决有关的数学问题． 中考 要求 会利用方程思想、函数思想处理相关问题． 考向 1 圆的性质 1. (2019 江苏省镇江市)如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径， ＝ ．若 ∠C＝110°，则∠ABC 的度数等于（　　） A．55° B．60° C．65° D．70°【解析】连接 AC， ∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形， ∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°， ∵ ＝ ， ∴∠CAB＝ ∠DAB＝35°， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°， 故选：A． 2. (2019 江苏省盐城市)如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且 为50°，则∠E＋∠C＝　 　°． 【解析】连接 EA， ∵ 为 50°， ∴∠BEA＝25°，∵四边形 DCAE 为⊙O 的内接四边形， ∴∠DEA+∠C＝180°， ∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°， 故答案为：155． 3 (2019 江苏省扬州市)如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点 B 在 上，且 BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若 AB 是⊙O 的内接正 n 边形的一边，则 n＝　 　． 【解析】连接 BO， ∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边， ∴∠AOC＝360°÷6＝60°， ∵BC 是⊙O 内接正十边形的一边， ∴∠BOC＝360°÷10＝36°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15； 故答案为：15． 考向 2 切线的性质和判定 1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，以点 C 为圆心作⊙C 与直 线 BD 相切，点 P 是⊙C 上一个动点，连接 AP 交 BD 于点 T，则 的最大值是　 　． 【解析】如图， 过点 P 作 PE∥BD 交 AB 的延长线于 E， ∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB， ∴ ， ∵AB＝4， ∴AE＝AB+BE＝4+BE， ∴ ， ∴BE 最大时， 最大， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， 过点 C 作 CH⊥BD 于 H，交 PE 于 M，并延长交 AB 于 G， ∵BD 是⊙C 的切线， ∴∠GME＝90°， 在 Rt△BCD 中，BD＝ ＝5， ∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC， ∴△BHC∽△BCD， ∴ ， ∴ ， ∴BH＝ ，CH＝ ， ∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA， ∴△BHG∽△BAD， ∴ ＝ ， ∴ ， ∴HG＝ ，BG＝ ， 在 Rt△GME 中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG× ＝ EG， 而 BE＝GE﹣BG＝GE﹣ ， ∴GE 最大时，BE 最大，∴GM 最大时，BE 最大， ∵GM＝HG+HM＝ +HM， 即：HM 最大时，BE 最大， 延长 MC 交⊙C 于 P'，此时，HM 最大＝HP'＝2CH＝ ， ∴GP'＝HP'+HG＝ ， 过点 P'作 P'F∥BD 交 AB 的延长线于 F， ∴BE 最大时，点 E 落在点 F 处， 即：BE 最大＝BF， 在 Rt△GP'F 中，FG＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴BF＝FG﹣BG＝8， ∴ 最大值为 1+ ＝3， 故答案为：3． 2. (2019 江苏省淮安市)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点 F，弦 AD 平分∠BAC， DE⊥AC，垂足为 E． （1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径为 2，∠BAC＝60°，求线段 EF 的长． 【解析】（1）直线 DE 与⊙O 相切， 连结 OD． ∵AD 平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，即∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°，即 DE⊥OD， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）过 O 作 OG⊥AF 于 G， ∴AF＝2AG， ∵∠BAC＝60°，OA＝2， ∴AG＝ OA＝1，∴AF＝2， ∴AF＝OD， ∴四边形 AODF 是菱形， ∴DF∥OA，DF＝OA＝2， ∴∠EFD＝∠BAC＝60°， ∴EF＝ DF＝1． 3. (2019 江苏省苏州市) 如图，AE 为⊙O 的直径，D 是弧 BC 的中点 BC 与 AD，OD 分别交于点 E，F. （1）求证： ； （2）求证： ; （3）若 ,求 的值. F E D OA B C DO AC∥ 2DE DA DC⋅ = 1tan 2CAD∠ = sin CDA∠【解析】（1）证明：∵D 为弧 BC 的中点，OD 为 的半径 ∴ 又∵AB 为 的直径 ∴ ∴ （2）证明：∵D 为弧 BC 的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ 即 （3）解：∵ ， ∴ 设 CD= ，则 DE= ， 又∵ ∴ ∴ 所以 又 O OD BC⊥ O 90ACB∠ = ° AC OD∥  CD BD= DCB DAC∠ = ∠ DCE DAC∆ ∆∽ DC DE DA DC = 2DE DA DC⋅ = DCE DAC∆ ∆∽ 1tan 2CAD∠ = 1 2 CD DE CE DA DC AC = = = 2a a 4DA a= AC OD∥ AEC DEF∆ ∽ 3CE AE EF DE = = 8 3BC CE= 2AC CE= ∴ 即 4 (2019 江苏省泰州市)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，D 为 的中点，过 点 D 作 DE∥AC，交 BC 的延长线于点 E． （1）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 5，AB＝8，求 CE 的长． 【解析】（1）DE 与⊙O 相切， 理由：连接 OD， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵D 为 的中点， ∴ ＝ ， ∴AD＝CD， ∴∠ACD＝45°， ∵OA 是 AC 的中点， ∴∠ODC＝45°， 10 3AB CE= 3sin sin 5 CACDA CBA AB ∠ = ∠ = =∵DE∥AC， ∴∠CDE＝∠DCA＝45°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE 与⊙O 相切； （2）∵⊙O 的半径为 5， ∴AC＝10， ∴AD＝CD＝5 ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝8， ∴BC＝6， ∵∠BAD＝∠DCE， ∵∠ABD＝∠CDE＝45°， ∴△ABD∽△CDE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴CE＝ ．5. (2019 江苏省徐州市)如图， 为 的直径， 为 上一点， 为 的中点．过点 作直线 的垂线，垂足为 ，连接 ． （1）求证： ； （2） 与 有怎样的位置关系？请说明理由． 【解析】（1）证明：连接 ， 为 的中点， ， ， ， ； （2）解： 与 相切， 理由： ， ， ， ， AB O C O D BC D AC E OD A DOB∠ = ∠ DE O OC D BC ∴  CD BD= 1 2BCD BOC∴∠ = ∠ 1 2BAC BOC∠ = ∠ A DOB∴∠ = ∠ DE O A DOB∠ = ∠ / /AE OD∴ DE AE⊥ OD DE∴ ⊥与 相切． 6. (2019 江苏省盐城市)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E． （1）若⊙O 的半径为 ，AC＝6，求 BN 的长； （2）求证：NE 与⊙O 相切． 【解析】（1）连接 DN，ON ∵⊙O 的半径为 ， DE∴ O∴CD＝5 ∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5， ∴AB＝10， ∴BC＝ ＝8 ∵CD 为直径 ∴∠CND＝90°，且 BD＝CD ∴BN＝NC＝4 （2）∵∠ACB＝90°，D 为斜边的中点， ∴CD＝DA＝DB＝ AB， ∴∠BCD＝∠B， ∵OC＝ON， ∴∠BCD＝∠ONC， ∴∠ONC＝∠B， ∴ON∥AB， ∵NE⊥AB， ∴ON⊥NE， ∴NE 为⊙O 的切线． 7. (2019 江苏省镇江市)如图，在△ABC 中，AB＝AC，过 AC 延长线上的点 O 作 OD⊥AO，交 BC 的延长线于点 D，以 O 为圆心，OD 长为半径的圆过点 B． （1）求证：直线 AB 与⊙O 相切；（2）若 AB＝5，⊙O 的半径为 12，则 tan∠BDO＝　 　． 【解析】（1）证明：连接 AB，如图所示： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠OCD， ∴∠ABC＝∠OCD， ∵OD⊥AO， ∴∠COD＝90°， ∴∠D+∠OCD＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠D， ∴∠OBD+∠ABC＝90°， 即∠ABO＝90°， ∴AB⊥OB， ∵点 B 在圆 O 上， ∴直线 AB 与⊙O 相切；（2）解：∵∠ABO＝90°， ∴OA＝ ＝ ＝13， ∵AC＝AB＝5， ∴OC＝OA﹣AC＝8， ∴tan∠BDO＝ ＝ ＝ ； 故答案为： ． 考向 3 扇形与圆锥 1. (2019 江苏省苏州市)如图，扇形 中， 。 为弧 上的一点，过点 作 ，垂足为 ， 与 交于点 ，若 ，则该扇形的半径长为 ___________ 【解析】由题意可知 AC＝CD＝1，连接 OP，设该扇形的半径为 r，由勾股定理可列方程：32 ＋(r－1)2＝r2，解得 r＝5，因此本题答案为 5． 2. (2019 江苏省泰州市)如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段 弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为　 　cm． D B O A P C OAB 90AOB∠ = ° P AB P PC OA⊥ C PC AB D 2, 1PD CD= =【解析】该莱洛三角形的周长＝3× ＝6π（cm）． 故答案为 6π． 3. (2019 江苏省徐州市)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥 的底面圆的半径 ，扇形的圆心角 ，则该圆锥的母线长 为　 　 ． 【解析】 圆锥的底面周长 ， 设圆锥的母线长为 ，则： ， 解得 ． 故答案为：6． 4. (2019 江苏省扬州市)如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 顺时针旋转 45°至四边形 AB′C′D′的位置，若 AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2． 2r cm= 120θ = ° l cm 2 2 4 cmπ π= × = R 120 4180 Rπ π× = 6R =【解析】由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形 AB'C'D'≌四边形 ABCD， 则图中阴影部分的面积＝四边形 ABCD 的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形 AB'C'D'的面积＝扇 形 ABB'的面积＝ ＝32π； 故答案为：32π．