2020年中考数学热点专题冲刺8动态几何问题（江苏版）

热点专题 8 动点几何问题 动态几何问题，是近年来的热点问题．它几乎成了每个城市中考试卷中的亮点，拿到一 套试卷，总是习惯先看看有没有关于动态几何的问题．动态几何问题也就是关于图形运动的 一类问题，它主要是牵扯到图形的三种变换﹕平移、旋转、轴对称及动点问题．当然考查图 形的运动问题有小题，也有大题，小题主要分布在选择和填空的最后一两个题，也就是小压 轴题，解答题中也会有关于图形的运动问题，主要有两类，一类是关于平移、旋转、轴对称 的作图，这个比较简单，我们这里就不说了；另一类就是我们介绍的重点——研究图形在运 动过程中产生的一些图形性质上的变化和不变的情况．这几乎成了压轴题基本上共同的特点． 课程标准和中考说明都要求学生要具备一定的用运动观点分析问题的能 力． 学会在运动变化中寻求不变的图形性质． 中考 要求 学会运用函数的观点研究关于图形运动中性质的变化情况． 考向 1 图形的运动与最值 1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，以点 C 为圆心作⊙C 与直 线 BD 相切，点 P 是⊙C 上一个动点，连接 AP 交 BD 于点 T，则 的最大值是　 　．【解析】如图， 过点 P 作 PE∥BD 交 AB 的延长线于 E， ∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB， ∴ ， ∵AB＝4， ∴AE＝AB+BE＝4+BE， ∴ ， ∴BE 最大时， 最大， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， 过点 C 作 CH⊥BD 于 H，交 PE 于 M，并延长交 AB 于 G， ∵BD 是⊙C 的切线， ∴∠GME＝90°， 在 Rt△BCD 中，BD＝ ＝5， ∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC， ∴△BHC∽△BCD，∴ ， ∴ ， ∴BH＝ ，CH＝ ， ∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA， ∴△BHG∽△BAD， ∴ ＝ ， ∴ ， ∴HG＝ ，BG＝ ， 在 Rt△GME 中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG× ＝ EG， 而 BE＝GE﹣BG＝GE﹣ ， ∴GE 最大时，BE 最大， ∴GM 最大时，BE 最大， ∵GM＝HG+HM＝ +HM， 即：HM 最大时，BE 最大， 延长 MC 交⊙C 于 P'，此时，HM 最大＝HP'＝2CH＝ ， ∴GP'＝HP'+HG＝ ， 过点 P'作 P'F∥BD 交 AB 的延长线于 F， ∴BE 最大时，点 E 落在点 F 处，即：BE 最大＝BF， 在 Rt△GP'F 中，FG＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴BF＝FG﹣BG＝8， ∴ 最大值为 1+ ＝3， 故答案为：3． 2. (2019 江苏省无锡市)如图，在 中， ， ， 为边 上一动 点 点除外），以 为一边作正方形 ，连接 ，则 面积的最大值为　　． 【解析】过 D 作 DG⊥BC 于 G，过 A 作 AN⊥BC 于 N，过 E 作 EH⊥HG 于 H，延长 ED 交 BC 于 M． ABC∆ 5AB AC= = 4 5BC = D AB (B CD CDEF BE BDE∆易证△EHD≌△DGC，可设 DG＝HE＝x， ∵AB＝AC＝5，BC＝ ，AN⊥BC， ∴BN＝ BC＝2 ，AN＝ ， ∵G⊥BC，AN⊥BC， ∴DG∥AN， ∴ ， ∴BG＝2x，CG＝HD＝4 - 2x； 易证△HED∽△GMD，于是 ， ，即 MG ， 所 以 S△BDE ＝ BM×HD ＝ ×(2x )×(4 - 2x) ＝ ＝ ， 当 x＝ 时，S△BDE 的最大值为 8． 因此本题答 案 为 8． 3. (2019 江苏省宿迁市)如图，∠MAN＝60°，若△ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB＝2， 点 C 在射线 AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是　 　． 4 5 1 2 5 2 2 5AB BN− = 2BG BN DG AN = = 5 HE HD GM GD = 4 5 2x x GM x −= 2 4 5 2 x x = − 1 2 1 2 2 4 5 2 x x − − 5 25 4 52 x x− + 2 5 4 5 82 5x  − − +    4 5 5【解析】如图，过点 B 作 BC1⊥AN，垂足为 C1，BC2⊥AM，交 AN 于点 C2 在 Rt△ABC1 中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠ABC1＝30° ∴AC1＝ AB＝1，由勾股定理得：BC1＝ ， 在 Rt△ABC2 中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠AC2B＝30° ∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2 ， 当△ABC 是锐角三角形时，点 C 在 C1C2 上移动，此时 ＜BC＜2 ． 故答案为： ＜BC＜2 ． 4. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE＝1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值 为　 　．【解析】由题意可知，点 F 是主动点，点 G 是从动点，点 F 在线段上运动，点 G 也一定在直 线轨迹上运动 将△EFB 绕点 E 旋转 60°，使 EF 与 EG 重合，得到△EFB≌△EHG 从而可知△EBH 为等边三角形，点 G 在垂直于 HE 的直线 HN 上 作 CM⊥HN，则 CM 即为 CG 的最小值 作 EP⊥CM，可知四边形 HEPM 为矩形， 则 CM＝MP+CP＝HE+ EC＝1+ ＝ 故答案为 ． 5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边△ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与 点 A、B 不重合）．直线 1 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 1 折叠，点 B 的对应点是 点 B′．（1）如图 1，当 PB＝4 时，若点 B′恰好在 AC 边上，则 AB′的长度为　 　； （2）如图 2，当 PB＝5 时，若直线 1∥AC，则 BB′的长度为　 　； （3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 1 始终垂直于 AC，△ACB′的面积是否变 化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积； （4）当 PB＝6 时，在直线 1 变化过程中，求△ACB′面积的最大值． 【解析】（1）如图 1 中， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ∵PB＝4， ∴PB′＝PB＝PA＝4， ∵∠A＝60°， ∴△APB′是等边三角形， ∴AB′＝AP＝4． 故答案为 4．（2）如图 2 中，设直线 l 交 BC 于点 E．连接 BB′交 PE 于 O． ∵PE∥AC， ∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB 是等边三角形， ∵PB＝5， ∴∵B，B′关于 PE 对称， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴OB＝PB•sin60°＝ ， ∴BB′＝5 ． 故答案为 5 ． （3）如图 3 中，结论：面积不变． ∵B，B′关于直线 l 对称， ∴BB′⊥直线 l，∵直线 l⊥AC， ∴AC∥BB′， ∴S△ACB′＝S△ACB＝ •82＝16 ． （4）如图 4 中，当 B′P⊥AC 时，△ACB′的面积最大， 设直线 PB′交 AC 于 E， 在 Rt△APE 中，∵PA＝2，∠PAE＝60°， ∴PE＝PA•sin60°＝ ， ∴B′E＝6+ ， ∴S△ACB′的最大值＝ ×8×（6+ ）＝4 +24． 6. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形 ABCD 中，AB＝5cm，点 P 为对角线 AC 上的一点，且 AP＝ .如图①，动点 M 从点 A 出发，在矩形边上沿着 的方向匀速运动（不包含 点 C）.设动点 M 的运动时间为 t（s）， 的面积为 S（cm²），S 与 t 的函数关系如图② 所示： （1）直接写出动点 M 的运动速度为 ，BC 的长度为 ; （2）如图③，动点 M 重新从点 A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时， 另一个动点 N 从点 D 出发，在矩形边上沿着 的方向匀速运动，设动点 N 的运动 速度为 .已知两动点 M、N 经过时间 在线段 BC 上相遇（不包含点 C），动点 M、N 2 5cm A B C→ → APM∆ /cm s cm D C B→ → ( )/v cm s ( )x s相遇后立即停止运动，记此时 的面积为 . ①求动点 N 运动速度 的取值范围; ②试探究 是否存在最大值.若存在，求出 的最大值并确定运动速度时间 的值； 若不存在，请说明理由. 【解析】（1）2 ；10 （2）①解：∵在边 BC 上相遇，且不包含 C 点 ∴ ∴ ②如右图 =15 过 M 点做 MH⊥AC，则 ①（图 ） P B CD A M S（cm²） t（s） ②图 O 2.5 7.5 APM DPN∆ ∆与 ( ) ( )2 2 1 2,S cm S cm ( )/v cm s 1 2S S⋅ 1 2S S⋅ x /cm s cm 5 7.5 15 2.5 Cv Bv    ≥ ＜ 在 点 在 点 2 / 6 /3 cm s v cm s≤＜ 1 2 ( )PAD CDM ABM NABCDS S S S S S∆ ∆ ∆+ = − − −（N）矩形 ( ) ( )5 15 2 5 2 575 10 2 2 x x× − × −= − − − 1 15 2 2 5 xMH CM −= = 10 5 15-2x 2x-5 H P B CD A M(N)∴ ∴ = = 因为 ，所以当 时， 取最大值 . 7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形 ABCD 是矩形，AB＝20，BC＝10，以 CD 为一边向矩形 外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点 M 在线段 AB 上，且 AM＝a，点 P 沿折线 AD﹣DG 运动， 点 Q 沿折线 BC﹣CG 运动（与点 G 不重合），在运动过程中始终保持线段 PQ∥AB．设 PQ 与 AB 之间的距离为 x． （1）若 a＝12． ①如图 1，当点 P 在线段 AD 上时，若四边形 AMQP 的面积为 48，则 x 的值为　 　； ②在运动过程中，求四边形 AMQP 的最大面积； （2）如图 2，若点 P 在线段 DG 上时，要使四边形 AMQP 的面积始终不小于 50，求 a 的取值 范围． 【解析】 ①P 在线段 AD 上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12， 1 1 2 152S MH AP x= ⋅ = − + 2 2S x= ( )1 2 2 15 2S S x x⋅ = − + ⋅ 24 30x x− + 215 2254 4 4x − − +   152.5 7.54 ＜ ＜ 15 4x = 1 2S S⋅ 225 4四边形 AMQP 的面积＝ （12+20）x＝48， 解得：x＝3； 故答案为：3； ②当 P，在 AD 上运动时，P 到 D 点时四边形 AMQP 面积最大，为直角梯形， ∴0＜x≤10 时，四边形 AMQP 面积的最大值＝ （12+20）10＝160， 当 P 在 DG 上运动，10＜x≤20，四边形 AMQP 为不规则梯形， 作 PH⊥AB 于 M，交 CD 于 N，作 GE⊥CD 于 E，交 AB 于 F，如图 2 所示： 则 PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10， ∵△GDC 是等腰直角三角形， ∴DE＝CE，GE＝ CD＝10， ∴GF＝GE+EF＝20， ∴GH＝20﹣x， 由题意得：PQ∥CD， ∴△GPQ∽△GDC， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， 解得：PQ＝40﹣2x， ∴梯形 AMQP 的面积＝ （12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169， ∴当 x＝13 时，四边形 AMQP 的面积最大＝169；（2）解：P 在 DG 上，则 10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x， 梯形 AMQP 的面积 S＝ （a+40﹣2x）×x＝﹣x2+ x，对称轴为：x＝10+ ， ∵0≤x≤20， ∴10≤10+ ≤15，对称轴在 10 和 15 之间， ∵10≤x≤20，二次函数图象开口向下， ∴当 x＝20 时，S 最小， ∴﹣202+ ×20≥50， ∴a≥5； 综上所述，a 的取值范围为 5≤a≤20． 考向 2 动点与函数的结合问题 1．(2019江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L1：y＝x2＋bx＋c 过点 C（0，﹣3），与抛物线 L2：y＝﹣ x2﹣ x＋2 的一个交点为 A，且点 A 的横坐标为 2，点 P、Q 分别是抛物线 L1、L2 上的动点． （1）求抛物线 L1 对应的函数表达式； （2）若以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标； （3）设点 R 为抛物线 L1 上另一个动点，且 CA 平分∠PCR．若 OQ∥PR，求出点 Q 的坐标．【解析】（1）将 x＝2 代入 y＝﹣ x2﹣ x+2，得 y＝﹣3，故点 A 的坐标为（2，﹣3）， 将 A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入 y＝x2+bx+c，得 ，解得 ， ∴抛物线 L1：y＝x2﹣2x﹣3； （2）设点 P 的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）， 第一种情况：AC 为平行四边形的一条边， ①当点 Q 在点 P 右侧时，则点 Q 的坐标为（x+2，﹣2x﹣3）， 将 Q（x+2，﹣2x﹣3）代入 y＝﹣ x2﹣ x+2，得 ﹣2x﹣3＝﹣ （x+2）2﹣ （x+2）+2， 解得，x＝0 或 x＝﹣1， 因为 x＝0 时，点 P 与 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为（﹣1，0）； ②当点 Q 在点 P 左侧时，则点 Q 的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3）， 将 Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入 y＝﹣ x2﹣ x+2，得 y＝﹣ x2﹣ x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣ （x﹣2）2﹣ （x﹣2）+2， 解得，x＝3，或 x＝﹣ ， 此时点 P 的坐标为（3，0）或（﹣ ， ）； 第二种情况：当 AC 为平行四边形的一条对角线时， 由 AC 的中点坐标为（1，﹣3），得 PQ 的中点坐标为（1，﹣3）， 故点 Q 的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）， 将 Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入 y＝﹣ x2﹣ x+2，得 ﹣x2+2x﹣3═﹣ （2﹣x）2﹣ （2﹣x）+2， 解得，x＝0 或 x＝﹣3， 因为 x＝0 时，点 P 与点 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为（﹣3，12）， 综上所述，点 P 的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣ ， ）或（﹣3，12）； （3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L1 不存在点 R 使得 CA 平分∠PCR， 当点 P 在 y 轴右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方， 过点 P、R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S、T， 过点 P 作 PH⊥TR 于点 H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°， 由 CA 平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT， ∴△PSC∽△RTC， ∴ ，设点 P 坐标为（x1， ），点 R 坐标为（x2， ）， 所以有 ， 整理得，x1+x2＝4， 在 Rt△PRH 中，tan∠PRH＝ ＝ 过点 Q 作 QK⊥x 轴于点 K，设点 Q 坐标为（m， ）， 若 OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH， 所以 tan∠QOK＝tan∠PRH＝2， 所以 2m＝ ， 解得，m＝ ， 所以点 Q 坐标为（ ，﹣7+ ）或（ ，﹣7﹣ ）． 2．(2019 江苏省常州市)已知平面图形 S，点 P、Q 是 S 上任意两点，我们把线段 PQ 的长度 的最大值称为平面图形 S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为 1 的圆：　 　；②如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　 　； （2）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣1，0）、B（1，0），C 是坐标平面内的点， 连接 AB、BC、CA 所形成的图形为 S，记 S 的宽距为 d． ①若 d＝2，用直尺和圆规画出点 C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）； ②若点 C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为 1，圆心 M 在过点（0，2）且与y 轴垂直的直线上．对 于⊙M 上任意点 C，都有 5≤d≤8，直接写出圆心 M 的横坐标 x 的取值范围． 【解析】（1）①半径为 1 的圆的宽距离为 1， 故答案为 1． ②如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，设半圆的圆心为 O，点 P 是⊙O 上一点，连接 OP，PC， OC． 在 Rt△ODC 中，OC＝ ＝ ＝ ∴OP+OC≥PC， ∴PC≤1+ ，∴这个“窗户形“的宽距为 1+ ． 故答案为 1+ ． （2）①如图 2﹣1 中，点 C 所在的区域是图中正方形 AEBF，面积为 2． ②如图 2﹣2 中，当点 M 在 y 轴的右侧时，连接 AM，作 MT⊥x 轴于 T． ∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8， ∴当 d＝5 时．AM＝4， ∴AT＝ ＝2 ，此时 M（2 ﹣1，2）， 当 d＝8 时．AM＝7， ∴AT＝ ＝2 ，此时 M（2 ﹣1，2）， ∴满足条件的点 M 的横坐标的范围为 2 ﹣1≤x≤2 ﹣1． 当点 M 在 y 轴的左侧时，满足条件的点 M 的横坐标的范围为﹣2 +1≤x﹣2 +1． 考向 3 运动过程中的定值问题 1．(2019 江苏省宿迁市)如图①，在钝角△ABC 中，∠ABC＝30°，AC＝4，点 D 为边 AB 中点， 点 E 为边 BC 中点，将△BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 α 度（0≤α≤180）．（1）如图②，当 0＜α＜180 时，连接 AD、CE．求证：△BDA∽△BEC； （2）如图③，直线 CE、AD 交于点 G．在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化？如变化， 请说明理由；如不变，请求出这个角的度数； （3）将△BDE 从图①位置绕点 B 逆时针方向旋转 180°，求点 G 的运动路程． 【解析】（1）如图②中， 由图①，∵点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点， ∴DE∥AC， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵∠DBE＝∠ABC， ∴∠DBA＝∠EBC， ∴△DBA∽△EBC． （2）∠AGC 的大小不发生变化，∠AGC＝30°． 理由：如图③中，设 AB 交 CG 于点 O．∵△DBA∽△EBC， ∴∠DAB＝∠ECB， ∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB， ∴∠G＝∠ABC＝30°． （3）如图③﹣1 中．设 AB 的中点为 K，连接 DK，以 AC 为边向右作等边△ACO，连接 OG， OB． 以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O， ∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°， ∴∠AGC＝ ∠AOC， ∴点 G 在⊙O 上运动，以 B 为圆心，BD 为半径作⊙B，当直线与⊙B 相切时，BD⊥AD， ∴∠ADB＝90°， ∵BK＝AK， ∴DK＝BK＝AK， ∵BD＝BK， ∴BD＝DK＝BK， ∴△BDK 是等边三角形， ∴∠DBK＝60°， ∴∠DAB＝30°， ∴∠DOG＝2∠DAB＝60°， ∴ 的长＝ ＝ ， 观察图象可知，点 G 的运动路程是 的长的两倍＝ ． 2．(2019 江苏省无锡市)如图 1，在矩形 中， ，动点 从 出发，以每秒 1 个 单位的速度，沿射线 方向移动，作 关于直线 的对称 ，设点 的运动时 间为 ． （1）若 ． ①如图 2，当点 落在 上时，显然 是直角三角形，求此时 的值； ②是否存在异于图 2 的时刻，使得 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题 意的 的值？若不存在，请说明理由． （2）当 点不与 点重合时，若直线 与直线 相交于点 ，且当 时存在某一时 刻有结论 成立，试探究：对于 的任意时刻，结论“ ”是否总 ABCD 3BC = P B BC PAB∆ PA PAB∆ ′ P ( )t s 2 3AB = B′ AC PAB∆ ′ t PCB∆ ′ t P C PB′ CD M 3t < 45PAM∠ = ° 3t > 45PAM∠ = °是成立？请说明理由． 【解析】（1）①勾股求的 AC= 易证 , 故 ②1°如图，当∠PCB’=90 °时，在△PCB’中采用勾股得： ， 解得 t=2 2°如图，当∠PCB’=90 °时，在△PCB’中采用勾股得： ，解得 t=6 t 3 3 3 2 3 2 3 3-t t B' C B' C B' C A B BA A B D P D P D P 21 CB P CBA′  ' '2 3 , =2 7 43 21 2 3 B P B P= − − 解得 2 2 2( 3) (3 )t t+ − = 2 2 2(3 3) ( 3)t t+ − =3°当∠CPB’=90 °时，易证四边形 ABP’为正方形，解得 t=2 （2）如图， ∵∠PAM=45° ∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45° 又∵翻折 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 又∵∠ADM=∠AB’M（AAS） t 2 33 3 2 3 t-3 32 3 t 3 3 3 2 3 2 3 3-t t B' C B' CB' C A B BA A B D P D P D P t 3 3 3 2 3 2 3 3-t t B' C B' CB' C A B BA A B D P D P D P 4 3 2 1 M B' B C B' B C A D A D P M P 3∴AD=AB’=AB 即四边形 ABCD 是正方形 如图，设∠APB=x ∴∠PAB=90°-x ∴∠DAP=x 易证△MDA≌△B’AM（HL） ∴∠BAM=∠DAM ∵翻折 ∴∠PAB=∠PAB’=90°-x ∴∠DAB’=∠PAB’-∠DAP=90°-2x ∴∠DAM= ∠DAB’=45°-x ∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45° 4 3 2 1 M B' B C B' B C A D A D P M P 2 1