2020年中考数学热点专题冲刺2规律探究问题（全国版）

热点专题２ 规律探究问题 数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律性问 题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。 学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律， 并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要 求，近年中考数学经常出现的考题. 归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一 组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊 到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以 及探究能力和创新能力. 结合 2019 年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或 运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环 规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳； （8）根据乘方规律归纳. 考向 1 数字类规律探究型问题 1. (2019·海南)有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果 第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是______，这 2019 个数的和是______. 【答案】0，2 【解析】根据题目的规则，0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，……，每 6 个数是一个循环 单位，∴前 6 个数的和是 0，2019÷6=336…3，∴这 2019 个数的和=0+1+1=2. 2.（2019·黄石）将被 3 整除余数为 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵 则第 20 行第 19 个数是_____________________． 【答案】625 【解析】由图可得，第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，…，则前 20 行的数字有： 1+2+3+…+19+20=210 个数，∴第 20 行第 20 个数是：1+3（210﹣1）=628，∴第 20 行第 19 个数是： 628﹣3=625． 3. （2019·武威）已知一列数 ， ， ， ， ， ， ，按照这个规律写下去， 第 9 个数是 ． 【答案】 【解析】 由题意知第 7 个数是 ，第 8 个数是 ，第 9 个数是 ，故答案为 ． 4. （2019·云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第 n 个单项式是（ ） A.（－1）n－1x2n－1 B.（－1）nx2n－1 C.（－1）n－1x2n＋1 D.（－1）nx2n＋1 【答案】C 【解析】本题考查了通过探究规律性列代数式的能力，∵x3=（﹣1）1﹣1x2×1+1， ﹣x5=（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7=（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9=（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11=（﹣1）5﹣1x2×5+1，…… 由上可知，第 n 个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，因此本题选 C． 5. (2019·聊城) 数轴上 O，A 两点的距离为 4，一动点 P 从点 A 出发，按以下规律跳动:第 1 次跳动到 AO 的 中点 A1 处，第 2 次从 A1 点跳动到 A1O 的中点 A2 处，第 3 次从 A2 点跳动到 A2O 的中点 A3 处，按照这样的规 律继续跳动到点 A4，A5，A6，…，An(n≥3，n 是整数)处，那么线段 AnA 的长度为________(n≥3，n 是整 数). 【答案】4－ 【解析】∵AO=4，∴OA1=2，OA2=1，OA3= ，OA4= ，可推测 OAn= ，∴AnA=AO－OAn=4－ . 6．（2019·安顺）将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位于第 45 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43   a b a b+ 2a b+ 2 3a b+ 3 5a b+ …… 13 21a b+ 5 8a b+ 8 13a b+ 13 21a b+ 13 21a b+ 22 1 −n 1 2 2 1 2 22 1 −n 22 1 −n行、第 7 列的数是　 　． 【答案】2019 【解析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，∴第 45 行第一个数是 2025，∴第 45 行、第 7 列的数是 2025﹣6=2019，故答案为 2019． 7. （2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其 规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的 乘方(a＋b)n 的展开式(按 b 的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图 一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15 的展开式按 x 的升幂排列得：(s＋x)15=a0 ＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15． 依上述规律，解决下列问题： (1)若 s=1，则 a2= ． (2)若 s=2，则 a0＋a1＋a2＋…＋a15= ． 【答案】(1)105 (2)315 【解析】(1)当 s=1 时， (1＋x)1=1＋x (1＋x)2=1＋2x＋x2 a2=1 (1＋x)3=1＋3x＋3x2＋x3 a2=3=1＋2 (1＋x)4=1＋4x＋6x2＋4x3＋x4 a2=6=1＋2＋3 (1＋x)5=1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5 a2=10=1＋2＋3＋4 (1＋x)6=1＋6x＋15x2＋20x3＋15x4＋6x5＋x6 a2=15=1＋2＋3＋4＋5当 n=15 时，a2=1＋2＋3＋4＋……＋14= ×(1＋14)×14=105． (2)若 s=2，令 x=1，则(2＋1)15= a0＋a1＋a2＋…＋a15，即 a0＋a1＋a2＋…＋a15=315． 考向 2 几何图形类规律探究型问题 1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转 90°得到，第 2019 个图案中箭头的指向是（　　） A．上方 B．右方 C．下方 D．左方 【答案】C 【解析】如图所示：每旋转 4 次一周，2019÷4=504…3， 则第 2019 个图案中箭头的指向与第 3 个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选 C． 2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2019 个图 形中共有　 　个〇． 【答案】6058 【解析】 由图可得，第 1 个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 第 2 个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第 3 个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第 4 个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…… ∴第 2019 个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058 个〇，故答案为：6058． 3. （2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅图中有 3 个 菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，如果第 幅图中有 2019 个菱形，则 __________． 【答案】1010 【解析】解：根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个． 第 2 幅图中有 个．第 3 幅图中有 个． 第 4 幅图中有 个． ．可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个． 2 1 n n = 2 2 1 3× − = 2 3 1 5× − = 2 4 1 7× − = …故第 幅图中共有 个．当图中有 2019 个菱形时， ， ，故答案为 1010． 4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第 n 个"T"字形需要的棋子个数为______. 【答案】3n+2 【解析】第 1 个图形有 5 个棋子，第 2 个图形有 8 个棋子，第 3 个图形有 11 个棋子，所以第 n 个图形有(3n+2) 个棋子 5. （2019·龙东地区）如图，四边形 OAA 1B1 是边长为 1 的正方形，以对角线 OA1 为边作第二个正方形 OA1A2B2，连接 AA2，得到△AA1A2；再以对角线 OA2 为边作第三个正方形 OA2A3B3，连接 A1A3，得到△A1A2A3， 再以对角线 OA3 为边作第三个正方形 OA3A4B4 ，连接 A2A4 ，得到△A2A3A4 ，…，记△AA 1A2 ，△A1A2A3 ， △A2A3A4…的面积分别为 S1，S2，S3…，如此下去，则 S2019=________． 【答案】22017. 【解析】△AA1A2 中，AA1=1，AA1 边上的高是 1，它的面积 S1= ×1×1； △A1A2A3 中，A1A2=1× ，A1A2 边上的高是 1× ，它的面积 S2= ×1× ×1× ； △A2A3A4 中，A2A3=1× × ，A2A3 边上的高是 1× × ，它的面积 S3= ×1× × ×1× × ； … 如 此 下 去 ， △A2018A2019A2020 中 ， A2018A2019= = ， A2018A2019 边 上 的 高 是 ，它的面积 S2019= × × =22017. 6. （2019 ·扬州）如图，在 中， ， ，若进行以下操作，在边 上从左到右依次取点 、 、 、 、 ；过点 作 、 的平行线分别交 、 于点 、 ；过点 作 、 A4 A3 B3 A2 B2 A1B1 AO n (2 1)n − 2 1 2019n − = 1010n = 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2018 2 2 2 2 2× × × × 个 相乘 … 2018( 2) 2018( 2) 1 2 2018( 2) 2018( 2) ABC∆ 5AB = 4AC = BC 1D 2D 3D 4D … 1D AB AC AC AB 1E 1F 1D AB的平行线分别交 、 于点 、 ；过点 作 、 的平行线分别交 、 于点 、 ，则 __________． 【答案】40380 【解析】 ， ， ，即 ， ， ， ， 同理 ， ， ， ； 故答案为 40380． 考向 3 点的坐标变化的规律探究型问题 1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点 O（0，0），A（－3，4），B（3，4）.将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10） 【答案】D 【解题】延长 DA 交 x 轴于点 M∵A（-3，4），B（3，4），∴AB=6，AB∥x 轴， ∵四边形 ABCD 为正方形，∴AD=AB=6，∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°， 连结 OD，Rt△DMO 中，MO=3 DM=10 则 D 点的坐标为（-3，10） 将△OAB 和正方形 ABCD 绕点 O 每次顺时针旋转 90°，Rt△DMO 也同步绕点 O 每次顺时针旋转 90° 当图形绕点 O 顺时针第一次旋转 90°后， D 点的坐标为（10，3）， 当图形绕点 O 顺时针第二次旋转 90°后， D 点的坐标为（3，-10）， k y xM CD BA O y x CD BA O AC AC AB 2E 2F 3D AB AC AC AB 3E 3F … 1 1 2 2 2019 2019 1 1 2 2 2019 20194( ) 5( )D E D E D E D F D F D F+ +…+ + + +…+ = 1 1 / /D F AC 1 1 / /D E AB ∴ 1 1 1D F BF AC AB = 1 1 1 1D F AB D E AC AB −= 5AB = 4BC = 1 1 1 14 5 20D E D F∴ + = 2 2 2 24 5 20D E D F+ = … 2019 2019 2019 20194 5 20D E D F+ = 1 1 2 2 2019 2019 1 1 2 2 2019 20194( ) 5( ) 20 2019 40380D E D E D E D F D F D F∴ + +…+ + + +…+ = × =当图形绕点 O 顺时针第三次旋转 90°后， D 点的坐标为（-10，-3）， 当图形绕点 O 顺时针第四次旋转 90°后， D 点的坐标为（-3，10）， 当图形绕点 O 顺时针第五次旋转 90°后， D 点的坐标为（10，3）， ······ 每四次为一个循环，∵70÷4=17···2，∴旋转 70 次后，D 点的坐标为（3，-10）， 故选 D. 2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O 出发，按“向上→向右→ 向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 A1， 第二次移动到点 A2……第 n 次移动到点 An，则点 A2019 的坐标是（　　） A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1） 【答案】C 【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…， 2019÷4=504…3， 所以 A2019 的坐标为（504×2+1，0）， 则 A2019 的坐标是（1009，0），故选 C． 3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以 为直角边作 △ ，并使 ，再以 为直角边作 △ ，并使 ，再以 为直角边作 △ ，并 使 按此规律进行下去，则点 的坐标为__________． 【答案】 ， ． 【解析】由题意得， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ， 1A (1,0) 1OA Rt 1 2OA A 1 2 60AOA∠ = ° 2OA Rt 2 3OA A 2 3 60A OA∠ = ° 3OA Rt 3 4OA A 3 4 60A OA∠ = °… 2019A 2017( 2− 20172 3) 1A (1,0) 2A (1, 3) 3A ( 2− 2 3) 4A ( 8,0)− 5A ( 8, 8 3)− − 6A (16, 16 3)− 7A (64,0) …由上可知， 点的方位是每 6 个循环， 与第一点方位相同的点在 正半轴上，其横坐标为 ，其纵坐标为 0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为 ，纵坐标为 ， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为 ，纵坐标为 ， 与第四点方位相同的点在 负半轴上，其横坐标为 ，纵坐标为 0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为 ，纵坐标为 ， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为 ，纵坐标为 ， ， 点 的方位与点 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为 ，纵坐标为 ， 故答案为： ， ． 4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，过 上的点 A1（1， ）作 x 轴的垂线交 于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交 于点 A3，过点 A3 作 x 轴的垂线 交 于点 A4…，一次进行下去，则点 的横坐标为 . 【答案】：-31009 【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律： A1（1， ），A2（1， ）， A3（-3， ），A4（-3， ）， A5（9， ），A6（9， ）， A x 12n− 22n− 22 3n− 22n−− 22 3n− x 12n−− 22n−− 22 3n−− 22n− 22 3n−− 2019 6 336 3÷ = … ∴ 2019A 23A 2 20172 2n−− = − 20172 3 2017( 2− 20172 3) xy 3 3= xy 3−= 1l 2l 1l 3 3 2l 1l 2l 2019A 3 3 3− 3− 33 33 39−A7（-27， ），…… A2n+1[(-3)n，3×(-3)n]（n 为自然数），2019=1009×2+1，所以 A2019 的横坐标为：(-3)1009=-31009. 5. （2019·本溪）如图，点 B1 在直线 l： 上，点 B1 的横坐标为 2，过点 B1 作 B1A1⊥l，交 x 轴于点 A1，以 A1B1 为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1 交 x 轴于点 A2；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3C2， 延长 B3C2 交 x 轴于点 A3；以 A3B3 为边，向右作正方形 A3B3B4C3，延长 B4C3 交 x 轴于点 A4；…；按照这个规 律进行下去，点 Cn 的横坐标为 【答案】 . 【解题过程】如图，过 B1、C1 点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M，N， ∵点 B1 在直线 l： 上，且点 B1 的横坐标为 2，∴B1（2，1）， ∴B1M=1，OM=2，∴A1M= . ∵四边形 A1C1B2B1 是正方形， ∴△A1B1M≌△C1A1N， ∴A1N=1， ∴C1 的横坐标为 2+1+ =2+ ， 在 Rt△A1MB1 中 A1B1= ， ∴OB2= ，∴B2 的坐标为（3， ） 同理可得 C2 的横坐标为 3+ × ，B3（ ， ），C3 的横坐标为 + × ，… 39− 1 2y x= 17 3 2 2 n− ×   1 2y x= 1 2 1 2 3 2 2 2 1 1 5 2A M B M+ = 3 5 2 3 2 3 2 3 2 9 2 9 4 9 2 9 4 3 2Bn（2× ， ）， Cn 的横坐标为 2× + × = ， 故答案为 . 6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线 l：y= 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 A1，过点 A1 作 A1B1⊥l， 交 x 轴于点 B1，过点 B1 作 B1A2⊥x 轴，交直线 L 于点 A2；过点 A2 作 A2B2⊥l，交 x 轴于点 B2，过点 B2 作 B2A3 ⊥x 轴，交直线 L 于点 A3；依此规律...若图中阴影△A1OB1 的面积为 S1，阴影△A2B1B2 的面积 S2，阴影△A3B2B3 的面积 S3...，则 Sn=__________． 【答案】 【解析】由题意知 OA=1，则 OB1= ，∴S1= ； ∴A2( ， )，∴A2B1= ，B1B2= ，∴S2= ； ∴A3( ， )，∴A2B1= ，B1B2= ，∴S2= ；...∴Sn= 13 2 n−     13 2 n−     13 2 n−     13 2 n−     3 2 17 3 2 2 n− ×   17 3 2 2 n− ×   13 3 +x 1 9 16 6 3 −n）（ 3 3 6 3 3 3 3 4 3 4 39 4 6 3 9 16× 9 37 9 16 9 16 327 16 6 3 2 9 16）（× 1 9 16 6 3 −n）（