2020年中考数学热点专题冲刺4动态探究问题（全国版）

热点专题４ 动态探究问题 2019 的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图 形问题. 一、求最值问题 初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何 图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个： （1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短.求线段和的最小值问题可 以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题. 二、动点构成特殊图形 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注 图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系， 或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决. 小结 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数 学本质. 考向 1 动点与最值 1． (2019·聊城)如图，在 Rt△ABO 中，∠OBA=90°，A(4，4)，点 C 在边 AB 上，且 = ，点 D 为 OB 的 中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为（ ） A．(2，2) B．( ， ) C．( ， ) D．(3，3) AC CB 1 3 5 2 5 2 8 3 8 3【答案】C 【解析】由题可知：A(4，4)，D(2，0)，C(4，3)，点 D 关于 AO 的对称点 D'(0，2)，设 lD'C：y=kx+b，将 D'(0，2)，C(4，3)代入，可得 y= x+2，与 y=x 联立，得，x= ，y= ，∴P( ， )故选 C． 2.（2019·威海）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 在反比例函数 的图像上运动，且始终 保持线段 的长度不变，M 为线段 AB 的中点，连接 OM.则线段 OM 的长度的最小值是 （用含 k 的代数式表示）. 【答案】 【解析】过点 A 作 x 轴⊥ AC，过点 B 作 y 轴⊥ BD，垂足为 C，D，AC 与 BD 相交于点 F， 连接 OF.当点 O、F、M 在同一直线上时 OM 最短.即 OM 垂直平分 AB．设点 A 坐标为（a，a ＋4），则点 B 坐标 为（a ＋4，a），点 F 坐标为（a，a）. 由题意可知△AFB 为等腰直角三角形，∵AB= ，∴AF=BF=4. ∵点 A 在反比例函数 y= 的图象上，∴a (a＋4)=k，解得 a = . 在 Rt△OCF 中，OF= = a = = ， ∴OM=OF＋FM= = . x y M O A B 1 4 8 3 8 3 8 3 8 3 ( )0ky kx = ≠ 4 2AB = 2 8k + 4 2 4 2k + − 2 2CF OC+ 2 2( 4 2)k + − 2 22 8k + − 2 2 2 22 8k ++ − 2 8k +3．(2019·巴中)如图，在菱形 ABCD 中，连接 BD，AC 交于点 O，过点 O 作 OH⊥BC 于点 H，以点 O 为圆心， OH 为半径的半圆交 AC 于点 M. （1）求证:DC 是 O 的切线;（2）若 AC=4MC 且 AC=8，求图中阴影部分的面积; （3）在②的条件下，P 是线段 BD 上的一动点，当 PD 为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值. 解：（1）过点 O 作 OG⊥CD 于点 G， 菱形 ABCD 中，AC 是对角线， ∴AC 平分∠BCD， ∵OH⊥BC， ∴OH=OG， ∵OH 是 O 的半径， ∴OG 等于 O 的半径， ∴CD 是 O 的切线. ① x y C D M O A B    （2）∵AC=4MC，AC=8， ∴OC=2MC=4，MC=OM=2，∴OH=OM=2， 在 Rt△OHC 中，OH=2，OC=4， ∴HC= = ，tan∠HOC= ， ∴∠HOC=60°， ∴S 阴影=S△OCH－S 扇形 OHM= = － . （3）作点 M 关于 BD 的对称点 N，连接 HN 交 BD 于点 P，此时 PH+PM 的值最小. ∵ON=OM=OH，∠MOH=60°， ∴∠MNH=30°，∠MNH=∠HCM， ∴HN=HC= ，即 PH+PM 的最小值为 . 在 Rt△NPO 中，OP=ONtan30°= ， 在 Rt△COD 中，OD=OCtan30°= ，∴PD=OP+OD= . 4．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB=4，BC=6.若不改变矩形 ABCD 的形状 和大小，当形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半上随之上下移 动. (1)当∠OAD=30°时，求点 C 的坐标； (2)设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为 时，求 OA 的长； (3)当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cos∠OAD 的值. 2 2OC OH- 2 3 3HC OH = 21 60 2 2 360CH OH p× ×× × - 2 3 2 3 π 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 2 3 2 21解：（1）如图 1，过点 C 作 CE⊥y 轴，垂足为 E. ∵矩形 ABCD 中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=30°. 在 Rt△CED 中，CE= CD=2，∴DE= ; 在 Rt△OAD 中，∠OAD=30°，∴OD= AD=3.∴点 C 的坐标为(2， ). (2)∵M 为 AD 的中点，∴DM=3， . 又∵ ，∴ ，∴ . 设 OA=x，OD=y，则 ，∴ ， 即 ，∴x=y.将 x=y 代入 得 ， 解得 ( 不合题意，舍去)，∴OA 的长为 . （3）OC 的最大值为 8.理由如下：如图 2， 2 1 3224 2222 =−=−CECD 2 1 323+ 6=DCMS△ 2 21=OMCDS四边形 2 9=ODMS△ 9=OADS△    = =+ 92 1 3622 xy yx xyyx 222 =+ 0)( 2 =− yx 3622 =+ yx 182 =x 23=x 23− 23∵M 为 AD 的中点，∴OM=3， . ∴OC≤OM+CM=8， 当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8. 连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ON⊥AD，垂足为 N. ∵∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN， ∴△CMD∽△OMN， ∴ ，即 ， 解得 ， ， ∴ . 在 Rt△OAN 中，∵ ， ∴ . 5．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB=6cm，动点 P 从点 A 出发以 cm/s 的速度沿 AB 匀速运动．动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 延长线方向匀速运动．当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动．设 运动时间为 t（s）．过点 P 作 PE⊥AC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D．以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE． （1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形； （2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由； 522 =+= DMCDCM OM CM MN DM ON CD == 3 534 == MNON 5 9=MN 5 12=ON 5 6=−= MNAMAN 5 5622 =+= ANONOA 5 5cos ==∠ OA ANOAD（3）求 DE 的长； （4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将△BPM 沿直线 PM 翻折，得△B′PM，连接 AB′，当 t 为何值时，AB′ 的值最小？并求出最小值． 解：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∵BP⊥PQ，∴2BP=BQ 即 2（6－t）=6＋t，解得 t=2．∴当 t 为 2 时，△BPQ 为直角三角形； （2）存在．作射线 BF， ∵PE⊥AC，∴AE=0.5t． ∵四边形 CQFE 是平行四边形，∴FQ=EC=6－0.5t， ∵BF 平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF=90°． ∵BQ=2FQ，BQ=6＋t，∴6＋t=2（6－0.5t），解得 t=3． （3）过点 P 作 PG∥CQ 交 AC 于点 G，则△APG 是等边三角形． ∵BP⊥PQ，∴EG= AG． ∵PG∥CQ， ∴∠PGD=∠QCD， ∵∠PDG=∠QDC，PG=PA=CG=t， ∴△PGD≌△QCD． ∴GD= GC．∴DE= AC=3． 1 2 1 2 1 2（4）连接 AM， ∵△ABC 为等边三角形，点 M 是 BC 的中点， ∴BM=3．由勾股定理，得 AM=3 ． 由折叠，得 BM′=3． 当 A 、B′、M 在同一直线上时，AB′的值最小，此时 AB′=3 －3. 过点 B′作 B′H⊥AP 于点 H，则 cos30°= ，即 = ， 解得 t=9－3 ． ∴t 为 9－3 时，AB′的值最小，最小值为 3 －3． 考向 2 动点与图形存在性问题 1.（2019·自贡）如图，已知直线 AB 与抛物线：y=ax2+2x+c 相交于点 A（-1，0）和点 B（2，3）两点. （1）求抛物线 C 函数解析式；（2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，以 MA、MB 为相邻的两 边作平行四边形 MANB，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标； （3）在抛物线 C 的对称轴上是否存在顶点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到 F 的距离等于到直线 y=17 4 的距离， 若存在，求出定点 F 的坐标；若不存在，请说明理由. H B' M F D E Q A B C P 3 3 AH AB′ 3 2 2 3 3 3 t − 3 3 3解：（1）将 A（-1，0）和 B（2，3）代入抛物线解析式得{ a - 2 + c = 0 4a + 4 + c = 3，解得，{a = -1 c = 3 ， ∴抛物线解析式为 y=-x2+2x+3. （2）过 M 作 MH∥y 轴，交 AB 于 H， 设直线 AB 为 y=kx+b，将 A，B 坐标代入得，{ -k + b = 0 2k + b = 3 ，解得，{k = 1 b = 1. ∴直线 AB 的解析式为 y=x+1. 设 M 为（m，-m2+2m+3），则 H（m，m+1） ∴MH=yM-YH=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2. ∴S△ABM=S△AMH+S△BMH=1 2·MH·（xB-xA）=1 2·(-m2+m+2)·(2+1)=-3 2(m2-m)+3=-3 2(m-1 2)2+27 8 . ∵四边形 MANB 是以 MA、MB 为相邻的两边的平行四边形， ∴△ABM≌△BAN. ∴S 四边形 MANB=2 S△ABM=-3(m-1 2)2+27 4 ， ∵a=-3＜0 且开口向下， ∴当 m=1 2时，S 四边形 MANB 的最大值为27 4 . 此时，M 坐标为（1 2，15 4 ）. （3）存在，理由如下：过 P 作直线 y=17 4 的垂线，垂足为 T，∵抛物线为 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1，4）. 当 P 为顶点，即 P（1.4）时，设 F 点坐标为（1，t），此时 PF=4-t，PT=17 4 -4=1 4. ∵P 到 F 的距离等于到直线 y=17 4 的距离，∴4-t=1 4，即 t=15 4 . ∴F 为（1，15 4 ），设 P 点为（a，-a2+2a+3），由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-15 4 )2 =a4-4a3+13 2 a2-5a+25 16.又∵PT2=[17 4 -(-a2+2a+3)]2= a4-4a3+13 2 a2-5a+25 16.∴PF2=PT2，即 PF=PT.∴当 F 为（1，15 4 ） 时，抛物线 C 上任意一点 P 到 F 的距离等于到直线 y=17 4 的距离 . 2.（2019·凉山州）如图，抛物线 y= ax2+bx+c 的图象过点 A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）. （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得△PAC 的周长最小，若存在，请 求出点 P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 M （不与 C 点重合），使得 S△PAM=S△PAC，若存在， 请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题知 ，解得 ，∴抛物线的解析式为 y= -x2+2x+3； （2）存在.连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时△PAC 的周长最小.设 BC:y=kx+3，则 3k+3=0，解得 k=-1，∴ BC:y=-x+3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线 x=1，当 x=1 时，y=-x+3=2，∴P（1，2）.在 Rt△OAC 中，AC= = ；在 Rt△OBC 中，BC= =3 .∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，∴ PA=PB，∴△PAC 的周长=AC+PC+PA= AC+PC+PB=AC+BC= +3 .综上，存在符合条件的点 P，其坐标为 （1，2），此时△PAC 的周长为 +3 ； （3）存在.由题知 AB=4，∴S△PAC=S△ABC-S△PAB= ×4×3- ×4×2=2.    = =++ =+− 3 039 0 c cba cba    = = −= 3 2 1 c b a 22 31 + 10 22 33 + 2 10 2 10 2 2 1 2 1设：AP:y=mx+n，则 ，解得 ，∴AP:y=x+1. ①过点 C 作 AP 的平行线交 x 轴上方的抛物线于 M，易得 CM:y=x+3， 由 解得 ， ，∴M（1，4）； ②设抛物线对称轴交 x 轴于点 E（1，0）， 则 S△PAC= ×2×2=2=S△PAC．过点 E 作 AP 的平行线交 x 轴上方的抛物线于 M，设 EM:y=x+t，则 1+t=0， ∴t=-1，∴EM:y=x-1. 由 解得 （舍）， ， ∴M（ ， ）. 综上，存在符合条件的点 M，其坐标为（1，4）或（ ， ）. 考向 3 动点与函数图像问题 1．(2019·广元)如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的动点，它从点 A 出发沿 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D， 设△PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为( )    =+ =+− 2 0 nm nm    = = 1 1 n m    ++−= += 32 3 2 xxy xy    = = 3 0 1 1 y x    = = 4 1 2 2 y x 2 1    ++−= −= 32 1 2 xxy xy      −−= −= 2 171 2 171 1 1 y x      +−= += 2 171 2 171 2 2 y x 2 171+ 2 171+− 2 171+ 2 171+−【答案】A 【解析】点 P 在整个运动过程中，△PAD 的底边 AD 始终不变，故面积的变化取决于 AD 边上高线的变化，当 点 P 在 AB 上运动时，高线均匀变大，故面积也均匀变大，当点 P 在 BC 上运动时，由于 BC∥AD，平行线间 距离处处相等，故高线不变，∴面积也不发生改变，当点 P 在 CD 上运动时，高线又会均匀变小，故面积也 会均匀变小，故选 A． 2．（2019·衡阳）如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 AC 和 BC 的垂 线，垂足分别为点 D 和点 F，四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动，点 C 与点 A 重合时停止运动，设运动时间 为 t，运动过程中四边形 CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为 S，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ）． 【答案】C．【解析】由题意知，四边形 CDEF 在运动过程中，与△ABC 的重叠部分面积是由矩形到五边形， 再到三角形，最后点 C 与点 A 重合时停止运动，呈现出的图象是曲线，故选 C． 3.（2019·菏泽）如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 A→D→C，A→B→C 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ，设运动时间为 xs，△APQ 的面积为 ycm2，则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（　　） F D E C A B【答案】A【解析】①当 0≤x≤2 时，∵正方形的边长为 2cm，∴y=S△APQ = 1 2AQ•AP = 1 2x2； ②当 2≤x≤4 时，y=S△APQ=S 正方形 ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D， =2×2 - 1 2（4﹣x）2 - 1 2 × 2×（x﹣2） - 1 2 × 2×（x﹣2） = - 1 2x2+2x ∴y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 A 选项图象符合．故选 A． 4．（2019·长沙）如图，函数 (k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧），直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若 BM⊥AM 于点 M，则∠ MBA=30°；③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k= ；④若 MF= MB，则 MD=2MA．其中 正确的结论的序号是 ． 【答案】①③④答案：①③④ 【解析】①设点 A（m， ），M（n， ），则直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+ + ， ∴ C （ m+n ， 0 ）， D （ 0 ， ），∴ S△ODM= n× = ， S△OCA= （ m+n ） × = ， ∴△ODM 与△OCA 的面积相等，故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O 是 AB 的中点.∵BM⊥AM，∴OM=OA，∴k=mn， ky x = 2 3+ 2 5∴A（m，n），M（n，m），∴AM= （n﹣m），OM= ，∴AM 不一定等于 OM， ∴∠BAM 不一定是 60°，∴∠MBA 不一定是 30°．故②错误； ∵M 点的横坐标为 1，∴可以假设 M（1，k），∵△OAM 为等边三角形，∴OA=OM=AM，1+k2=m2+ ， ∴m=k.∵OM=AM，∴（1﹣m）2+ =1+k2，∴k2﹣4k+1=0，∴k=2 . ∵m＞1，∴k=2+ ，故③正确， 如图，作 MK∥OD 交 OA 于 K． ∵OF∥MK，∴ = = ，∴ = ，∵OA=OB，∴ = ，∴ = ，∵KM∥OD，∴ = =2， ∴DM=2AM，故④正确． 故答案为①③④．