2020年中考数学热点专题冲刺6方案设计问题（全国版）

热点专题 7 方案设计问题 《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中明确提出要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环 境与社会”，学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题，2019 年中考试卷中有 一类方案设计题，特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己 设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命 题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐，它要求学生根据題意设计符合条件 的方案，或对己知方案进行评判，涉及的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三 角函数方程或不等式(组)的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念. 考向 1 设计测量安装方案问题 1．（2019·山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案，并利用 课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的 仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时， 都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整). 课题 测量旗杆的高度 成员 组长:××× 组员:×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等测量 示意图 说明:线段 GH 表示旗杆，测量角度的仪器的高度 AC=BD=1.5m，测点 A，B 与 H 在同一条水平直线上，A，B 之间的距离可以直接测得，且点 G，H，A， B，C，D 都在同一竖直平面内.点 C，D，E 在同一直线上，点 E 在 GH 上. 测量项目 第一次 第二次 平均值 ∠GCE 的度数 25.6° 25.8° 25.7° ∠GDE 的度数 31.2° 30.8° 31° 测量数据 A，B 之间的距离 5.4m 5.6m …… …… 任务一:两次测量 A，B 之间的距离的平均值是______m. 任务二:根据以上测量结果，请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆 GH 的高度. (参考数据:sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86， tan31°≈0.60) 任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时，讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案，但 未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可) 解：任务一:平均值=(5.4+5.6)÷2=5.5m 任务二:由题意可得，四边形 ACDB，ACEH 都是矩形，∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，设 EG=xm， 在 Rt△DEG 中，∠DEG=90°，∠GDE=31°， ∵tan31°= ，∴DE= ， 在 Rt△CEG 中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°， ∵tan25.7°= ，∴CE= ， ∵CD=CE－DE，∴ － =5.5，∴x=13.2， ∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7. 答:旗杆 GH 的高度为 14.7m. 任务三:答案不唯一:没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等. 2．（2019·常德）如图是一种淋浴喷头，右图是的示意图，若用支架把喷头固定在 A 点处，手柄长 AB=25cm，AB 与墙壁 D 的夹角∠ AB=37°，喷出的水流 BC 与 AB 行程的夹角∠ABC=72°，现在住户要求： 当人站在 E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 C 处，且使 DE=50cm，CE=130cm．问：安装师傅应将支架固定 在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95， EG DE tan31 x  EG CE tan 25.7 x  tan 25.7 x  tan31 x  D′ D′cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）． 解：过 B 点作 MN∥DE，分别交直线 AD 和直线 EC 于点 M、N，由题意可知 AD∥CE，∠ADE=90° ∴四边形 DMNE 为矩形，∴∠AMB=∠BNC=9 0°，MN=DE，MD=NE．在 Rt△ABM 中，∠ AB=37°， sin∠MAB= ，∴MB=AB·sin37°=25×0.6=15，cos∠MAB= ，∴AM=AB·cos37°=25×0.8=20，∵MN=DE=50，∴ NB=50－15=35，∵∠ABM=90°－37°=53°，∠ABC=72°，∴∠NBC=180°－53°－72°=55°，∴∠BCN=90° －55°=35°．在 Rt△BNC 中，tan∠BCN= ，∴CN= =50，∴EN=CN+CE=50+130=180=MD，∴AD=MD－AM=180 －20=160（cm）． 答：安装师傅应将支架固定在离地面 160cm 高的位置． 考向 2 设计方案搭配问题 1.（2019·遵义） 某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有 A，B 两种 客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人，若租用 4 辆 A 型客车和 3 辆 B 型客 车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元 （1）求租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是多少元； （2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有几种租车方案？哪种方案最省钱？ 解（1）设租用 A 型客车的费用是 x 元，B 型客车的费用是 y 元，根据题意得 D′ MB AB AM AB BN CN 35 0.754x+3y=10700;3x+4y=10300，解得，x=1700，y=1300; 答：租用 A 型客车的费用 1700 元，B 型客车的费用是 1300 元. （2）设租用 A 型客车 a 辆，B 型客车 b 辆，根据题意得 45a+30b≥240；1700a+1300b≤10000； ∴ ，∵a，b 均为正整数，∴a=2，b=5;a=4，b=2 两种方案， 当 a=2，b=5 时，费用为 （元）， 当 a=4，b=2 时，费用为 （元）， 答：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆时费用最低，最低费用为 9400 元. 2．（2019 山东滨州，22，12 分）有甲、乙两种客车，2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人，1 辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人． （1）请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？ （2）某学校组织 240 名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共 6 辆，一次将全部师生送到指定地 点．若每辆甲种客车的租金为 400 元，每辆乙种客车的租金为 280 元，请给出最节省费用的租车方案，并 求出最低费用． 解：（1）设辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 a 人，b 人， ， 解得 答：1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 45 人和 30 人． （2）设租用甲种客车 x 辆，租车费用为 y 元，根据题意，得 y=400x+280（6－x）=120x+1680． 由 45x+30（6－x）≥240，得 x≥4． ∵120＞0，∴y 随 x 的增大而增大，∴当 x 为最小值 4 时，y 值最 小． 即租用甲种客车 4 辆，乙种客车 2 辆，费用最低， 此时，最低费用 y=120×4+1680=2160（元）． 3．（2019 浙江省温州市）某旅行团 32 人在景区 A 游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童 10 人， 成人比少年多 12 人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人? （2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各 1 名）带领 10 名儿童去另一景区 B 游玩．景区 B 的门 票价格为 100 元/张，成人全票，少年 8 折，儿童 6 折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人 8 人 和少年 5 人带队，则所需门票的总费用是多少元?②若剩余经费只有 1200 元可用于购票，在不超额的前提 下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少． 【解题过程】（1）该旅行团中成人有 x 人，少年有 y 人，根据题意，得： 17 b13-100 3 b2-16 ≤≤ a 99005130021700 =×+× 94002130041700 =×+× 2 3 =180 2 =105 a b a b ，ì +ïïíï +ïî =45 =30. a b ，ìïïíïïî，解得 .答：该旅行团中成人有 17 人，少年有 5 人； （2）①∵成人 8 人可免费带 8 名儿童， ∴所需门票的总费用为：100×8+100×0.8×5+100×0.6×(10-8)=1320(元). ②设可以安排成人 a 人、少年 b 人带队，则 1≤a≤17，1≤b≤5. 设 10≤a≤17 时，(i) 当 a=10 时，100×10+80b≤1200，∴b≤ ， ∴ b 最大值=2，此时 a+b=12，费用为 1160 元； (ii) 当 a=11 时，100×11+80b≤1200， ∴b≤ ，∴ b 最大值=1，此时 a+b=12，费用为 1180 元； (iii) 当 a≥12 时，100a≥1200，即成人门票至少需要 1200 元，不符合题意，舍去. 设 1≤a＜10 时，(i) 当 a=9 时，100×9+80b+60≤1200，∴b≤3， ∴ b 最大值=3，此时 a+b=12，费用为 1200 元； (ii) 当 a=8 时，100×8+80b+60×2≤1200，∴b≤ ， ∴ b 最大值=3，此时 a+b=11＜12，不符合题意，舍去； (iii) 同理，当 a＜8 时，a+b＜12，不符合题意，舍去. 综上所述，最多可以安排成人和少年共 12 人带队， 有三个方案： 成人 10 人、少年 2 人； 成人 11 人、少年 1 人； 成人 9 人、少年 3 人. 其中当成人 10 人、少年 2 人时购票费用最少. 考向 3 设计产品销售方案问题 1. （2019·赤峰）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文 具袋标价每个 10 元，请认真阅读结账时老板与小明的对话： 10 32 12 x y x y + + =  = + 17 5 x y =  = 5 2 5 4 7 2（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共 50 支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过 400 元．其中 钢笔标价每支 8 元，签字笔标价每支 6 元，经过沟通，这次老板给予 8 折优惠，那么小明最多可购买钢笔 多少支？ 解：（1）设小明原计划购买文具袋 x 个，则实际购买了（x+1）个， 依题意得：10（x+1）×0.85=10x﹣17．解得 x=17．答：小明原计划购买文具袋 17 个． （2）设小明可购买钢笔 y 支，则购买签字笔（50﹣x）支， 依题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%≤400--－17×10+17．解得 y≤4.375． 即 y 最大值=4．答：明最多可购买钢笔 4 支． 2. （2019·孝感）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B 两种型号的一体机，经 过市场调查发现，今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好能 购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机. (1) 求今年每套 A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？ (2)该市明年计划采购 A 型、B 型一体机 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 A 型一体机的价格比今年上 涨 25%，每套 B 型一体机的价格不变，若购买 B 型一体机的总费用不低于购买 A 型一体机的总费用，那么该 市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 解： （1）设今年每套 A 型一体机的价格为 x 万元，每套 B 型一体机的价格为 y 万元 由题意得： 解得 故今年每套 A 型一体机的价格为 1.2 万元，每套 B 型一体机的价格为 1.8 万元. （2）设该市明年购买 A 型一体机 m 套，则购买 B 型一体机（1100-m）套， 由题意得：1.8（1100-m）≥1.2（1+25%）m，解得 m≤600 设明年需投入 W 万元，W=1.2×（1+25%）m+1.8（1100-m）=-0.3m+1980 ∵-0.3