2020年中考数学热点专题冲刺8二次函数综合题型（全国版）

热点专题 8 二次函数综合题型 《课程标准》对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此， 二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型,2019 年中考中对二次函数的考查角度有所调整，将二 次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来学习， 预计仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面积、相似、等腰三角形， 特殊四边形以及新定义问题为载体进行命题. 考向 1 二次函数之周长与最值问题 1．（2019·常德中考改编）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三 点，且B点的坐标为（－1，0）．（1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于 点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值． 解（1）设抛物线的解析式为 y= ，把 B（－1，0）代入解析式得：4a＋4=0，解得 a=－1，∴y=－ =－ ；（2）∵四边形 MNHG 为矩形，∴MN∥x 轴，设 MG=NH=n，把 y=n 代入 y=－ ，即 n=－ ，∴ =0，由根与系数关系得 =2， =n－3，∵ = －4 ，∴ =4－4（n－3）=16－4n，∴MN= =2 ，设 xx y y 备用图图11 C A D BB H N G D A M C OO ( )21 4a x − + ( )21 4x − + 2 2 3x x+ + 2 2 3x x+ + 2 2 3x x+ + 2 2 3x x n− + − M Nx x+ M Nx x• ( )2 M Nx x− ( )2+M Nx x M Nx x• ( )2 M Nx x− ( )2 M Nx x− 4 n−矩形 MNHG 周长为 C，则 C=2（MN＋MG）=2（2 ＋n）=4 ＋2n，令 =t，则 n=4－ ，∴C=－ 2 ＋4t＋8=－2 ，∵－2＜0，∴t=1 时，周长有最大值，最大值为 10． 考向 2 二次函数之面积问题 2．（2019·衡阳）如图，二次函数 y=x2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A（－1，0）和点 B（3，0），与 y 轴 交于点 N，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E.（1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点 M，连接 MN、MB，请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求 出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）把 A（－1，0），B（3，0）代入 y=x2＋bx＋c， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为 y=x2－2 x－3； （2）∵CP⊥EB，∴∠OPE＋∠BCP=90°， ∵∠OPE＋∠OEP=90°，∴∠OEP=∠BPC，∴tan∠OEP=tan∠BPC．∴ = ． 设 OE=y，OP=x，∴ = ．整理，得 y=－ x2＋x=－ （x－ ）2＋ ． ∴当 OP= 时，OE 有最大值，最大值为 ，此时点 P 在（ ，0）处. （3）过点 M 作 MF⊥x 轴交 BN 于点 F， ∵N（0，－3），B（3，0），∴直线的解析式为 y=－3 m. 设 M（m, m2－2 m－3）,则 MF=m2－3m， ∴△MBN 的面积= OB·MF= ( m2－3m) = ( m－ ) 2 － . 4 n− 4 n− 4 n− 2t 2t ( )21 10t − + 0 1 , 0 9 3 , b c b c = − +  = + + 2, 3. b c = −  = − OP OE BC PB y x 4 3 x− 1 4 1 4 3 2 9 16 3 2 9 16 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 27 8点 M 的坐标为（ ，－ ）时，△MBN 的面积存在最大值. 考向 3 二次函数之等腰三角形问题 3．（2019·兰州）二次函数 的图象交 x 轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交 y 轴于点 C，动 点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作 MN⊥x 轴交直线 BC 于点 N，交抛物 线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t 秒. （1）求二次函数 的表达式；（2）连接 BD，当 t= 时，求△DNB 的面积； （3）在直线 MN 上存在一点 P，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 D 的坐标； （4）当 t= 时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得∠AQC+∠OAC=90°,求点 Q 的坐标. 解：（1）将点 A（-1，0），B（4，0）代入 y=ax2+bx+2，∴a= ，b= ，∴ ； （2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，将点 B（4，0），C（0，2）代入解析式， 得： ，解得： ，∴BC 的直线解析式为 ，当 t= 时，AM=3，∵AB=5，∴ MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3）， ∴S△DNB =S△DMB -S△MNB = ×MB×DM- ×MB×MN= ×2×2=2； （3）∵BM=5-2t，∴M（2t-1，0）， 设 P（2t-1，m），∵PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2， ∵PB=PC， 3 2 27 8 2 2y ax bx= + + 2 2y ax bx= + + 3 2 5 4 1 2 − 3 2 21 3 22 2y x x= − + + 4 0 2 k b b + =  = 1 2 2 k b  = −  = 1 22y x= − + 3 2 1 2 1 2 1 2∴（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，∴m=4t-5，∴P（2t-1，4t-5）， ∵PC⊥PB，∴ ， ∴t=1 或 t=2，∴M（1，0）或 M（3，0），∴D（1，3）或 D（3，2）； （4）当 t= 时，M（ ，0），∴点 Q 在抛物线对称性 x= 上， 如图，过点 A 作 AC 的垂线，以 M 为圆心 AB 为直径构造圆，圆与 x= 的交点分别为 Q1 与 Q2， ∵AB=5， ∴AM= ，∵∠AQ1C+∠OAC=90°，∠OAC+∠MAG=90°，∴∠AQ1C=∠MAG， 又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG，∴Q1（ ， ）， ∵Q1 与 Q2 关于 x 轴对称，∴Q2（ ， ）， ∴Q 点坐标分别为（ ， ），（ ， ）. 考向 4 二次函数之相似三角形问题 4．（2019·娄底）如图（14），抛物线 与 x 轴交于点 A（－1，0），点 B（3，0），与 y 轴交 于点 C，且过点 D（2，－3）．点 P、Q 是抛物线 上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在直线 OD 下方时，求△POD 面积的最大值． （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标． 4 7 4 5 12 1 2 5 t t t t − −• = −− − 5 4 3 2 3 2 3 2 5 2 3 2 5 2 − 3 2 5 2 3 2 5 2 − 3 2 5 2 2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + + 解：（1）∵抛物线 与 x 轴交于点 A（－1，0），点 B（3，0）， ∴设抛物线的解析式为 ．又∵抛物线过点 D（2，－3）， ∴ ，∴ ，∴ ． （2）如图，设 PD 与 y 轴相交于点 F，OD 与抛物线相交于点 G， 设 P 坐标为（ ），则直线 PD 的解析式为 ，它与 y 轴的交点坐标为 F （0，－2m－3），则 OF=2m+3． ∴ 由于点 P 在直线 OD 下方，所以 ． ∴ 当 时 ， △POD 面 积 的 最 大 值 ； （3）①由 得抛物线与 y 轴的交点 C（0，－3），结合 A（－1，0）得直线 AC 的解析式 为 ，∴当 OE∥AC 时，△OBE 与△ABC 相似；此时直线 OE 的解析式为 ． 2y ax bx c= + + ( )( )1 3y a x x= + − ( )( )2 1 2 3 3a + − = − 1a = ( )( ) 21 1 3 2 3y x x x x= × + − = − − 2, 2 3m m m− − 2 3y mx m= − − ( ) ( )( ) 21 1 12 3 2 32 2 2ODPS OF D P m m m m∆ = × − = + − = − + +点的横坐标 点的横坐标 3 22 m− < < ( ) 1 12 2 2 1 4 bm a = − = − =× − 2 2 1 1 1 1 493 32 4 2 4 16ODPS m m∆  = − + + = − + × + =   2 2 3y x x= − − 3 3y x= − − 3y x= −又∵ 的解为 ， ； ∴Q 的坐标为 和 ． ②如图，作 EN⊥y 轴于 N， 由 A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）得 AB=3－(－1)=4，BO=3，BC= 当 即 时 ，△OBE 与△ABC 相似；此时 BE= ． 又∵△OBC∽△ONE，∴NB=NE=2，此时 E 点坐标为（1，－2），直线 OE 的方程为 ． 又∵ 的解为 ， ； ∴Q 的坐标为 和 ． 综 上 所 述 ， Q 的 坐 标 为 ， ， ， ． 考向 5 二次函数之特殊四边形问题 5.（2019•广安）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点 在 的左侧），与 轴交于点 ， 过 点的直线 与 轴交于点 ，与抛物线 的另一个交点为 ，已知 ， ， 点为抛物线 上一动点（不与 、 重合）．（1）求抛物线和直线 的解析式； （2）当点 在直线 上方的抛物线上时，过 点作 轴交直线 于点 ，作 轴交直线 于点 ， 2 2 3 3 y x x y x  = − −  = − 1 1 1 13 2 3 3 13 2 x y  − += − = 2 2 1 13 2 3 3 13 2 x y  − −= + = 1 13 3 3 13,2 2  − + −    1 13 3 3 13,2 2  − − +    2 23 3 3 2+ = BE OB BA BC = 3 4 3 2 BE = 2 2 2y x= − 2 2 3 2 y x x y x  = − −  = − 1 1 3 2 3 x y  = = − 2 2 3 2 3 x y  = − = ( )3, 2 3− ( )3,2 3− 1 13 3 3 13,2 2  − + −    1 13 3 3 13,2 2  − − +    ( )3, 2 3− ( )3,2 3− 2y x bx c= − + + x A B (A B y N A :l y kx n= + y C 2y x bx c= − + + D ( 1,0)A − (5, 6)D − P 2y x bx c= − + + A D l P l P / /PE x l E / /PF y l F求 的最大值； （3）设 为直线 上的点，探究是否存在点 ，使得以点 、 ， 、 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将点 、 的坐标代入直线表达式得： ，解得： ， 故直线 的表达式为： ，将点 、 的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为： ； （2）直线 的表达式为： ，则直线 与 轴的夹角为 ，即：则 ， 设点 坐标为 、则点 ， ， ，故 有最大值，当 时，其最大值为 18； （3） ，①当 是平行四边形的一条边时， 设点 坐标为 、则点 ， 由题意得： ，即： ， 解得： 或 0 或 4（舍去 ， PE PF+ M l M N C M P M A D 0 5 6 k n k n − + =  + = − 1 1 k n = −  = − l 1y x= − − A D 2 3 4y x x= − + + l 1y x= − − l x 45° PE PE= P 2( , 3 4)x x x− + + ( , 1)F x x− − 2 22 2( 3 4 1) 2( 2) 18PE PF PF x x x x+ = = − + + + + = − − + 2 0−