天津市南开区2019-2020高一数学上学期期中试题（附解析Word版）

2019-2020 学年天津市第二高一（上）期中数学试卷 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题 3 分，共 30 分.） 1.已知 是实数集，集合 ，则阴影部分表示的集合是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 阴影部分对应的集合为 A∩B，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为 A∩B， ∵ A＝{x| 或 }， B＝{x|0＜x }， ∴ A∩B＝{x|0＜x }=(0，1]， 故选 B． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关 键． 2.命题“存在 ， ”的否定是（ ） A. 不存在 ， B. 存在 ， R { } 3|1 2 , | 0 2A x x B x x = < < = < 0x R∈ 02 0x ≥C. 对任意的 ， D. 对任意的 ， 【答案】D 【解析】 分析】 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】 特称命题 否定是全称命题. 命题“存在 ， ”的否定是：“对任意的 ， ”. 故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题． 3.若函数 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在 上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f（x）是偶函数，且函数 f（x）在[2，+∞）上是减函数， ∴f（4）＜f（3）＜f（2）， 即 f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决 本题的关键． 4.设 ，则使函数 的值域为 R 且为奇函数的所有 a 值为（ ） A. 1，3 B. ，1 C. ，3 D. ，1，3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【 的 x∈R 02 0x ≤ x∈R 02 0x >  ∴ 0x R∈ 02 0x ≤ x∈R 02 0x > ( )f x [2 )+ ∞， ( 2) (3) ( 4)f f f− −＜ ＜ (3) ( 2) ( 4)f f f− −＜ ＜ ( 4) (3) ( 2)f f f− −＜ ＜ (3) ( 4) ( 2)f f f− −＜ ＜ { }1,1,2,3a∈ − ay x= 1− 1− 1−【详解】当 时， ，为奇函数，但值域为 ，不满足条件. 当 时， ，为奇函数，值域为 R，满足条件. 当 时， 为偶函数，值域为 ，不满足条件. 当 时， 为奇函数，值域为 R，满足条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 5.设函数 满足 ，则 的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：设 ，则 ，所以 ，所以 ，故选 C． 考点：求函数解析式． 6.若不等式 的解集是 ，则不等式 的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根 据 不 等 式 的 解 集 求 出 、 和 的 关 系 ， 再 化 简 不 等 式 ，从而求出所求不等式的解集． 【详解】根据题意，若不等式 的解集是 ， 则 与 1 是方程 的根，且 ， 1a = − 1 1y x x −= = { }0x x ≠ 1a = y x= 2a = 2y x= { }0x x ≥ 3a = 3y x= ( )f x 1( ) 11 xf xx − = ++ ( )f x 2 2 1 1 x x − + 2 2 1 x+ 2 1 x+ 1 1 x x − + 1 1 xt x −= + 1 1 tx t −= + 1 2( ) 1 1 1 tf t t t −= + =+ + 2( ) 1f x x = + 2 0ax bx c+ + > ( )4,1− ( ) ( )2 1 3 0b x a x c− + + + > 4 13 ,−     ( ) ,3, 41−∞ + ∞    ( )1,4− ( ) ( )– 2 1,∞ − +∞， 2 0ax bx c+ + > b a c 2( 1) ( 3) 0b x a x c− + + + > 2 0ax bx c+ + > ( )4,1− 4− 2 0ax bx c+ + = 0a ( ) ( )23 1 3 4 0x x− + + − < 23 4 0x x+ − < ( )( )3 4 1 0x x+ − < 4 13 x− < < ( ) ( )2 1 3 0b x a x c− + + + > 4 ,13  −   ( ) ( )22 xg x f f x = + −   1 12 1 2 1 x x − < ≥ a b> 2a a a= a a b b> 1, 2a b= = − a a b b> a b> a b> a a b b> ( ) ( ) ,0 1 2 1 , 1 x xf x x x  < + − > + = ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 2 6xy + ( 1)(2 1) 2 2 1,x y xy x y xy xy + + + + += 0, 0, 2 5, 0,x y x y xy> > + = > ∴ 2 2 32 6 4 3xyxy xy xy ⋅+ ≥ =当且仅当 ，即 时成立， 故所求的最小值为 ． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 38 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 19.已知全集 ，集合 ， . （1）求 . （2）若集合 ，且 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 试题分析：（1）解不等式求得 A,B 及 ，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为 求解，分 和 两种情况进行讨论． 试题解析 ：（1）由题意得 或 ， ， ∴ 或 ， ∴ 或 ． （2）∵ ∴ ， ①当 时，则有 ，解得 ． ②当 时，则有 ，解得 ． 综上可得 ． 实数 的取值范围为 ． 20.已知幂函数 的图象经过点 . （1）求幂函数 的解析式； 3xy = 3, 1x y= = 4 3 U = R 2{ | 3 18 0}A x x x= − − ≥ 5{ | 0}14 xB x x += ≤− ( )UC B A∩ { | 2 1}C x a x a= < < + B C C= a ( ) { | 14UC B A x x∩ = ≥ 5}x < − 5 2a ≥ − UC B C B⊆ C = ∅ C ≠ ∅ { | 3A x x= ≤ − 6}x ≥ { | 5 14}B x x= − ≤ < { | 5U B x x= < − 14}≥ ( ) { | 14UC B A x x∩ = ≥ 5}x < − B C C∩ = C B⊆ C = ∅ 2 1a a≥ + 1a ≥ C ≠ ∅ 2 1 1 14 2 5 a a a a < +  + ≤  ≥ − 5 12 a− ≤ < 5 2a ≥ − a 5[ )2 − + ∞， ( ) af x x= ( )2, 2 ( )f x（2）试求满足 的实数 a 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）把点的坐标代入函数解析式求出 的值，即可写出 的解析式；（2）根据 在定 义域上的单调性，把不等式 化为关于 的不等式组，求出解集即可． 【详解】（1）幂函数 的图象经过点 ， ， 解得 ， 幂函数 ； （2）由（1）知 在定义域 上单调递增， 则不等式 可化为 解得 ， 实数 a 的取值范围是 . 【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题． 21.已知函数 ． Ⅰ 证明：函数 在区间 上是增函数； Ⅱ 求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】 Ⅰ 见解析； Ⅱ 见解析 【解析】 【分析】 Ⅰ 先分离常数得出 ，然后根据增函数的定义，设任意的 ，然 ( ) ( )1 3f a f a+ > − ( ) ( )0f x x x= ≥ ( ]1,3 a ( )f x ( )f x (1 ) (3 )f a f a+ > − a ( ) af x x= ( )2, 2 2 2a∴ = 1 2a = ∴ ( ) ( )1 2 0xxf x x= = ≥ ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )1 3f a f a+ > − 1 0 3 0 1 3 a a a a + ≥  − ≥  + > − 1 3a< £ ∴ ( ]1,3 ( ) 2 1 1 xf x x −= + ( ) ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )f x [ ]1,17 ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1f x x = − + 1 2 0x x> >后作差，通分，得出 ，只需证明 即可得出 在 上是增函数； Ⅱ 根据 在 上是增函数，即可得出 在区间 上 最大值为 ， 最小值为 ，从而求出 ， 即可． 【详解】解： Ⅰ 证明： ； 设 ，则： ； ； ， ， ； ； ； 在区间 上是增函数； Ⅱ 在 上是增函数； 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义 证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法． 22.已知函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， . （1）求函数 的解析式； （2）写出函数 的增区间（不需要证明）； （3）若函数 ，求函数 的最小值. 【答案】（1） ；（2）函数 的增区间： ， ， 减区间： ，；（3）当 时， ，当 时， ，当 的 ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 3 1 1 x xf x f x x x −− = + + ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )f x ( )0,+∞ ( )f x [ ]1,17 ( )17f ( )1f ( )17f ( )1f ( ) ( ) 2 1 321 1 xf x x x −= = −+ + 1 2 0x x> > ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 2 1 1 2 33 3 1 1 1 1 x xf x f x x x x x −− = − =+ + + + 1 2 0x x> > 1 2 0x x∴ − > 1 1 0x + > 2 1 0x + > ( ) ( )( )1 2 1 2 3 01 1 x x x x −∴ >+ + ( ) ( )1 2f x f x∴ > ( )f x∴ ( )0,+∞ ( ( )) f x ( )0,+∞ ( )f x∴ [ ]1,17 ( ) 11 2f = ( ) 1117 6f = ( )f x 0x ≤ ( ) 2 2f x x x= − − ( )( )f x x R∈ ( )( )f x x R∈ ( ) ( ) [ ]( )2 2 12g x f x ax x= − + ∈ ( )g x ( ) 2 2 2 , 0 2 , 0 x x xf x x x x − − ≤=  − > ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1 + ∞， ( )1,1− 1a ≥ ( )min 2 4g x a= − 0a ≤ ( )min 1 2g x a= −时， . 【解析】 【分析】 （1）根据奇函数定义和当 时， ，并写出函数在 时的解析式；（2） 由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值， 得到本题结论． 【详解】（1） 函数 是定义在 R 上的奇函数， 当 时，此时 ， ， 又 当 时， ， ， 函数 的解析式为： . （2）函数 的增区间： ， ﹒ 减区间： . （3）函数 ， 二次函数对称轴为： ， 当 时，即 时， ， 当 时，即 时， ， 当 时，即 时， 综上，当 时， ， 当 时， ， 当 时， 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大， 属于中档题． 23.函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋ 0 1a< < 2( )min 2 1g x a a= − − + 0x 2( ) 2f x x x= − − 0x >  ( )f x ∴ 0x > 0x− < ( ) ( )f x f x∴ = − −  0x ≤ ( ) 2 2f x x x= − − ( ) ( ) ( ) ( )2 2][ 2 2f f x x x x xx = − − = − − − − = −∴ − ∴ ( )( )f x x R∈ ( ) 2 2 2 , 0 2 , 0 x x xf x x x x − − ≤=  − > ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )1,1− ( ) ( ) ( ) [ ]( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 1,2g x f x ax x x ax x a x x= − + = − − + = − + + ∈ 1x a= + 2 1a≤ + 1a ≥ ( ) ( )min 2 2 4g x g a= = − 1 1a≥ + 0a ≤ ( ) ( )min 1 1 2g x g a= = − 1 1 2a< + < 0 1a< < 2( )min ( 1) 2 1g x g a a a= + = − − + 1a ≥ ( )min 2 4g x a= − 0a ≤ ( )min 1 2g x a= − 0 1a< < 2( )min 2 1g x a a= − − +f(x2)． (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f(4)＝1，f(x－1)