数学试卷
一、选择题：（本大题共 8 小题，每题 3 分共 24 分）
1.已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则 =
A. {1} B. {3，5} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，
4，5}
【答案】C
【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 补 集 的 运 算 得
．故选 C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚 求“ ”还是求“ ”，否则很容易出现错误；一定要注意集
合中元素的互异性，防止出现错误．
2.下列各组函数中 和 表示相同的函数的是（ ）.
A. ， B. ，
C. 且 )， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
判断两函数是否定义域相同且解析式一样，即可得解.
【详解】解： ． 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义
域不同，不是相同函数；
，解析式不同，不是相同函数；
． 且 ， ，解析式不同，不是相同函数；
． 的定义域为 ， 的定义域为 ，解析式和定义域都相同，是
是
( )U P Q∪
{ } { } { } { }2,4,6 , ( ) 2,4,6 1,2,4 1,2,4,6UP UP Q= ∴ ∪ = ∪ =
∩ ∪
( )f x ( )g x
2( ) lgf x x= ( ) 2lgg x x= ( )f x x= 2( )g x x=
( ) 1(f x x R= ∈ 0x ≠ ( ) | |
xg x x
= ( )f x x= 3 3( )g x x=
A 2( )f x lgx= { | 0}x x ≠ ( ) 2g x lgx= { | 0}x x >
2. ( ) , ( ) | |B f x x g x x x= = =
C ( ) 1(f x x R= ∈ 0)x ≠ 1 0( ) 1 0
xxg x xx
>= = − > a b c> > c a b> > c b a> >
0.5
0.6log 0.5 1,ln 0.5 0,0 0.6 1> < < < 1, 0,0 1a b c> < < <
a c b> >
( ) ( )2 2 1 2f x x a x= + − + ( ], 4−∞ − a
[ )3,− +∞ ( ], 3−∞ − ( ],5−∞ [ )3,+∞
( ) ( )2 2 1 2f x x a x= + − + ( ], 4−∞ −
( 1) 4a− − ≥ 3a ≤ −
2 4 6, 0( )
6, 0
x x xf x
x x
− + ≥= + f
( 3,1) (3, )− ∪ +∞ ( 3,1) (2, )− ∪ +∞
( 1,1) (3, )− +∞ ( , 3) (1,3)−∞ − 试题分析：由函数 f（x）＝ 得 即
或 所以
考点：分段函数和解不等式．
6.函数 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 的定义域，然后利用复合函数法可求出函数 的单调
递增区间.
【 详 解 】 解 不 等 式 ， 解 得 或 ， 函 数 的 定 义 域 为
.
内层函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数，
外层函数 在 上为减函数，
由复合函数同增异减法可知，函数 的单调递增区间为 .
故选：C.
【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计
算能力，属于中等题.
7.已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
2 4 6, 0{
6, 0
x x x
x x
− + ≥
+ < (1) 3 ( ) 3f f x= ∴ >不等式化为
2
0{ 4 6 3
x
x x
≥
− + >
0{ 6 3
x
x
<
+ > 3 0 1 -3 0 3 -3 1x x x x x> ≤ < < ∴ < 0x < 2x > ( )y f x=
( ) ( ),0 2,−∞ +∞
2 2u x x= − ( ),0−∞ ( )2,+∞
1
2
logy u= ( )0, ∞+
( ) ( )2
1
2
log 2f x x x= − ( ),0−∞
( )2
2( ) log 3f x x ax a= − + [ )2,+∞ a
( ]4,4− ( ,4)−∞ ( , 4) (2, )−∞ − ∪ +∞ [ )4,2−由题意知函数 是由 和 复合而来，由复
合函数单调性结论，只要 在区间 上单调递增且 即可．
【详解】解：令 ，由题意知： 在区间 上单调递增且 ，
∴ ，解得： ，
则实数 的取值范围是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题
的关键，属于基础题．
8.已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令 ，可得 ，分别作出直线 和函数 的图象，平移直线即可得
到 的取值范围．
【详解】解：作出函数 的图象，
令 ，可得 ，
2
2( ) log ( 3 )f x x ax a= − + 2logy t= 2( ) 3t x x ax a= − +
( )t x [ )2,+∞ ( ) 0f x >
2( ) 3t x x ax a= − + ( )t x [ )2,+∞ ( ) 0t x >
22
(2) 4 2 3 0
a
t a a
≤
= − + >
4 4a− < ≤
a ( ]4,4−
2 0( )
2 1 0x
x xf x
x
− ≥= − ≠ A
A 82, 9
− −
A ( ) 3xf x b= +∴ ，解得 ,
故答案为
【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的的图象与性质，属于简单题. 函数图象过定点问
题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助 过定点 解答；(2)对数型：主要借助
过定点 解答.
13.已知函数 满足 ，当 时，总有
（ ）.若 ，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 是偶函数，且 在 是单调增函数．即可将 转化
为不等式 ，求解即可．
【详解】解：由题意， 是偶函数，且在 是单调增函数，
在 上单调递减，
转化为 ，
两边平方得： ，即 ，
解得： 或 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．
14.如果定义在 上的奇函数 在 内是减函数，又有 ，
则 的解集为________.
28 39 b−− = + 1b = −
1−
y xa= ( )0,1
y loga x= ( )1,0
( )f x ( ) ( )f x f x− = , ( ,0)a b∈ −∞ ( ) ( ) 0f a f b
a b
− >−
a b¹ ( 1) (2 )f m f m+ > m
( )1, 1,3
−∞ − +∞
( )f x ( )f x ( ,0)−∞ ( 1) (2 )f m f m+ >
| 1| | 2 |m m+ <
( )f x ( ,0)−∞
( )f x∴ (0, )+∞
( 1) (2 )f m f m∴ + > | 1| | 2 |m m+ <
2 2( 1) 4m m+ < ( )( ) 03 1 1m m+ − >
1m > 1
3m < −
m ( )1, 1,3
−∞ − +∞
( )1, 1,3
−∞ − +∞
( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ( )f x ( )0, ∞+ ( )3 0f =
( ) 0x f x⋅
( ) 0f x < 3x >
0x < ( ) 0f x > 3x < −
( ) 0x f x⋅ < ( ) ( ), 3 3,−∞ − +∞
( ) ( ), 3 3,−∞ − +∞
1
02 1
4 643 278 (3 π) [( 2) ]8
− − + − + −
2 3 4
1lg 2 lg 3lg5 log 2 log 94
− + − ⋅
1 π 8+ 2 2
1 2【详解】（ ）
．
（ ）
．
【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则以及对数的运算法则，属于基础题. 指数幂运算的四
个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指
数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数
是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，
运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数
的定义域）.
16.已知集合 ， ， .
（1）求 .
（2）若 ，求实数 的取值范围
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据并集的定义计算即可；
1 ( )
102
64 243 78 (3 π) 28
− − + − + −
( )2 13 63 22 1 π 3 2
× ×= − + − +
2 32 1 π 2= − + +
4 π 4 8= + − +
π 8= +
2 3 4
1lg2 lg 3lg5 log 2 log 94
− + − ⋅
2
3 2lg2 lg 3lg5 log 2 log 3−= − + − ⋅
lg2 2lg2 3lg5 1= + + −
( )3 lg2 lg5 1= + −
3lg10 1= −
3 1= −
2=
{ }| 3 7A x x= ≤ < { }| 2 10B x x= < < { }| 5C x a x a= − < <
A B
( )C A B⊆ ∪ a
{ }| 2 10x xA B <
1 2 02
x
x
+ >−
( )( )2 2 0x x+ − > 2 2x− < < 2
( ) ( )1
2 2 2
2 2 2log log log2 2 2
x x xf x f xx x x
−− + + − = = = − = − + − −
( ) 2 2
2log 0 log 12
xf x x
+= > =−
2 12
x
x
+ >−
( )2,2x∈ −
1 ( ) 2
2log 2
xf x x
+= −
2 02
x
x
+ >−
( )( )2 2 0x x+ − >
2 2x− < <
( )f x ( )2,2−
2 ( ) 1
2 2
2 2log log2 2
x xf x x x
−− + − = = + − ，
∴ 是奇函数．
（ ） ，
即使 ，
又 ，
∴ ，
即 ，
得 ．
【点睛】本题主要考查函数 定义域、单调性以及对数函数的性质，属于中档题. 判断函数的
奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，
如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和
差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，
（ 为偶函数， 为奇函数） .
19.已知函数
（1）若 是 上的奇函数，求 的值
（2）用定义证明 在 上单调递增
（3）若 值域为 ，且 ，求 的取值范围
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的定义可得 恒成立，由此可求得 值；
（2）设 且 ， ，利用作差证明 即可；
（3）先根据反比例函数的单调性求出值域 ，然后由 ， 可得关于 的不等式组，
解出即可；
的
( )2
2log 2
x f xx
+= − = −−
( )f x
3 ( ) 2 2
2log 0 log 12
xf x x
+= > =−
2 12
x
x
+ >−
( )2,2x∈ −
2 0x− >
( )2 1 2x x+ > × −
0x >
( ) ( )f x f x− = ±
( ) ( ) 0f x f x− ± = ( )
( ) 1f x
f x
− = ±
1 1−
1( ) 5 1xf x m= − +
( )f x R m
( )f x R
( )f x D [ ]3,1D ⊆ − m
1
2m = [ ]2,1m∈ −
( ) ( ) 0f x f x+ − = m
1 2x x< 1x 2x R∈ 1 2( ) ( )f x f x<
D [ 3D ⊆ − 1] m【详解】解：（1）因为 为奇函数，所以 ，经检验满足奇
函数定义，
∴ ；
（2）任取 ，令 ，
则 ，
所以 为增函数；
（3）由 得 ，设 值域为 ，且 ，
，
的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用及单调性的证明，属于中档题．
20.已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的零点；
（Ⅱ）若函数 对任意实数 都有 成立，求函数 的解析式；
（Ⅲ）若函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值．
【答案】（Ⅰ）1 和 3 （Ⅱ） （Ⅲ） 或 .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）代入 a 的值，令 即可求得函数的零点.
（Ⅱ）根据 可知函数的对称轴为 ，进而求得 a 的值，即可得到解析
式.
（Ⅲ）讨论对称轴 与区间 位置关系，结合单调性和最小值，即可求得 a 的
值..
【详解】（Ⅰ）当 时， ，
的
( )f x 0
1 1(0) 05 1 2f m m= − = − =+
1
2m =
1 2,x x R∈ 1 2x x<
( ) ( )2 1f x f x−
2 1
1 1
5 1 5 1x xm m = − − − + + 1 2
1 1
5 1 5 1x x
= −+ + ( )( )
2 1
1 2
5 5 0
5 1 5 1
x x
x x
−= >
+ +
( )f x
10 15 1x
<
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