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松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷
高三数学参考答案
一．填空题
1． 2．3 3． 4． 5．1 6．2
7． 8． 9． 10． 11． 12．②
二、选择题
13．B 14．A 15．C 16．B
三．解答题
17．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．
（1）求异面直线AE与PD所成的角；
（2）求点B到平面ECD的距离．
解：（1）连AC、BD，两直线交于点O，连EO，
因为E、O分别是PB、DB的中点，所以EO//PD，
所以就是异面直线AE与PD所成的角 …………3分
因为为正方形，且，
所以 …………4分
所以 …………6分
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵，点E是棱PB的中点，
∴，，，，，，，，…………8分
设平面ECD的法向量，
则由 得
取z＝2，得，…………11分
∴点B到平面ECD的距离：…………14分
18．已知函数．
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（1）求的最大值和最小正周期；
（2）在中，内角、、的所对的边分别为、、，已知，且，求面积的最大值.
解：（1）………4分
∴， ………………………………5分
………………………………6分
（2）由 得
因为 ，所以，得 ， ………………8分
因为，由余弦定理，得 ，………………10分
由 得 ，当且仅当时取得等号………12分
∴面积，
∴面积的最大值为 ………………14分
19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) ．
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；
（2）对任意的(万元)，当复工率达到多少时， A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
解：（1）………………4分
，…………6分
（2）若对任意的，公司都不产生亏损，
则在恒成立 …………8分
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即，记，则，
此时
由于函数在单调递增 …………10分
所以当时， …………12分
∴
即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损. ……14分
20．如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点，交圆于两点，且满足，求证：线段的中点在定直线上．
解：（1）在方程中，令，解得.令，解得..
椭圆方程为：.…………4分
（2）…………6分
设，，则
…8分时，
…………10分
（3） 解法一：设
…………12分
设，代入得：
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即：
代入得：
即…………14分
，
所以点E在直线上 …………16分
解法二：设
…………12分
也是弦的中点，
…………14分
代入化简，得：
所以点E在直线上．…………16分
21．已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质，集合叫做函数的性质集.
（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数具有性质，求的性质集；
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（3）已知函数不存在零点，且当时具有性质（其中），若,求证：数列为等比数列的充要条件是或.
解：（1）若函数具有性质，则存在实常数及，使得
对任意的都成立…………2分
即：
，不合题意，舍
函数不具有性质 …………4分
（2）由题意：存在实常数及，
使得对任意的都成立
即：
化简，得：
…(1)对任意的都成立…………6分
在(1)中令，得：，代入(1)，得：
所以 解得或…………8分
所以 或…………10分
（3）证明：由函数不存在零点，且具有性质知，
对任意的，都有
即……① …………12分
∴ ，
记，则……② …………14分
充分性：当时，，反复代入②式得
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即对任意的，都有，∴数列是以为首项，为公比的等比数列
同理，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列…………16分
必要性：若数列是等比数列，不妨设，则
又由①知 ∴，
∴，即 ∴或即或. …………18分
证法二
由函数不存在零点，且具有性质知，
对任意的，都有
即……① …………12分
对①变形可得如下两式
……②
……③
由②得……④
由③得
……⑤
④-⑤得：
∴ …………16分
当.时，，当时，，此时是等比数列；
当且时，显然不是等比数列． …………18分
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