2020年中考数学必考点提分专练08解直角三角形的实际应用（含解析）

1 |类型 1|　两直角三角形在高线同侧 1.[2019·襄阳]襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖 立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱 BC 和塔冠 BE)进行了测量.如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为 121 m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37°，从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5 m，在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为 45°.请你求出塔冠 BE 的 高度.(结果精确到 0.1 m，参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 2≈1.41) 解:在 Rt△ACB 中，AC=121，∠A=37°， ∴tanA=퐵퐶 퐴퐶= 퐵퐶 121≈0.75，∴BC≈90.75， 由题知 AD=23.5，∴CD=AC-AD=97.5. 在 Rt△DCE 中，∠EDC=45°， ∴tan∠EDC=퐸퐶 퐶퐷=1，∴EC=97.5， ∴BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8. 答:塔冠 BE 的高度约为 6.8 m. 2.[2019·衡阳] 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面 D 处测 得楼房顶部 A 的仰角为 30°，沿坡面向下走到坡脚 C 处，然后向楼房方向继续行走 10 米 到达 E 处，测得楼房顶部 A 的仰角为 60°，已知坡面 CD=10 米，山坡的坡度 i=1∶ 3(坡 度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房 AB 高度.(结果精确到 0.1 米)(参考数 据: 3≈1.73， 2≈1.41) 解直角三角形的实际应用 提分专练 082 解:过点 D 作 DH⊥AB 于点 H，交 AE 于点 F.作 DG⊥BC 于点 G，则 DG=BH，DH=GB. 设楼房 AB 的高为 x 米，则 EB= 3 3 x 米， ∵坡度 i=1∶ 3，CD=10 米， ∴坡面 CD 的铅直高度 DG 为 5 米，坡面的水平宽度 CG 为 5 3米， 在 Rt△ADH 中，tan∠ADH=퐴퐻 퐷퐻， ∴DH= 3(x-5). ∴5 3+10+ 3 3 x= 3(x-5)， 解得 x=15+5 3≈23.7(米). 所以楼房 AB 的高度约为 23.7 米. 3.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图 3①是某品牌共享 单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 AB，CD 都与地面 l 平行，车轮 半径为 32 cm，∠BCD=64°，BC=60 cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15 cm. (1)求坐垫 E 到地面的距离. (2)根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒适.小明的腿 长约为 80 cm，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E'，求 EE'的长. (结果精确到 0.1 cm，参考数据:sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05) 解:(1)如图①，过点 E 作 EM⊥CD 于点 M， 由题意知∠BCM=64°， EC=BC+BE=60+15=75(cm)， ∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)， 故坐垫 E 到地面的距离为 67.5+32=99.5(cm).3 (2)如图②所示，过点 E'作 E'H⊥CD 于点 H， 由题意知 E'H=80×0.8=64(cm)， 则 E'C= 퐸'퐻 sin∠퐸퐶퐻= 64 sin64°≈71.1(cm)， ∴EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9(cm). |类型 2|　两直角三角形在高线异侧 4.[2019·铜仁]如图，A，B 两个小岛相距 10 km，一架直升机由 B 岛飞往 A 岛，其飞行高度 一直保持在海平面以上的 h km，当直升机飞到 P 处时，由 P 处测得 B 岛和 A 岛的俯角 分别是 45°和 60°，已知 A，B，P 和海平面上一点 M 都在同一个平面上，且 M 位于 P 的 正下方，求 h.(结果取整数， 3≈1.732) 解:由题意得，∠PAB=60°，∠PBA=45°，AB=10 km， 在 Rt△APM 和 Rt△BPM 中，tan∠PAM= ℎ 퐴푀= 3，tan∠PBM= ℎ 퐵푀=1， ∴AM= ℎ 3= 3 3 h，BM=h. ∵AM+BM=AB=10，即 3 3 h+h=10， 解得 h=15-5 3≈6. 答:h 约为 6 km. 5.[2019·海南]如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的北偏 西 60°方向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15°方向上，码头 A 到小岛 C 的 距离 AC 为 10 海里. (1)填空:∠BAC=　　　　，∠C=　　　　； (2)求观测站 B 到 AC 的距离 BP.(结果保留根号)4 解:(1)30°　45° (2)设 BP=x 海里. 由题意，得 BP⊥AC，则∠BPC=∠BPA=90°. ∵∠C=45°， ∴∠CBP=∠C=45°，则 CP=BP=x. 在 Rt△ABP 中，∠BAC=30°，则∠ABP=60°. ∴AP=tan∠ABP·BP=tan60°·BP= 3x， ∴ 3x+x=10，解得 x=5 3-5， 则 BP=5 3-5. 答:观测站 B 到 AC 的距离 BP 为(5 3-5)海里. 6.[2019·邵阳]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管 DE 与 支架 CB 所在直线相交于点 O，且 OB=OE；支架 BC 与水平线 AD 垂直.AC=40 cm，∠ ADE=30°，DE=190 cm，另一支架 AB 与水平线夹角∠BAD=65°，求 OB 的长度.(结果精 确到 1 cm；温馨提示:sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 解:设 OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x. ∵∠ADE=30°，∴OC=1 2OD=95+x， ∴BC=OC-OB=95+x-2x=95-x. ∵tan∠BAD=퐵퐶 퐴퐶，∴2.14≈95 - 푥 40 ， 解得:x≈9， ∴2x=18，即 OB 的长度约为 18 cm. |类型 3|　其他类型 7.[2019·泸州]如图，海中有两个小岛 C，D，某渔船在海中的 A 处测得小岛 D 位于东北方向 上，且相距 20 2 n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点 B 处，此时测得小岛 C5 恰好在点 B 的正北方向上，且相距 50 n mile，又测得点 B 与小岛 D 相距 20 5 n mile. (1)求 sin∠ABD 的值； (2)求小岛 C，D 之间的距离(计算过程中的数据不取近似值). 解:(1)过 D 作 DE⊥AB 于 E，在 Rt△AED 中，AD=20 2，∠DAE=45°， ∴DE=20 2×sin45°=20. 在 Rt△BED 中，BD=20 5， ∴sin∠ABD=퐸퐷 퐵퐷= 20 20 5= 5 5 . (2)过 D 作 DF⊥BC 于 F， 在 Rt△BED 中，DE=20，BD=20 5， ∴BE= 퐵퐷2 - 퐷퐸2=40. 易知四边形 BFDE 是矩形， ∴DF=EB=40，BF=DE=20， ∴CF=BC-BF=30. 在 Rt△CDF 中，CD= 퐷퐹2 + 퐶퐹2=50， ∴小岛 C，D 之间的距离为 50 n mile. 8.[2019·镇江]在三角形纸片 ABC(如图①)中，∠BAC=78°，AC=10.小霞用 5 张这样的三角形 纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②). (1)∠ABC=　　　　°； (2)求正五边形 GHMNC 的边 GC 的长. (参考值:sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7)6 ① ② 解:(1)30　[解析]∵五边形 ABDEF 是正五边形， ∴∠ABD=(5 - 2) × 180° 5 =108°， ∠DBG=∠BAC=78°， ∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=30°， 故答案为:30. (2)作 CQ⊥AB 于 Q， 在 Rt△AQC 中， sin∠QAC=푄퐶 퐴퐶， ∴QC=AC·sin∠QAC≈10×0.98=9.8. 在 Rt△BQC 中，∠ABC=30°， ∴BC=2QC=19.6， ∴GC=BC-BG=BC-AC=9.6. 9.[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图. 已知汽车货厢高度 BG=2 米，货厢底面距地面的高度 BH=0.6 米，坡面与地面的夹角∠ BAH=α，木箱的长(FC)为 2 米，高(EF)和宽都是 1.6 米.通过计算判断:当 sinα=3 5，木箱底 部顶点 C 与坡面底部点 A 重合时，木箱上部顶点 E 会不会触碰到汽车货厢顶部.7 解:∵BH=0.6，sinα=3 5，∴AB= 퐵퐻 sin훼=0.6 3 5 =1， ∴AH=0.8. ∵AF=FC=2，∴BF=1， 作 FQ⊥BG 于点 Q，作 EP⊥FQ 于点 P， ∵FB=AB=1，∠EPF=∠FQB=∠AHB=90°，∠EFP=∠FBQ=∠ABH， ∴△EFP∽△ABH，△FBQ≌△ABH， ∴퐸푃 퐴퐻=퐸퐹 퐴퐵，BQ=BH=0.6，即퐸푃 0.8=1.6 1 ， ∴EP=1.28，∴EP+BQ=1.88(米)