2020年中考数学必考点提分专练09圆中的有关计算与证明（含解析）

1 |类型 1|　圆的基本性质 1. [2019·福建]如图，四边形 ABCD 内接于☉O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为 E，点 F 在 BD 的延长线上，且 DF=DC，连接 AF，CF. (1)求证：∠BAC=2∠DAC； (2)若 AF=10，BC=4 5，求 tan∠BAD 的值. 解：(1)证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=90°， 在 Rt△AED 中，∠ADE=90°-∠CAD， ∵AB=AC，∴퐴퐵=퐴퐶，∴∠ACB=∠ABC. ∴∠BAC=180°-2∠ACB=180°-2∠ADB=180°-2(90°-∠CAD)，即∠BAC=2∠CAD. (2)∵DF=DC，∴∠FCD=∠CFD，∴∠BDC=∠FCD+∠CFD=2∠CFD.∵∠BDC=∠ BAC，∠BAC=2∠CAD， ∴∠CFD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD，∴∠CFD=∠CBD，∴CF=CB. ∵AC⊥BD，∴BE=EF，故 CA 垂直平分 BF， ∴AC=AB=AF=10， 设 AE=x，则 CE=10-x， 在 Rt△ABE 和 Rt△BCE 中，AB2-AE2=BE2=BC2-CE2， 又∵BC=4 5， ∴102-x2=(4 5)2-(10-x)2， 解得 x=6，∴AE=6，CE=4， ∴BE= 퐴퐵2 - 퐴퐸2=8. ∵∠DAE=∠CBE，∠ADE=∠BCE， 圆中的有关计算与证明 提分专练 092 ∴△ADE∽△BCE，∴퐴퐸 퐵퐸=퐷퐸 퐶퐸=퐴퐷 퐵퐶， ∴DE=3，AD=3 5， 过点 D 作 DH⊥AB 于 H. ∵S△ABD=1 2AB·DH=1 2BD·AE，BD=BE+DE=11，∴10DH=11×6，∴DH=33 5 ， 在 Rt△ADH 中，AH= 퐴퐷2 - 퐷퐻2=6 5，∴tan∠BAD=퐷퐻 퐴퐻= 33 5 6 5 =11 2 . 2.[2019·绵阳] 如图，AB 是☉O 的直径，点 C 为퐵퐷的中点，CF 为☉O 的弦，且 CF⊥AB， 垂足为 E，连接 BD 交 CF 于点 G，连接 CD，AD，BF. (1)求证：△BFG≌△CDG； (2)若 AD=BE=2，求 BF 的长. 解：(1)证明：∵C 是퐵퐷的中点，∴퐶퐷=퐵퐶. ∵AB 是☉O 的直径，且 CF⊥AB，∴퐵퐶=퐵퐹， ∴퐶퐷=퐵퐹，∴CD=BF. 在△BFG 和△CDG 中，∵{∠퐹 = ∠퐶퐷퐺， ∠퐹퐺퐵 = ∠퐷퐺퐶， 퐵퐹 = 퐶퐷， ∴△BFG≌△CDG(AAS). (2)如图，过 C 作 CH⊥AD，交 AD 延长线于 H，连接 AC，BC， ∵퐶퐷=퐵퐶，3 ∴∠HAC=∠BAC. ∵CE⊥AB， ∴CH=CE. ∵AC=AC， ∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)， ∴AE=AH. ∵퐶퐷=퐵퐶， ∴CD=BC. 又∵CH=CE， ∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)， ∴DH=BE=2， ∴AE=AH=AD+DH=2+2=4， ∴AB=4+2=6. ∵AB 是☉O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠BEC， ∵∠EBC=∠ABC， ∴△BEC∽△BCA， ∴퐵퐶 퐴퐵=퐵퐸 퐵퐶， ∴BC2=AB·BE=6×2=12， ∴BF=BC=2 3. 3.[2019·合肥瑶海区三模]如图，四边形 ABCD 是☉O 内接四边形，点 D 是弧 BC 中点，DE⊥ AC，垂足为 E，F 是 CA 延长线上一点，且 AF=AB. 求证：点 E 是 FC 的中点. 证明：连接 BD.4 ∵点 D 是弧 BC 的中点， ∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB. 又∵∠DAF+∠DAC=180°，∠DAC=∠DBC， ∴∠DAF+∠DCB=180°. ∵四边形 ABCD 是☉O 内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB=180°， ∴∠DAF=∠DAB. 又∵AB=AF，AD=AD， ∴△DAF≌△DAB(SAS)， ∴DF=DB， 又∵DB=DC， ∴DF=DC. 又∵DE⊥AC，∴EF=EC， ∴点 E 是 FC 的中点. 4.[2019·马鞍山三模]如图，已知 AB 是☉O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，F 是 퐴퐷上的一点， AF，CD 的延长线相交于点 G. (1)若☉O 的半径为 3 2，且∠DFC=45°，求弦 CD 的长； (2)求证：∠AFC=∠DFG. 解：(1)如图①，连接 OD，OC. ∵直径 AB⊥CD， ∴퐵퐷=퐵퐶，DE=CE， ∴∠DOE=1 2∠DOC=∠DFC=45°. 又∵在 Rt△DEO 中，OD=3 2，则 DE=3，CD=6.5 (2)证明：如图②，连接 AC. ∵直径 AB⊥CD，∴퐴퐶=퐴퐷， ∴∠ACD=∠AFC， ∵四边形 ACDF 内接于☉O， ∴∠DFG=∠ACD，∴∠DFG=∠AFC. |类型 2|　圆的切线判定与性质 5.[2019·菏泽] 如图，BC 是☉O 的直径，CE 是☉O 的弦，过点 E 作☉O 的切线，交 CB 的 延长线于点 G，过点 B 作 BA⊥GE 于点 F，交 CE 的延长线于点 A. (1)求证：∠ABG=2∠C； (2)若 GF=3 3，GB=6，求☉O 的半径. 解：(1)证明：连接 OE， ∵EG 是☉O 的切线，∴OE⊥EG， ∵BF⊥GE，∴OE∥AB， ∴∠A=∠OEC，∵OE=OC， ∴∠OEC=∠C，∴∠A=∠C， ∵∠ABG=∠A+∠C，∴∠ABG=2∠C. (2)∵BF⊥GE，∴∠BFG=90°， ∵GF=3 3，GB=6，∴BF= 퐵퐺2 - 퐺퐹2=3，6 ∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE， ∴퐵퐹 푂퐸=퐵퐺 푂퐺，∴ 3 푂퐸= 6 6 + 푂퐸， ∴OE=6， ∴☉O 的半径为 6. 6.[2019·天水]如图，AB，AC 分别是☉O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D.过点 A 作☉O 的切线 与 OD 的延长线交于点 P，PC，AB 的延长线交于点 F. (1)求证：PC 是☉O 的切线； (2)若∠ABC=60°，AB=10，求线段 CF 的长. 解：(1)证明：连接 OC， ∵OD⊥AC，OD 经过圆心 O，∴AD=CD， ∴PA=PC. 在△OAP 和△OCP 中，{푂퐴 = 푂퐶， 푃퐴 = 푃퐶， 푂푃 = 푂푃， ∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP. ∵PA 是☉O 的切线，∴∠OAP=90°. ∴∠OCP=90°，即 OC⊥PC， ∴PC 是☉O 的切线. (2)∵OB=OC，∠OBC=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴∠COB=60°， ∵AB=10，∴OC=5，7 由(1)知∠OCF=90°， ∴CF=OCtan∠COB=5 3. 7.[2019·安庆一模]如图，已知☉O 的半径为 5，AB 为☉O 的弦，C 为弧 AB 上一点，过点 C 作 MN∥AB. (1)若 AB=8，MN 与☉O 相切于点 C，求弦 AC 的长； (2)连接 OB，CB，若四边形 OACB 是平行四边形，求证：MN 是☉O 的切线. .解：(1)连接 OC 交 AB 于点 D. ∵MN 与☉O 相切于点 C， ∴OC⊥MN. ∵AB∥MN， ∴OC⊥AB， ∴AD=1 2AB=1 2×8=4. 在 Rt△OAD 中，OD= 푂퐴2 - 퐴퐷2= 52 - 42=3. ∴CD=OC-OD=5-3=2. 在 Rt△ACD 中，AC= 퐴퐷2 + 퐶퐷2= 42 + 22=2 5. (2)证明：连接 OC.在平行四边形 OACB 中，OA=OB， ∴平行四边形 OACB 是菱形， ∴OC⊥AB. ∵AB∥MN， ∴OC⊥MN. ∵C 为弧 AB 上一点， ∴MN 为☉O 的切线. 8.[2019·合肥五十中二模]如图，在☉O 中，AB 是直径，点 F 是☉O 上一点，点 E 是퐴퐹的中 点，过点 E 作☉O 的切线，与 BA，BF 的延长线分别交于点 C，D，连接 BE. (1)求证：BD⊥CD； (2)已知☉O 的半径为 2，当 AC 为何值时，BF=DF?并说明理由.8 解：(1)证明：如图①，连接 OE. ∵CD 与☉O 相切于点 E， ∴OE⊥CD， ∴∠CEO=90°. ∵点 E 是퐴퐹的中点， ∴퐴퐸=퐸퐹， ∴∠2=∠3. ∵OB=OE， ∴∠2=∠1， ∴∠1=∠3， ∴OE∥BD， ∴∠D=∠CEO=90°， ∴BD⊥CD. (2)当 AC=4 时，BF=DF.理由如下： 如图②，连接 AF. ∵AB 是☉O 的直径， ∴∠AFB=90°. 由(1)可知∠D=90°， ∴∠D=∠AFB， ∴AF∥CD，9 ∴퐵퐹 퐷퐹=퐴퐵 퐴퐶. 当 AC=4 时，∵☉O 的半径为 2，∴AB=4， 此时 AC=AB，则퐴퐵 퐴퐶=퐵퐹 퐷퐹=1， ∴BF=DF.