2019—2020 学年度第一学期期中考试
高一数学
一、选择题（本大题 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.）
1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由偶函数定义知，仅 A,C 为偶函数，C. 在区间 上单调递增函数，故
选 A。
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质。
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称。
2.已知全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 ,选 C.
3.函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点 x0 所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点
所在的区间．
【详解】∵连续函数 f（x）=lnx+2x-6 是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3
＞0，
(0, )+∞
2y x-= 1y x−= 2y x= 1
3y x=
2y x= (0, )+∞
U = R { }2 2 0M x N x x= ∈ − ≤ { }2 1xA y y= = + ( )UM C A∩ =
{ }0 1x x≤ ≤ { }1 { }0 1、 { }0 1 2、、
{ } ( ) ( ]0,1,2 , 1, ,1UM A A= = +∞ ⇒ = −∞ ∴ ( ) { }0,1UM C A∩ =
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4∴f（2）•f（3）＜0，故函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点所在的区间为（2，3），
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
4.设 ， ， ，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质推导出 ，利用指数函数的性质推导出 ，由此能求出
结果．
【详解】解： ，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性
质的合理运用，是基础题．
5.若函数 ，则 的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，
，
上式中令 ，可得 ，故选 C.
07log 0.8a = 11log 0.9b = 0.91.1c =
a b c< < a c b< < b a c< < c a b< <
0 1, 0a b< < < 1c >
0.7 0.7 0.70 log 1 log 0.8 log 0.7 1a= < = < =
11 11log 0.9 log 1 0b = < =
0.9 01.1 1.1 1c = > =
b a c∴ < <
21( ) lg( 1)f x x xx
+ = + + 5 5( ) ( )2 2f f− +
2 lg5 0 3
( ) ( )2 21 1lg 1 , lg 1f x x x f x x xx x
+ = + + ∴ − − = − + +
( ) ( )2 21 1 lg 1 lg 1f x f x x x x x xx x
∴ + + − − = + + + + − + +
( ) )2 2lg 1 0x x= + − =
1
2x = 5 5 02 2f f + − = 6.已知函数 的反函数是 ，则函数 的图象是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意得到 的反函数，再得到 ，进而可得出结果.
【详解】因为函数 的反函数是 ，
所以 ，
故选 C
【点睛】本题主要考查函数的图像，熟记反函数的概念即可，属于常考题型.
7.函数 ，则使 的 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将不等式 转化为 ，进而可以求出 取值范围
【详解】解：由已知 ，
即 ，
2logy x= ( )y f x= (1 )y f x= −
2logy x= (1 )y f x= −
2logy x= 2xy =
1(1 ) 2 −= − = xy f x
( ) ( )2
3log 1f x x= − ( ) 0f x < x
( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )2, 2−
( ) ( )2, 1 1, 2− −
( )2
3log 1 0x − < 20 1 1x< − < x
( )2
3log 1 0x − <
( )2
3 3log 1 log 1x − 0x a< 0x a>【答案】D
【解析】
【分析】
先确定函数的单调性，由此得 中一项为负、两项为正，或三项都为负；分类讨
论求得可能成立条件，得出正确答案．
【详解】解： 在 上是增函数，
又 ，
，
，
中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负，
即 或 ．
由于实数 是函数 的一个零点，
当 时， ，
当 时， ，
综上， 一定成立．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数零点的应用问题，解题时应判断函数的零点所在的区间是什么，体
现了分类讨论的数学思想，是易错题．
10.定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，
则函数 在 上的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过已知，求出函数 在 上的解析式，然后画出图像，将函数 在
( ), ( ), ( )f a f b f c
2
5
( ) 4 3logxf x x= − (0, )+∞
0 a b c< < <
( ) ( ) ( )f a f b f c∴ < <
( ) ( ) ( ) 0f a f b f c > >
0x a>
R ( )f x ( ) ( )2 3f x f x+ = [ )0,2x∈ ( ) ( )2f x x x= −
1( ) 9y f x= − ( )4,4−
5 6 7 8
( )f x ( )4,4− 1( ) 9y f x= − ( )4,4−上的零点个数转化为直线 与函数 在 上的图象的交点的个数，观察图像
可得结果．
【详解】解：设 ，则 .
因为 时， ，
所以 .
因为 ，
所以当 时，
同理可得当 时， ；
当 时， ，
此时最大值为 时， ，
因为函数 在 上的零点个数等价于直线 与函数 在
上的图象的交点的个数，
结合 的图象（如图），
直线 与函数 在 上的图象有 个交点，即函数 在 上
有 个零点.
故选：C.
1
9y = ( )y f x= ( )4,4−
[ )2,4x∈ [ )2 0,2x − ∈
[ )0,2x∈ ( ) (2 )f x x x= −
( 2) ( 2)(4 )f x x x− = − −
( 2) 3 ( )f x f x+ =
[ )2,4x∈ ( ) 3( 2)(4 )f x x x= − −
[ )2,0x∈ − 1( ) ( 2)3f x x x= − +
( )4, 2x∈ − − ( )21 1( ) ( 2)( 4) 6 89 9f x x x x x= − + + = − + +
3x = − ( ) 1
9f x =
1( ) 9y f x= − ( )4,4− 1
9y = ( )y f x= ( )4,4−
( )f x
1
9y = ( )y f x= ( )4,4− 7 1( ) 9y f x= − ( )4,4−
7【点睛】本题考查函数零点个数问题，其中将零点个数转化为函数图像的交点个数问题你
11.已知函数 值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分段研究，当 时,可得 ，所以只需 时， 取值为
的子集即可.
【详解】当 时， ，所以 ；
当 时， 为递增函数，所以 ，
因为 的值域为 ，所以 ，故 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查了分段函数 值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.
12.设函数 ，若关于 的方程 恰有 个不同的实数
解，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中函数 ，若关于 的方程 恰有 个不同的
实数解，可以根据函数 的图象分析出实数 的取值范围．
的
的
( )
2 2 ,0 5
11 , 04
x
x x x
f x
a x
− + ≤ ≤
= − ≤
x 2 ( ) ( ) 2 0f x gf x− + = 6
2
1 2 0
4 2 2 0
1 22
8 0
a
a
a
a
− + >
− + ≥ <
( )2 2,3a∈
( )2,8
3( )f x x=
( ) af x x=
(2,8)∴ ，解得 ，
故该幂函数的解析式是： ．
14.已知一元二次不等式 的解集是 或 ，则函数 的
定义域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于 0，分式的分母不为 0 联立不等式组求解．
【详解】解：由 的解集是 或 ，
得 的解集是 ，
则由 ，得 ，
∴ ．
∴函数 的定义域是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
15.若定义域为 的偶函数 在 上是减函数，则不等式 的解集
是.__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得 ，解不等式即
2 8a = 3a =
3( )f x x=
( ) 0f x < { | 2x x < − }1x > (2 )( ) f xg x x x
= +
10, 2
( ) 0f x < { | 2x x < − }1x >
( ) 0f x ≥ [ 2,1]−
2 2 1
0
x
x x
− ≤ ≤
+ ≠
11 2
0
x
x
− ≤ ≤
>
10 2x< ≤
(2 )( ) f xg x x x
= +
10, 2
10, 2
R ( )f x [ )0,+∞ (2 1) ( 5)f x f− ≥ −
[ ]2,3−
(2 1) ( 5) | 2 1| 5f x f x− ≥ − ⇒ − ≤可得答案．
【详解】解：根据题意， 为偶函数且在 上是减函数，
故自变量越靠近 轴函数值越大，即函数值越大，自变量的绝对值越小，
则 ，
解可得 ，
故不等式的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及抽象函数的应用，属于综合题．
16.函数 在 递减，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，函数 在 上是增函数，且 ，再根据二次函数的性质求
得 的范围．
【详解】解：由题意可得，函数 在 上是增函数，且 ，
再根据函数 的图象的对称轴为 ，
可得 ，
求得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学
思想，属于基础题
三、解答题（本大题共 6 题，共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.计算下列各式：
（1）（2 ） （﹣9.6）0﹣（3 ） （1.5）﹣2；
( )f x [ )0,+∞
y
(2 1) ( 5) | 2 1| 5f x f x− ≥ − ⇒ − ≤
2 3x− ≤ ≤
[ ]2,3−
[ ]2,3−
( )2
1
2
( ) log 2f x x ax a= − + ( )1,+∞ a
[ ]1,2−
2 2t x ax a= − + ( )1,+∞ 0t >
a
2 2t x ax a= − + ( )1,+∞ 0t >
2 2t x ax a= − +
2
ax =
12
1 2 0
a
a a
≤
− + ≥
1 2a− ≤ ≤
[ ]1,2−
1
4
1
2 −
3
8
2
3
− +（2）log3 lg25+lg4 ．
【答案】（1） （2）
【解析】
分析】
（1）根据指数幂的运算性质计算即可，
（2）根据对数的运算性质计算即可．
【详解】解：（1）原式= -1- + = ，
（2）原式=- +lg100+2=- +2+2= ．
【点睛】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题
18.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 与时间
的关系为 （ 为常数， 为自然对数的底数），如果在前 个小时消除了 的污
染物，试回答：
（1） 小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少 需要花多长时间？（参考数据： ， ， ）
【答案】（1） （2） 小时
【解析】
【分析】
（1）由 5 小时后剩留的污染物列等式求出 中 的值，得到具体关系式后代 求
得 15 个小时后还剩污染物的百分数；
（2）由污染物减少 ，即 列等式 ，求解污染物减少
所需要的时间．
【详解】解：（1）由 ，可知，当 时， ；
当 时， ．于是有
，解得 ，那么 ，
【
4 27
3
+ 7 27log+
1
2
15
4
3
2
4
9
4
9
1
2
1
4
1
4
15
4
( / )P mg L ( )t h
0
ktP P e−= 0P e 5 10%
15
60% ln 2 0.7≈ ln3 1.1≈ ln5 1.6≈
72.9% 45
0
ktP P e−= k 15t =
60% 060%P P= 1 ln0.95
0 060%
t
P P e
= 60%
0
ktP P e−= 0t = 0P P=
5t = 0(1 10%)P P= −
5
0 0(1 10%) kP P e−− = 1 ln 0.95k = − 1 ln0.95
0
t
P P e
=∴当 时， ．
∴15 个小时后还剩 的污染物；
（2）当 时，有 ，
解得 ．
∴污染物减少 所需要的时间为 个小时．
【点睛】本题考查了函数模型的选择及应用，关键是对题意的理解，由题意正确列出相应的
等式，考查了计算能力，是中档题．
19.已知函数 （ x ∈ R ,且 e 为自然对数的底数）．
⑴ 判断函数 f ( x) 的单调性与奇偶性；
⑵是否存在实数 t ，使不等式 对一切的 x ∈ R 都成立？若存在，求出
t 的值，若 不存在说明理由．
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,
【解析】
【分析】
(1)利用函数奇偶性和单调性的定义证明函数的奇偶性和单调性.(2)由函数的奇偶性和单调
性得到 对一切的 x∈R 都成立,再利用判别式得解.
【详解】函数定义域为 R,关于原点对称, ,
则 ,则 f(x)是奇函数.
以下证明 f(x)在 R 上单调递增:
任取 x1,x2∈R,令 x1 ( )F x 0, b
a
,b
a
+∞
( ) 2
m mf x x x
= − + (1, )+∞ m
4
2( ) log 4 1
x
xg x
= + x∈R ( )g x
1m ≥ − 1, 2
−∞ −
( ],0−∞ [ )0,+∞
0m ≥ ( )f x 0m < ( )f x
12 ,xu t u u
= = + 4( ) logg tx = − 2xu =
0m ≥ ( ) 2
m mf x x x
= − + (1, )+∞
0m < ( ) 2 2
m m m mf x x xx x
−= − + = + +
( )f x ( ),m− +∞
( )(1, ) ,m−∴ +∞ ⊆ +∞
1m∴ − ≤ 1 0m− ≤ <
1m ≥ −（2）
令 ，则 ，
在 上单调递增，且 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，即在 上单调递减，在
上单调递增，且 ，
在 上单调递减，即在 上单调递增，在 上单调
递减，且 ，
综上所述： 的值域为 ，在 上单调递增，在 上单调递减
【点睛】本题考查复合函数的单调性，关键是确定每层函数的单调性及值域，利用同增异减，
将内层函数的值域作为外层函数的定义域，求出外层的单调性及值域，本题难度较大.
21.已知二次函数 （ 、 为常数且 ），满足条件 ，
且方程 有等根.
（1）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）是否存在实数 ， ，使 当定义域为 时，值域为 ？如果
存在，求出 ， 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在 ， 满足题意,详见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 已 知 中 ， 可 得 的 图 象 关 于 直 线 对 称 ， 结 合 方 程
有等根其 ，我们可构造关于 的方程组，解方程组求出 的值，即可得
到 的 解 析 式 ， 然 后 针 对 ， 恒 成 立 ， 转 化 为 函 数
4 4 4
2 4 1 1( ) log log log 24 1 2 2
x x
x
x x xg x
+ = = − = − +
+
12 ,xu t u u
= = + 4( ) logg tx = −
2xu = R ( )0,u ∈ +∞
1t u u
∴ = + ( ]0,1 ( )0, ∞+ ( ],0x∈ −∞
( )0,x∈ +∞ [ )2,t ∈ +∞
4( ) logg tx = − [ )2,+∞ ( ],0x∈ −∞ ( )0,x∈ +∞
1( ) , 2g x ∈ −∞ −
( )g x 1, 2
−∞ −
( ],0−∞ ( )0, ∞+
2( )f x ax bx= + a b 0a ≠ ( ) ( )1 1f x f x+ = −
( )f x x=
( ) 2f x mx m≥ + [ ]0,3x∈ m
m ( )n m n< ( )f x [ ],m n [ ]2 ,2m n
m n
3
10m ≤ − 2m = − 0n =
( ) ( )1 1f x f x+ = − ( )f x 1x =
( )f x x= 0∆ = ,a b ,a b
( )f x ( ) 2f x mx m≥ + [ ]0,3x∈在 上恒成立，求其最小值，列
不等式求出实数 的取值范围；
（2）由（1）中函数的解析式，我们根据 的定义域和值域分别为 和 ，我
们易判断出函数在 的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1） 满足 ，
的图像关于直线 对称，
，①
又方程 有等根，即 有等根，
，②
由①②得 ，
，
令 ，
则 在 上恒成立，
所以 ，
解得 ；
（2）由（1）可得 ，
假设存在 、 ，使 当定义域为 时，值域为 ，
则必有 ，即 ，即 必在对称轴的左侧，且 在 单调递增，
21( ) ( ) 2 (1 ) 2 02g x f x mx m x m x m= − − = − + − − ≥ [0,3]x∈
m
( )f x [ ],m n [ ]2 ,2m n
[ ],m n
( )f x ( ) ( )1 1f x f x+ = −
( )f x∴ 1x =
12
b
a
∴ =
( )f x x= ( )2 1 0ax b x+ − =
( 1)2 0b∴∆ = − =
11, 2b a= = −
21( ) 2f x x x∴ = − +
21( ) ( ) 2 (1 ) 22g x f x mx m x m x m= − − = − + − −
( ) 0g x ≥ [0,3]x∈
(0) 2 0
3(3) 5 02
g m
g m
= − ≥ ≥ − − ≥
3
10m ≤ −
21 1 1( ) ( 1)2 2 2f x x= − − + ≤
m ( )n m n< ( )f x [ ],m n [ ]2 ,2m n
12 2n ≤ 1
4n ≤ [ ],m n ( )f x [ ],m n所以， 又由 ，
解得 ，
所以存在 ， 满足题意.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中（1）的关键是由已知条件构造关于
的方程组，并且通过开口向下的二次函数必在区间端点取到最值来列不等式；（2）的关键是
根据函数的值域判断出函数在 的单调性，进而构造出满足条件的方程．
22.已知函数 是偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）若函数 在 上只有一个零点，求实数
取值范围.
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
（1）由函数 是偶函数，可得 ，结合对数的运算性质，
可得实数 的值；
（2）若函数 在 上只有一个零点转化为方程
在 上只有一个根，令 ，则方程
正根有且只有一个，分类讨论可得答案.
【详解】解：（1）因为函数 是偶函数，
，
，
的
2
2
1( ) 22
1( ) 22
f m m m m
f n n n n
= − + =
= − + =
m n<
2
0
m
n
= −
=
2m = − 0n =
,a b
[ ],m n
4( ) log (4 1)xf x ax= + +
a
( )2
1( ) ( ) log 2 2 2 ( 0)2
xF x f x k k k= − ⋅ + > R k
1
2a = − 1k ³
1
2k =
4( ) log (4 1)xf x ax= + + ( ) ( )f x f x− =
a
( )2
1( ) ( ) log 2 2 2 ( 0)2
xF x f x k k k= − ⋅ + > R
( )2
( 1) 2 2 2 2 1 0x xk k− + ⋅ − = R 2 ( 0)xt t= >
2( 1) 2 2 1 0k t kt− + − =
4( ) log (4 1)xf x ax= + +
( ) ( )f x f x∴ − =
∴ ( ) ( )4 4log 4 1 log 4 1x xax ax− + − = + +，
又
，即 ，因为该式对任意 均成立，
；
（2）若函数 在 上只有一个零点，
则 在 上只有一个根，
则 在 上只有一个根，
令 ，
则方程 正根有且只有一个，
当 ，即 或 （舍）时，方程的根为 ，符合正根有
且只有一个；
当 且 ，即 且 ，若正根有且只有一个，
则 ，解得： ；
当 时，方程的根为 ，符合正根有且只有一个；
综上所述： 或 .
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，函数恒成立问题，函数零点的存在性
及个数判断，难度较大．
∴ ( ) ( )4 4log 4 1 log 4 1 2x x ax− + − + =
( ) ( ) ( )4 4 4 4
4 1 4 1log 4 1 log 4 1 log log4 1 4 4 1
x x
x x
x x x x
−
− + ++ − + = = = −+ +
∴ 2x ax− = (1 2 ) 0a x+ = x
1 2 0a∴ + =
∴ 1
2a = −
( )2
1( ) ( ) log 2 2 2 ( 0)2
xF x f x k k k= − ⋅ + > R
( )24
1log (4 1) 1 log 2 2 222
xx x k k+ − = ⋅ + ( 0)k > R
( )2
( 1) 2 2 2 2 1 0x xk k− + ⋅ − = R
2 ( 0)xt t= >
2( 1) 2 2 1 0k t kt− + − =
( )2
2 2 4( 1) 0k k∆ = + − = 1
2k = 1k = − 2
( )2
2 2 4( 1) 0k k∆ = + − > 1k ≠ 1
2k > 1k ≠
1 01k
−
1k = 1
2 2
1k ³
1
2k =
微信/支付宝扫码支付