2019-2020 学年第一学期期中考试
高一数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 36 分）
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求.
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用交集概念及运算即可得到结果.
【详解】∵集合 ， ，
∴
故选：A
【点睛】本题考查交集的概念及运算，利用好数轴是解题的关键，属于基础题.
2.函数 恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令真数等于 1，即可得到结果.
【详解】令 ，则 ，
即函数 恒过定点 ，
故选：B
【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握对数函数的性质，属于基
{ | 3 2}A x x= − < < 3{ }1|B x x x= < − >或 A B =
{ | 3 1}x x− < < − { | 3 2}x x− < <
{ | 1 2}x x− < < { | 1 3}x x− < <
{ | 3 2}A x x= − < < 3{ }1|B x x x= < − >或
A B = { | 3 1}x x− < < −
( ) ( )log 1af x x= −
( )1,0 ( )2,0
( )0,1 ( )0,2
1 1x − = 2x =
( ) ( )log 1af x x= − ( )2,0础题．
3. 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】
利用象限角的定义直接求解．
【详解】∵
∴ 是第三象限角，
故选：C
【点睛】本题考查角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计
算能力，是基础题．
4.有一组试验数据如图所示：
2. 01 3 4. 01 5 1 6. 12
3 8. 01 15 23 8 36. 04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的表格关系判断函数的解析式的可能性，然后验证求解即可．
【详解】由函数的表格可知，函数的解析式应该是指数函数类型与幂函数类型，选项 C 不正
确；
.
.
4
3
π
4 ,3 3
π ππ= +
4
3
π
x
y
2 1xy = − 2 1y x= −
22logy x= 3y x=当 x＝2.01 时，y＝2x﹣1≈3；y＝x2﹣1≈3，y＝x3＞7，
当 x＝3 时，y＝2x﹣1＝7；y＝x2﹣1=8，y＝x3＝27，
排除 A，D.
故选：B．
【点睛】本题考查函数的解析式的判断与应用，函数的模型的应用，考查学生分析问题解决
问题的能力，是基础题．
5.函数 的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
函数 f（x）的定义域为（0，+∞），且函数 f（x）单调递增，∵f（2）=lg2+2-3=lg2-1＜0，
f（3）=lg3＞0，∴在（2，3）内函数 f（x）存在零点，
故选 C．
6.在同一直角坐标系中，函数 的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.
( ) ln 3f x x x= + −
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4
( ) ( 0), ( ) loga
af x x x g x x= ≥ =【详解】函数 ，与 ，
答案 A 没有幂函数图像，
答案 B. 中 ， 中 ，不符合，
答案 C 中 ， 中 ，不符合，
答案 D 中 ， 中 ，符合，故选 D.
【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.
7.化简 （其中 为第二象限角）的结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用同角基本关系式即可得到结果.
【详解】由于 为第二象限角，所以
故选：A
【点睛】本题考查同角基本关系式，考查恒等变换能力，属于基础题.
8.若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
函数的定义域为实数集即 ax2+2ax+1≠0 的解集为 R，即 ax2+2ax+1＝0 无解，讨论 a 是否为零，
【
( )0ay x x= ≥ ( )log 0ay x x= >
( )0ay x x= ≥ 1a > ( )log 0ay x x= > 0 1a< <
( )0ay x x= ≥ 0 1a< < ( )log 0ay x x= > 1a >
( )0ay x x= ≥ 0 1a< < ( )log 0ay x x= > 0 1a< <
2
1
1 tan α+
α
cosα− cosα
1
cosα− 1
cosα
α
2 2 2 2
22 2
1 1 1 1 cos c
sin cos sin
coscos cos
os
11 tan 1
α α
α α α α
αα α
= = = = = −
+ ++
2
1( ) 2 1f x ax ax
= + + R a
( ,0) (1, )−∞ ∪ +∞ ( ,0] (1, )−∞ +∞
(0,1) [0,1)令判别式小于 0 即可．
【详解】解：因为 f（x）的定义域为 R
又 f（x）有意义需 ax2+2ax+1≠0
所以 ax2+2ax+1＝0 无解
当 a＝0 是方程无解，符合题意
当 a≠0 时△＝4a2﹣4a＜0，解得 0＜a
综上所述 0≤a
故选：D．
【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，属于基础题．
9.素数也叫质数，部分素数可写成“ ”的形式（ 是素数），法国数学家马丁·梅森就
是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“ ”形式（ 是素数）的素数称为
梅森素数.已知第 20 个梅森素数为 ，第 19 个梅森素数为 ，则下列各
数中与 最接近的数为（ ）（参考数据： ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 2170，令 2170＝k，化指数式为对数式求解．
【详解】解： 2170．
令 2170＝k，则 lg2170＝lgk，
∴170lg2＝lgk，
又 lg2≈0.3，∴51＝lgk，
即 k＝1051，
∴与 最接近的数为 1051．
1＜
1＜
2 1n − n
2 1n − n
44232 1P = − 42532 1Q = −
P
Q lg 2 0.3≈
4510 5110
5610 5910
4423
4253
2 1
2 1
P
Q
−= ≈−
4423
4253
2 1
2 1
P
Q
−= ≈−
P
Q故选：B．
【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，考查运算能力，是基础题．
10.已知函数 ，且对定义域上的任意 有 ，当 时，
，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意明确函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】令 x＝1，y＝0 可得 f（1）＝f（1）f（0）
∵f（1）＞1，∴f（0）＝1
当 x＜0 时，f（x﹣x）＝f（0）＝f（x）f（﹣x）＝1
﹣x＞0，f（﹣x）＞1，∴
∴x∈R 时，f（x）＞0
任取 x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）＝f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）f（x2）﹣f
（x2）＝f（x2）[f（x1﹣x2）﹣1]
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0
∵x＜0 时，f（x）＜1，∴f（x1﹣x2）﹣1＜0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是定义域上的增函数；
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的性质，考查赋值法的而运用，考查函数值大小
( ) 0f x > ,x y ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ⋅ 0x >
( ) 1f x >
( ) 1
2
3log 7 (ln 2) 6f f f
> >
( ) 1
2
3log 7 6 (ln 2)f f f
> >
( )1
2
36 log 7 (ln 2)f f f
> >
( ) 1
2
3log 7 6 (ln 2)f f f
> >
( ) ( ) ( )1 01f x f x
= ∈− ，
1
2
30 ln 2 1 log 7 2 6< < < < <
( )1
2
36 log 7 (ln 2)f f f
> >
的比较，属于中档题．
二、多选题：本题共 2 小题，每小题 3 分，共 6 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项
符合题目要求，全部选对的得 3 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
11.下列说法正确的是（ ）
A. 函数 在定义域上是减函数
B. 函数 有且只有两个零点
C. 函数 的最小值是 1
D. 在同一坐标系中函数 与 的图象关于 轴对称
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可.
【详解】对于 A， 在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于 B，函数 有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于 C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数 y＝2|x|的最小值是 1，故命题正确；
对于 D，在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝2﹣x 的图象关于 y 轴对称，命题正确.
故选：CD
【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结
合能力，属于中档题.
12.下列说法错误的是（ ）
A. 长度等于半径的弦所对的圆心角为 1 弧度
B. 若 ，则
( ) 1f x x
=
( ) 22xf x x= −
2 xy =
2xy = 2 xy −= y
( ) 1f x x
=
( ) 22xf x x= −
tan 0α ≥ ( )2k k k Z
ππ α π≤ ≤ + ∈C. 若角 的终边过点 ，则
D. 当 时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用弧度制的定义、正切函数的符号、三角函数的定义、三角函数线等知识，逐一判断即可.
【详解】对于 A，长度等于半径的弦所对的圆心角为 弧度，命题错误；
对于 B，若 ，则 ，命题错误；
对于 C，若角 的终边过点 ，则 ，命题错误；
对于 D，当 时， ，命题正确.
故选：ABC
【点睛】本题主要考查命题的真假关系，涉及角的范围的确定，任意三角函数的定义以及弧
度角的计算，综合性较强，但难度不大．
第Ⅱ卷（非选择题 共 64 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.
13.若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
.
故答案为 .
14.已知 f（x）是偶函数，当 x＜0 时，f（x）＝ ，则当 x＞0 时，f（x）＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶函数性质求解析式.
α ( )( )3 ,4 0P k k k ≠ 4sin 5
α =
2 2 ( )4k k k Z
ππ α π< < + ∈ sin cosα α<
3
π
tan 0α ≥ ( )2k k k Z
ππ α π≤ < + ∈
α ( )( )3 ,4 0P k k k ≠ 4sin 5
α = ±
2 2 ( )4k k k Z
ππ α π< < + ∈ sin cosα α<
tan 2α = sin cos
sin cos
α α
α α
− =+
1
3
sin cos
sin cos
α α
α α
− =+
tan 1 2 1 1
tan 1 2 1 3
α
α
− −= =+ +
1
3
2 12x xx
+ −
2 1( ) 2f x x xx
= − +【详解】当 时，
【点睛】已知函数的奇偶性求函数解析式，主要抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，
或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得 的解析式.
15.函数 的定义域是_______，单调增区间是_______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由对数的真数大于 0，解不等式即可得到所求定义域；由 t＝x2+2x﹣3 在定义域上的单调性，
以及对数函数的单调性，复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求增区间．
【详解】解：函数 f（x） （x2+2x﹣3），
由 x2+2x﹣3＞0，解得 x＞1 或 x＜﹣3，
即定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）；
由 t＝x2+2x﹣3 在（﹣∞，﹣3）递减，在（1，+∞）递增，
y t 在（0，+∞）递减，
可得 f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），（﹣∞，﹣3）．
【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于 0，考查函数的单调区间的求法，
注意复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于基础题．
16.已知函数 若方程 恰有三个实数根，则实数 的
取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
令 f（t）＝2，解出 t，则 f（x）＝t，讨论 k 的符号，根据 f（x）的函数图象得出 t 的范围
即可．
0x > 2 1( ) ( ) 2f x f x x xx
= − = − +
( )f x ( )f x
( )2
1
3
( ) log 2 3f x x x= + −
( , 3) (1, )−∞ − ∪ +∞ ( , 3)−∞ −
1
3
log=
1
3
log=
3, 0
( ) 1 , 02
x
kx x
f x
x
+ ≥
=
≤
− ≥
2m ≤ − m ( , 2]−∞ −
( )f x ( )2,4
( )f x
( ) ( ) 4 8h x f x x= − − [ ], 2k k + k
2( )f x x= ( ,0] [2, )−∞ +∞
( ) ( )f x x Rα α= ∈
( )f x ( )2,4
(2) 2 4f α= =
2α =
2( )f x x=
2 2( ) ( ) 4 8 4 8 ( 2) 12h x f x x x x x= − − = − − = − −
2x =
( )h x [ ], 2k k + 2k ≥当 在 上为减函数时， ，解得
所以 的取值范围是
【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
20.某企业拟用 10 万元投资甲、乙两种商品.已知各投入 万元，甲、乙两种商品分别可获得
万元的利润，利润曲线 ， ，如图所示.
（1）求函数 解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
【答案】（1） ， ；（2）当投资甲商品 6.25 万元，乙商品 3.75 万元时，
所获得的利润最大值为 万元.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由图可知，点 在曲线 上，将两点的坐标代入曲
线的方程，列方程组可求得 .同理 在曲线 上，将其代入曲线的方程可求得
.（2）设投资甲商品 万元，乙商品 万元，则利润表达式为 ，
利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品 万元，乙商品 万元时，所获得的利润最
大值为 万元.
试题解析：
（1）由题知 ， 在曲线 上，
则 ，
的
( )h x [ ], 2k k + 2 2k + ≤ 0k ≤
k ( ,0] [2, )−∞ +∞
x
1 2,y y 1 1: nP y ax= 2 2:P y bx c= +
1 2,y y
1
5
4y x= 2
1
4y x=
65
16
( ) ( )1,1.25 , 4,2.5 1P
1
5
4y x= ( )4,1 2P
2
1
4y x= x 10 x− 5 1 5
4 4 2y x x= − +
6.25 3.75
65
12
( )1,1.25 ( )4,2.5 1P
1.25 1
2.5 4
n
n
a
a
= ⋅
= ⋅解得 ，即 .
又 曲线 上，且 ，则 ，
则 ，所以 .
（2）设甲投资 万元，则乙投资为 万元，
投资获得的利润为 万元，则
，
令 ，
则 .
当 ，即 （万元）时，利润最大为 万元，此时 （万元），
答：当投资甲商品 6.25 万元，乙商品 3.75 万元时，所获得的利润最大值为 万元.
21.已知函数 与函数 （ 且 ）互为反函数，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若对于任意 都有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据 可得 值，结合反函数得到函数 的解析式；
（2）由题意可得 在 上成立等价于 在
在
5
4{ 1
2
a
n
=
=
1
5
4y x=
( )4,1 2P 0c = 1 4b=
1
4b = 2
1
4y x=
x ( )10 x−
y
( )5 1 104 4y x x= + −
5 1 5
4 4 2x x= − +
0, 10x t = ∈
2
21 5 5 1 5 65
4 4 2 4 2 16y t t t = − + + = − − +
5
2t = 25 6.254x = = 65
16 10 3.75x− =
65
16
( )f x ( ) xg x a= 0a > 1a ≠ ( )1 2g − =
( )f x
( )0,1x∈ ( ) ( )2 2 4 0f x mf x− + > m
1
2
( ) logf x x= ( ),2−∞
( )1 2g − = a ( )f x
2
1 1
2 2
log 2 log 4 0x m x
− + >
(0,1) 2 2 4 0t mt− + >上成立，进而变量分离求最值即可.
【详解】解：（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
又函数 与函数 互为反函数，
∴ .
（2） 即
，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上成立等价于 在 上成立，
即 在 上成立，
因为 在 单调递减，在 单调递增
所以当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是
【点睛】本题考查与对数函数相关的不等式恒成立，考查指对函数的互化，考查换元法、参
变分离，属于中档题.
22.已知函数 .
（1）求 的零点；
（2）设 ，判断函数 的奇偶性，并证明；
(0, )+∞
( ) xg x a= ( 1) 2g − = 1 2a− =
1
2a = 1( ) 2
=
x
g x
( )f x ( )g x
1
2
( ) logf x x=
( )2 2( ) 4 0f x mf x− + >
2
2
1 1
2 2
log log 4 0x m x
− + >
2
1 1
2 2
log 2 log 4 0x m x
⇔ − + >
1
2
logt x= (0,1)x∈ 0t >
2
1 1
2 2
log 2 log 4 0x m x
− + >
(0,1) 2 2 4 0t mt− + > (0, )+∞
2 42 tm t
+< (0, )+∞
2 4 4t tt t
+ = + (0,2] [ )2,+∞
2t =
2
min
4 4t
t
+ =
2 4m < 2m <
m ( ),2−∞
4 25( ) 2 2 3
x xf x −= + −
( )f x
( ) ( )2g x f x= + ( )g x（3）若 ，求 的值.
【答案】(1) 与 (2) 偶函数，证明见解析；(3)
【解析】
【分析】
（1）利用换元法解指数型方程即可得到 的零点；
（2）利用偶函数定义证明即可；
（3）利用函数的对称性可得结果.
【详解】解：（1）令 ，得 ，即
令 ，则 ，即 ，
解得 或 ，
所以 或 ，
所以函数 的零点为 与
（2） ，
为偶函数，证明如下
函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且对于任意 ，都有 ，
所以函数 为偶函数.
（3）因为 ，
，
所以 ，即函数 的图像关于直线 对称，
所以，若 ，则 .
【点睛】本题考查指数型函数的图像与性质，考查函数的对称性与零点问题，考查转化思想，
属于中档题.
( ) ( )( )1 2 1 2 1 2, ,f x f x x x R x x= ∈ ≠ 1 2x x+
2log 3x= 24 log 3x = − 1 2 4x x+ =
( )f x
( ) 0f x = 4 252 2 03
x x−+ − = 16 252 02 3
x
x
+ − =
2 ( 0)xt t= > 16 25 03t t
+ − = 23 25 48 0t t− + =
3t = 16
3t =
2log 3x= 2 2
16log 4 log 33x = = −
( )f x 2log 3x= 24 log 3x = −
2 2 25( ) ( 2) 2 2 3
x xg x f x + −= + = + −
( )g x
( )g x R
x∈R 2 2 25( ) 2 2 ( )3
x xg x g x− + +− = + − =
( )g x
2 2 25(2 ) 2 2 3
x xf x − +− = + −
2 2 25(2 ) 2 2 3
x xf x + −+ = + −
( ) ( )2 2f x f x− = + ( )f x 2x =
( ) ( )1 2f x f x= 1 2 4x x+ =
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