广东省揭阳市普宁市2019-2020高一数学上学期期中试题（带解析Word版）

2019-2020 学年度第一学期期中高中一年级质量测试 数学科试题 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的交集定义求解即可 【详解】由题,即可得到 , 故选：B 【点睛】本题考查列举法表示集合,考查集合的交集,属于基础题 2.函数 的定义域为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 故选 D. 3.已知函数 ，若 ，则 （ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 当 时, ；当 时, ,解出符合条件的解即可 { } { }1,2,3 , 2,3,4,5A B= = A B = { }2 { }2,3 { }4,5 { }1,2,3,4 { }2,3A B∩ = 1 1 y x = + ( ], 1−∞ − ( ), 1−∞ − [ )1,− +∞ ( )1,− +∞ 1 0 1.x x+ > ⇒ > − ( ) 2 4, 2 2 , 2x x xf x x  − ≤=  > ( ) 8f a = a = 4 2 3 4 2 3− 3 -2 3 3 2 3 2a ≤ 2 4 8a − = 2a > 2 8a =【详解】由题, 当 时, ,即 或 （舍）, 当 时, ,即 , 综上, 或 , 故选：C 【点睛】本题考查分段函数中已知函数值求自变量,考查分类讨论思想 4.下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据奇函数的定义,先判断定义域是否关于原点对称,再利用 即可对选项依 次进行判断 【详解】由题, 对于选项 A,定义域为 , ,为偶函数,故 A 不正确； 对于选项 B,定义域为 , ,为奇函数, 故 B 正确； 对于选项 C,定义域为 ,不关于原点对称,为非奇非偶函数,故 C 不正确； 对于选项 D,定义域为 , ,为偶函数,故 D 不正确. 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,属于基础题 5.若 a=20.5，b=logπ3，c=log2 ，则有（　　） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. b＞c＞a 【答案】A 【解析】 2a ≤ 2 4 8a − = 2 3a = − 2 3 2a > 2 8a = 3a = 3a = 2 3− y x= 1y x x = + y x= 22y x= − ( ) ( )f x f x− = − R ( ) ( )f x x x f x− = − = = ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ( ) ( )1 1f x x x f xx x  − = − − = − + = −   [ )0 +，∞ R ( ) ( ) ( )2 22 2f x x x f x− = − − = − = 2 2 ,故选 A。 6.方程 的解的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 转化方程 解的个数问题为 与 的交点个数问题,分别画出函 数图象,由图象即可得到结论 【详解】 由题, ,分别作出 与 的图象,由图象可知两个函数交点个 数为 2,则方程的解的个数为 2 故选：C 【点睛】本题考查方程的解的个数问题,转化为两函数交点个数问题时解题关键 7.函数 y= −ex 的图像 ( ) A. 与 y=ex 的图像关于 y 轴对称 B. 与 y=ex 的图像关于坐标原点对称 C. 与 y=e−x 的图像关于 y 轴对称 D. 与 y=e−x 的图像关于坐标原点对称 【答案】D 【解析】 因为函数 与函数 的图像关于 轴对称，与函数 关于坐标原点对称，所 0.52 1, log 3 log 1 0, log 3 log 1,a b bπ π π π π= > = > = = < = 2 2 2log log 1 02c = < = 22 2x x+ = 22 2x x+ = 2xy = 2 2y x= − + 22 2x x= − + 2xy = 2 2y x= − + xy e= − xy e= x xy e−=以 A、B、C 都不正确，应选答案 D。 8.已知函数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题可得 ,则 ,即可求解 【详解】由题,可得 , 所以 , 因为 ,所以 , 故选：A 【点睛】本题考查函数对称性 应用,考查函数值 9.函数 的图象可以看成由幂函数 的图象变换得到，这种变换是（ ） A. 向左平移一个单位 B. 向右平移一个单位 C. 向上平移一个单位 D. 向下平移一个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可知 向右平移 1 个单位即可得到 【详解】由题, ,所以欲得到 ,向右平移 1 个单位即可 故选：B 【点睛】本题考查图象变换的应用,函数图象平移遵循“上加下减,左加右减” 10.当 时，函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 的 ( ) 5 3 2f x ax bx= − + ( )2019 0f − = ( )2019f = 4 0 2 2− ( ) ( ) 4f x f x+ − = ( ) ( )2019 4 2019f f= − − ( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 3 5 32 2 2− = − − − + = − + + = − − +f x a x b x ax bx ax bx ( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 32 2 4f x f x ax bx ax bx + − = − + + − − + =  ( )2019 0f − = ( ) ( )2019 4 2019 4f f= − − = 1y x= − 1 2y x= 1 2y x x= = 1y x= − 1 2y x x= = 1y x= − ]4[1x∈ ， ( ) 2 3 2f x x x= − + [ ]1,6 [ ]0,6 1 ,64  −   5 ,64  −  【分析】 先利用配方法可得 ,则在 与 时分别能取得最小值与最大值, 即可得到值域 【详解】由题, , 因为 ,则当 时, ； 当 时, ； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数在定区间内的值域问题,考查运算能力 11.已知定义在 上的函数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ,则 ,代入 中即可得到 的解析式 【详解】由题,设 ,则 , 所以 , 则 , 故选：D 【点睛】本题考查换元法求解析式,属于基础题 12.若直线 与函数 且 的图象有两个公共点，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B ( ) 23 1 2 4f x x = − −   3 2x = 4x = ( ) 2 2 3 13 2 2 4f x x x x = − + = − −   ]4[1x∈ ， 3 2x = ( )min 3 1 2 4f f x  = = −   4x = ( ) ( ) 2 max 3 14 4 62 4f f x  = = − − =   R ( )f x ( )1 3 1f x x+ = + ( )f x = 3x 3 1x + 3 1x − 3 2x − ( )1t x t R= + ∈ 1x t= − ( )1 3 1f x x+ = + ( )f x ( )1t x t R= + ∈ 1x t= − ( ) ( )3 1 1 3 2f t t t= − + = − ( ) 3 2f x x= − 2y a= 1 ( 0xy a a= − > 1)a ≠ a ( )0,1 10, 2      1 ,12      ( )1,2【解析】 【分析】 先分为 与 两种情况作出 的图象,再由直线 与函数 的图象有两个公共点,利用数形结合求解即可 【详解】当 时,函数 的图象如图所示,若直线 与函数 的 图象有两个公共点,由图象可知 ,即 ； 当 时, ,函数 的图象如图所示,此时 ,则直线 与函数 的图象只有一个公共点； 综上, 故选：B 【点睛】本题考查指数函数的图象与性质,考查图象变换,考查分类讨论思想与数形结合思想 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. __________． 【答案】 【解析】 0 1a< < 1a > 1xy a= − 2y a= 1xy a= − 0 1a< < 1xy a= − 2y a= 1xy a= − 0 2 1a< < 10 2a< < 1a > 1xy a= − 2 2a > 2y a= 1xy a= − 10 2a< < 2 3 8 27 log 48 −  − =   2 9 −【分析】 根据指数幂的性质及对数的性质进行运算即可 【详解】由题, 故答案为： 【点睛】本题考查指对数的运算,属于基础题 14.当 且 时，函数 的图像经过的定点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质可知 恒过 ,故令 ,进而求解即可 【详解】由题,令 ,则 ,此时 , 故所过定点为 故答案为： 【点睛】本题考查指数型函数恒过定点问题,属于基础题 15.已知幂函数 的图象经过点 ，则 __________． 【答案】4 【解析】 【分析】 设幂函数为 ,将点代入可求得 ,进而可求得 的值 【详解】设幂函数 ,因为函数过点 ,则 ,即 , 所以 ,则 故答案为： 为 22 3 233 2 8 2 log 427 3 3 2 4 2 2log 48 2 log 8 2 3 9 3 9 −− −      − = − = − = − = −              2 9 − 0a > 1a ≠ ( ) 1 1xf x a −= + ( )1,2 xy a= ( )0,1 1 0x − = 1 0x − = 1x = ( ) 1 1 01 1 1 2f a a−= + = + = ( )1,2 ( )1,2 ( )f x 12, 4      1 2f   =   ( )f x xα= 2α = − 1 2f      ( )f x xα= 12, 4      1 24 α= 2α = − ( ) 2f x x−= 21 1 42 2f −   = =       4【点睛】本题考查幂函数的解析式,考查函数值 16.如下图， 是边长为 的正三角形，记 位于直线 左侧的图形的 面积为 ，现给出函数 的四个性质，其中说法正确的是__________． ① ② 在 上单调递增 ③当 时， 取得最大值 ④对于任意的 ，都有 【答案】②④ 【解析】 【分析】 先分析出 ,再根据分段函数性质依次判断即可 【详解】由题可知, 所在直线为 , 所在直线为 则当 时, ； 当 时, ； OAB 2 OAB ( )0 2x t t= < < ( )f t ( )f t 1 3 2 4f   =   ( )f t ( )0,2 1t = ( )f t ( )0,2t ∈ ( ) ( )2 3f t f t+ − = ( ) 2 2 3 ,0 12 3 2 3 3,1 22 t t f t t t t  < ≤=  − + − < + + 1 2 1 2 1 1lg lg1 1 x x x x    − −>   + +    1 2 1 2 1 1lg lg 01 1 x x x x    − −− >   + +    ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( )f x ( )0,1 ( )f x ( )1,0− ( )f x ( )0,1 ( )1,0− 0a > 1a ≠ ( ) 1 1 x x af x a −= +解关于 的不等式 当 时，求证：方程 在区间 内至少有一个根 【答案】（1）当 时,解集为 ；当 时, （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）将 转化为指数不等式,进行分类讨论并求解即可； （2）将方程 根的问题转化为函数 零点问题,利用零点存 在性定理即可证明 【详解】（1）因 且 ,所以 ,即 , 所以 ,则 ,即 , 当 时,解集为 ；当 时, （2）证明：当 时, , 设 ,则 , , 所以方程 在区间 内至少有一个根 【点睛】本题考查指数不等式的解法,考查零点存在性定理的应用,考查转化思想与分类讨论 思想 22.对于在区间 上有意义的两个函数 与 ，如果对任意的 。均有 ，则称 与 在 上是接近的，否则称 与 在 上是非接近的。现有两个函数 与 且 ， 给定区间 ， 为 ( )1 x ( ) 0f x > ( )2 2a = ( ) lnf x x= ( )1,2 1a > ( )0 +∞， 0 1a< < ( ),0- ¥ ( ) 0f x > ( ) lnf x x= ( ) 21 ln2 1xg x x= − −+ 0a > 1a ≠ 0xa > 1 1xa + > ( ) 1 01 x x af x a −= >+ 1 0xa − > 01xa a> = 1a > ( )0 +∞， 0 1a< < ( ),0- ¥ 2a = ( ) 2 1 212 1 2 1 x x xf x −= = −+ + ( ) ( ) 2ln 1 ln2 1xg x f x x x= − = − −+ ( ) 1 2 11 1 ln1 02 1 3g = − − = >+ ( ) 2 2 32 1 ln 2 ln 2 02 1 5g = − − = − − ， 1)a ≠ [ ]1, 2a a+ +若 与 在区间 上都有意义，求 的取值范围： 在 的条件下，讨论 与 在区间 上是否是接近的 【答案】（1） ；（2）当 时, 与 在区间 上是 接近的；当 时, 与 在区间 上是不接近的 【解析】 【分析】 （1）根据 与 在区间 上都有意义,利用对数函数成立的条件即可求得 的取值范围； （2）根据函数接近的定义进行判断即可 【详解】（1）若 与 在区间 上都有意义,则 ,即 （2）设 , 对于函数 而言,显然在 上递减,在 上递增,且 在其定义域内为减函数, 若 与 在区间 是接近的,则 , 即 ,可得 , 因为 ,则 , 所以 在 上单调递增, 则 , , ( )1 ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ + a ( )2 ( )1 ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ + 0 1a< < 2 20 2a −< ≤ ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ + 2 2 12 a − < < ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ + ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ + a ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ + 1 2 0 2 2 0 1 01 1 02 a a a a a a a a + − >  + − >  >+ −  > + − 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1log 2 log log 2a a am x f x f x x a x a x ax a = − = − − = − −− ( )( )2t x a x a= − − 3, 2 a −∞   3 ,2 a +∞  logay t= ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ + ( ) 1m x ≤ ( ) ( )( )1log 2 log log 2 1a a ax a x a x ax a − − = − − ≤− ( )( ) 12a x a x a a ≤ − − ≤ 0 1a< < 3 2 1 22 a a a a< < + < + ( )( )2t x a x a= − − [ ]1, 2a a+ + ( )( )max 2 2 2 4 2t a a a a a= + − + − = − ( )( )min 1 2 1 1t a a a a a= + − + − = −所以需满足 ,解得 , 所以当 时, 与 在区间 上是接近的； 当 时, 与 在区间 上是不接近的 【点睛】本题考查对数函数的性质及应用,考查函数单调性的应用,考查运算能力 1 14 2 a a a a − ≥ − ≤ 2 20 2a −< ≤ 2 20 2a −< ≤ ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ + 2 2 12 a − < < ( )1f x ( )2f x [ ]1, 2a a+ +