河南省洛阳市 2019-2020 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题）
1.若 U={2，3，4，5}，M={3，4}，N={2，3}，则（∁UM）∩（∁UN））是（ ）
A. 3, B. C. 4, D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合补集的定义，结合交集进行运算即可．
【详解】解：∵U={2，3，4，5}，M={3，4}，N={2，3}，
∴（∁UM）={2，5}，（∁UN）={4，5}，
则（∁UM）∩（∁UN））={5}，
故选：D．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，集合补集，交集的定义是解决本题的关键．属于简
单题.
2.函数 的定义域为（ ）
A. B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得， ，解不等式即可求解函数的定义域．
【详解】解：由题意可得， ，
解可得， ，
故函数的定义域为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
{2, 4} { }3 {3, 5} { }5
( ) ( )3 1f x x lg x= − + +
{ | 1 3}x x− ≤ ≤ { | 3x x ≤ 1}x ≠ −
{ | 1 3}x x− < < { | 1 3}x x− < ≤
3 0
1 0
x
x
− ≥
+ >
3 0
1 0
x
x
− ≥
+ >
1 3x− < ≤
( ]1,3−3.设 ，则 f（f（-1））的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出 ，从而 ，由此能求出结果．
【详解】∵ ，
∴ ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查求分段函数的值，考查运算求解能力，属于简单题．
4.定义运算： ，则函数 f（x）=1⊕2x 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据新运算法则求解 的解析式和 的范围，由分段函数的性质求解值域．
【详解】解： ．
∵当 时， ；
当 时， ，
∴ 的值域为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了求分段函数的值域，考查了分类讨论思想，解答此题的关键是理解题意，
( ) 2 1, 2
3 , 2
x xf x
x x
+
0x ≤ ( ) ( ]2 0,1xf x = ∈
0x > ( ) 1f x =
( )f x ( ]0,1属简单题．
5.已知 a＞0 且 a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
【详解】解：A 中 定义域为 ，而 定义域为 ，定义域不同，不是
同一函数；
B 中 ， 与 对应法则与定义域相同，故是同一函数；
C 中 定义域 ， 定义域为 ，定义域
不同，不是同一函数；
D 中 定义域为 , 定义域为 ，定义域不同，
不是同一函数；
故选：B．
【点睛】本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是
否相同，属于简单题.
6.函数 的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在定义域内属于单调递增函数，根据二分法只需判断区间端点的正负号即可
求解；
2y x= 2( )y x= 1y = x
ay log a=
2 4y x= − 2 2y x x= + ⋅ − 2
ay log x= ay l og x=
y = 2x R ( )2
y x= [ )0,+∞
x
ay log a x= = 1y = x
ay log a=
y = 2 4x − [ ) ( ]2 , 2+ ∞ −∞ −， y = 2 2x x+ ⋅ − [ )2,+∞
2logay x= ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
ay l og x= ( )0, ∞+
( ) 3 32
x
f x = −
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4
( ) 3 32
x
f x = − 【详解】解：∵ 在定义域内属于单调递增函数，
且 ， ， ， ， ，
可得 的零点所在区间为 .
故选：C．
【点睛】考查二分法确定函数的零点区间，属于简单题.
7.函数 f（x）＝ 的奇偶性为（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，再根据定义域化简解析式，观察可知为奇函数．
【详解】f（x） 的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，
所以 f（x） =- =-f(-x)
∴f（x）为奇函数．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，属中档题．
8.已知 ， ， ，则 的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据指对函数的性质和运算性质得到各自的范围，进而得到结果.
【详解】显然， ，又因为 ， ，故
( ) 3 32
x
f x = −
( )0 2f = − ( ) 31 2f = − ( ) 32 4f = − ( ) 33 8f = ( ) 334 16f =
( )f x ( )2,3
24
| 2 | 2
x
x
−
− −
24
2 2
x
x
−= − −
2 24 4
2 2
x x
x x
− −= =− − −
( )24 x
x
− −
2log 0.1a = 0.12b = 1.10.2c = , ,a b c
a b c< < b c a< < c a b< < a c b< <
0a < 0.1 02 2 1b = > = 1.1 00.2 0.2 1c = < = a c b< x
( )2,+∞ ( )1 ,1 0,2
∪ +∞
( )1 ,1 2,2
∪ +∞
1 ,22
【分析】
由已知结合奇函数的对称性可得， 或 ，解对数不等式即可求解．
【详解】解：定义在 上的奇函数 在 递增， ，
∴ 在 上递增，且 ，
又∵ ，
∴ 或 ，
解可得， 或 ，
故 的取值范围为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的对称性求解不等式，解对数不等式，解题的关键是灵
活利用对称性，属于简单题．
11.若偶函数 （ 是自然对数的底数）的最大值为 n，则 f（nm）=（ ）
A. B. C. e D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
当 时，函数 （ 是自然对数的底数）的最大值为 ，再由 是
偶函数，求出 ，由此能求出 .
【详解】解：∵函数 （ 是自然对数的底数）的最大值为 ，
∴当 时，函数 的最大值为 ，
∵ 是偶函数，∴ ，
∴ ，
8
1log 3x > 8
1 log 03 x− < <
R ( )f x ( )0, ∞+ 1 03f =
( )f x ( ),0−∞ 1 03f − =
( )8log 0f x >
8
1log 3x > 8
1 log 03 x− < <
2x > 1 12 x< <
x ( )1 ,1 2,2
∪ +∞
( ) 2( )x mf x e− −= e
1
e 2
1
e
x m= ( ) 2( )x mf x e− −= e 1n = ( )f x
0m = ( )mf n
( ) 2( )x mf x e− −= e n
x m= ( ) 2( )x mf x e− −= 1n =
( )f x ( ) ( )1 1f f= −
( ) ( )2 21 11 1m m
e e
− − − = ∴ ，
，解得 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查根据函数的最值求参数，根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，
是简单题．
12.已知定义在 上的单调函数 ，满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可设 ，从而可得出 ，根据 可解出 ，从而
得出 ，从而根据原不等式得出 ，且 ，解出 的范围即
可．
【详解】解：∵ 是定义在 上的单调函数，
∴由 得， ，
∴ ，且 ，解得 ，
∴ ，
∴由 得，
，且 ，
解得 或 ，
( ) ( )2 21 1m m− = +
2 21 2 1 2m m m m+ − = + + 0m =
( ) ( ) 1 11mf n f e e
−= = =
( )0 + ∞， ( )f x ( )( )2 2f f x x− =
( ) 7 11f x x> −
7 31 7 130 7 2x x x
− + < < >
或 7 13 7 130 7 2x x x
− + 或 7 133 2x x
+ < 1c =
( ) 2 1f x x= + 2 1 7 11x x+ > − 0x > x
( )f x ( )0 + ∞，
( )( )2 2f f x x− = ( ) 2f x x c= +
( ) 2 2f c c c= + = 0c > 1c =
( ) 2 1f x x= +
( ) 7 11f x x> −
2 1 7 11x x+ > − 0x >
0 3x< < 4x >∴原不等式的解集为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了根据函数的单调性求解析式，一元二次不等式的解法，考查了推理和计
算能力，属于简单题．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.若幂函数 的图象经过点 ，则 __________．
【答案】
【解析】
设幂函数 y=xα（α∈R），其函数图象经过点（2， ），
∴2α= ；解得 α=﹣2，∴y=f（x）=x﹣2；∴f（3）= ，
故答案为： ．
14.某商品进货单价为 30 元，按 40 元一个销售，能卖 40 个；若销售单价每涨 1 元，销
售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个____________元．
【答案】625
【解析】
设涨价 x 元，利润 y=(40+x)(40-x)-30(40-x)= -x2+30x+400，
y 最大=625(元)．
故答案为 625
15.函数 f（x）=ln（x+4）+ln（1-x）的单调增区间是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求定义域，根据复合函数性质判断单调性的方法得出结论．
【详解】解：函数 ，
定义域 ，
{ }0 3 4x x x< < >或
( )f x 12, 4
(3)f =
1
9
1
4
1
4
1
9
1
9
15 ,2
bx a
= − =当 时
34 2
− − ，
( ) ( ) ( )ln 4 ln 1f x x x= + + −
{ }4 1x x− < M N { }2 2 1 0M t mt t= − − = 1 22N t t
= ≤ ≤
M N∩ = ∅ 2 2 1 0mt t− − = 1 ,22
y m=
2 2y n n= + 1 ,22n ∈
2 2y n n= + m
2 0x t= >
{ }2 2 1 0M t mt t= − − = 1 22N t t
= ≤ ≤
M N∩ = ∅所以题目转化为方程 在 上无解，
即 在 无解，
令 ，
即函数 和 在 上没有交点，
而函数 在 上单调递增，
所以
所以可得 或 .
故答案为：
【点睛】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，根据函数的单调性求值域，函数与
方程，运用了换元的方法，属于中档题.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17.已知集合 A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．
（1）求 A∩B，A∪B；
（2）已知集合 C={x|1＜x＜a}，若 C∪A=A，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）A∩B={x|2＜x≤3}，A∪B={x|x≥1}（2）a≤3
【解析】
分析】
（1）求出集合 等价条件，结合交集，并集的定义进行求解即可；（2）结合集合关系转化
为 C⊆A，利用集合关系进行求解即可．
【详解】解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}，B={x|log2x＞1}={x|x＞2}．
则 A∩B={x|2＜x≤3}，A∪B={x|x≥1}．
（2）若 C∪A=A，则 C⊆A，
【
的
2 2 1 0mt t− − = 1 ,22
2
2
2 1 1 2tm t t t
+ = = +
1 ,22
1 1 ,22nt
= ∈
y m= 2 2y n n= + 1 ,22n ∈
2 2y n n= + 1 ,22
5 ,84y ∈
5
4m < 8m >
( )5, 8,4
−∞ +∞ 当 C=∅时，则 a≤1，满足条件．
则 C≠∅，则 a＞1，则要满足 C⊆A，
则 1＜a≤3，
综上 a≤3，
即实数 a 的取值范围是 a≤3．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，求出集合的等价条件，结合集
合关系进行转化是解决本题的关键，属于简单题.
18.计算下列各式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）5（2）-5
【解析】
【分析】
（1）结合指数的运算性质即可求解；（2）结合指数与对数的运算性质即可求解．
【详解】解：（1）
，
；
（2） ，
.
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于简单题．
19.若函数 ，
（Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数 f（x）图象；
( ) ( )1 1 02 4 4 31 32 3 5 3 34 8
+ − − − +
21 log 3
2.5 4 5log 6.25 lg0.01 2 log 5 log 4++ − + ⋅
( ) ( )1 1 02 4 4 31 32 3 5 3 34 8
+ − − − +
1 1
12 34 49 273 14 8
× = + − +
3 33 12 2
= + − +
5=
21 log 3
2.5 4 5log 6.25 lg0.01 2 log 5 log 4++ − + ⋅
2log 3
4
4
12 2 2 2 log 5 log 5
= − − ⋅ + ⋅
2 3 1 5= − × + = −
( ) 2
2 0
2 2 0
x xf x
x x x
= − − − ≤
， ＞
，（Ⅱ）利用图象写出函数 f（x）的值域、单调区间．
【答案】（Ⅰ）
（II）值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），单调递减区间为[﹣1，0]，
单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.
【解析】
【分析】
（I）利用指数函数和二次函数图象的画法，分段画出 f（x）的图象即可；
（II）由图象看，函数的值域即函数图象的纵向分布，函数的单调区间即函数随自变量增大
的变化趋势，由图象读出这些信息即可.
【详解】（Ⅰ）函数图象如图所示；（II）由图象可得函数的值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），
单调递减区间为[﹣1，0]，
单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.
【点睛】本题主要考查了分段函数函数图象的画法，函数的值域及函数单调性的直观意义，
辨清函数概念和性质是解决本题的关键.
20.已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）判断并证明 在 上的单调性．
【答案】（1） ；（2） 在 上单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据 是 上的奇函数即可得出 ，再根据 即可求出 ，从
而得出 ；
（2） ，从而可以看出 在 上单调递减，根据减函数的定义证明：设
任意的 ，然后作差，通分，提取公因式，得出
，根据 说明 即可得出 在
上单调递减．
( ) 2 1
ax bf x x
+= + R ( ) 11 2f =
( )f x
( )f x ( )1,+∞
( ) 2 1
xf x x
= +
( )f x ( )1,+∞
( )f x R ( )0 0f b= = ( ) 11 2f = 1a =
( ) 2 1
xf x x
= +
( ) 1
1f x
x x
=
+ ( )f x ( )1,+∞
1 2 1x x> >
( ) ( ) ( )( )
( )( )2 1 1 2
1 2 2 2
1 2
1
1 1
x x x xf x f x
x x
− −− =
+ + 1 2 1x x> > ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x
( )1,+∞【详解】解：（1）∵ 是 上的奇函数，
∴ ，且 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2） 在 上单调递减，证明如下：
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递减．
【点睛】本题考查了奇函数的性质，求函数解析式，定义法证明函数的单调性，属于简单
题．
21.已知函数 的定义域为 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求 的值域．
【答案】（1） （2）值域为
【解析】
分析】
（1）由 ，结合对数函数的单调性可求 的范围；（2）先对函数进行化简，然后结
合二次函数的单调性即可求解函数的值域．
【
( )f x R
( )0 0f = ( ) 11 2f =
0
1
2 2
b
a b
= + =
1
0
a
b
=
=
( ) 2 1
xf x x
= +
( )f x ( )1,+∞
1 2 1x x> > ( ) ( ) 1 2
1 2 2 2
1 21 1
x xf x f x x x
− = −+ +
( )( )
( )( )2 1 1 2
2 2
1 2
1
1 1
x x x x
x x
− −=
+ +
1 2 1x x> >
2 1 0x x− < 1 2 1 0x x − > 2 2
1 21 0 1 0x x+ +＞ ， ＞
( )( )
( )( )
2 1 1 2
2
1 2
1 0
1 1
x x x x
x x
− −
+ + ＜
( ) ( )1 2f x f x<
( )f x ( )1,+∞
( ) 2 2log 2 log 2f x x x= ⋅ 1 ,24
2logt x= t
( )y f x=
[ ]2,1− 1 ,64
−
1 24 x≤ ≤ t【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
（2）∵
，
∴
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 即 时，函数取得最小值 ，
当 即 时，函数取得最大值
故函数的值域为 ．
【点睛】本题主要考查了函数的定义域及值域的求解，解题的关键是二次函数的性质的应用，
运用了换元的方法，属于中档题.
22.已知函数 ．
（1）判断并证明 的奇偶性；
（2）当 时， 恒成立，求实数 取值范围．
【答案】（1） 为定义域为 的奇函数，证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先得到 的定义域为 ，再研究 与 的关系，从而判断出 奇偶性；
（2）由已知及 ，可判断 ，从而原不等式可转化为 在
的
1 24 x≤ ≤
2 ]log 21[t x= ∈ − ，
( ) 2 2log 2 log 2f x x x= ⋅
( )2 2
11 log 2 2log2 x x = + +
( ) ( )( ) 22 1 3 2f t t t t t= + + = + +
= 23 1( )2 4t + −
32, 2
− −
3 ,12
−
3
2t = − 2
4x = 1
4
−
1t = 2x = 6
1 ,64
−
( ) 2 1
2 1
x
xf x
−= +
( )f x
[ )1x∈ + ∞， ( ) 2 2xmf x ≤ − m
( )f x R ( ],0−∞
( )f x R ( )f x ( )f x− ( )f x
1x ≥ 2 1 02 1
x
x
− >+
( )( )2 2 2 1
2 1
x x
xm ≤
− +
− 1x ≥恒成立，设 ，令 ，得到 ，结合 的单调性
得到最小值，从而得到 的取值范围.
【详解】解：（1） 为定义域为 的奇函数，证明如下：
定义域为 ，
∵ ，
∴ = ，
∴ 为定义域为 的奇函数，
（2）由 时， 恒成立，可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 在 恒成立，
令 ，则 ，
∴ ，在 恒成立
设 ，则
而 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
故 的范围为： ．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，及利用函数的单调性求解函数的最值，
体现了转化思想的应用，属于中档题．
( ) ( )( )2 2 2 1
2 1
x x
xg x
− +
−= 2 2xt = ≥ ( ) 2g t t t
= − ( )g t
m
( )f x R
( )f x R
( ) 2 1
2 1
x
xf x
−= +
( )f x− = 2 1
2 1
x
x
−
−
−
+
1 2
1 2
x
x
−
+
( )f x= −
( )f x R
[ )1x∈ + ∞， ( ) 2 2xmf x ≤ − 2 1 2 22 1
x
x
xm
−⋅ ≤ −+
1x ≥
2 1 02 1
x
x
− >+
( )( )2 2 2 1
2 1
x x
xm ≤
− +
− 1x ≥
2 1xt = − 1t ≥
( )( )1 2t tm t
− +≤ 2 1t t
= − + 1t ≥
( ) 2 1g t t t
= − + ( )mingm t≤
( )g t [ )1 + ∞，
( ) ( )min 1 0g t g= =
0m ≤
m ( ],0−∞
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